2. Continuité des fonctions
« Une fonction f est continue sur un intervalle si on peut dessiner son graphe sans lever le crayon d'un bout à l'autre de l'intervalle. » Continuité sur un.
CONTINUITÉ
Théorème : Une fonction dérivable sur un intervalle I est continue sur cet intervalle. - Admis -. Méthode : Etudier la continuité d'une fonction.
Continuité dune fonction Continuité dune fonction Sur un intervalle
Pour démontrer qu'une fonction est continue sur un intervalle intervalle
Continuité et dérivabilité dune fonction
7 nov. 2014 1 Continuité d'une fonction ... Définition 2 : Soit une fonction f définie sur un intervalle ouvert ... Il faut donc étudier la continuité.
comment etudier la continuite dune fonction numerique
COMMENT ETUDIER LA CONTINUITE. D'UNE FONCTION NUMERIQUE ? Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a un réel de I. On dit que f est continue en a
CONTINUITÉ DES FONCTIONS
Théorème : Une fonction dérivable sur un intervalle est continue sur cet intervalle. - Admis -. Méthode : Étudier la continuité d'une fonction.
Continuité sur un intervalle.
Définition : La fonction partie entière est définie sur ? par x. E(x). E(x) étant le plus grand entier relatif inférieur ou égal à x . E(23)=2. E(0
CONTINUITÉ DES FONCTIONS
Théorème : Une fonction dérivable sur un intervalle I est continue sur cet intervalle. Méthode : Étudier la continuité d'une fonction.
TD1 – Continuité des fonctions de plusieurs variables réelles
Solution. On rappelle que pour étudier la continuité d'une fonction f sur un point il faut : — vérifier si la limite de f au point x0 existe et
Chapitre I : Continuité et dérivabilité des fonctions réelles
- La fonction x est continue sur [0 ;+õ[ ln(x) est continue sur ]0 ;+õ[. - Les fonctions rationnelles sont continues sur tout intervalle contenu dans leur
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On dit qu'une fonction est continue sur un intervalle si elle est continue en tout point de l'intervalle Aux extrémités de l'intervalle il faut comprendre
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Définition intuitive : Une fonction est continue sur un intervalle si sa courbe représentative peut se tracer sans lever le crayon Méthode : Reconnaître
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Définition : Soit une fonction f définie sur un intervalle I On dit que f est continue sur I si on peut tracer la courbe représentative de f sur I "sans lever
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Définition : Soit f une fonction définie sur un ensemble Df et soit a un réel appartenant à Df On dit que f est continue en a lorsque lim
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7 nov 2014 · La fonction f est continue sur un intervalle I si et seulement si f est continue en tout point de I Remarque : Graphiquement la continuité d
Continuité sur un intervalle
Si une fonction continue sur un intervalle prend des valeurs positives et des valeurs négatives alors elle s'annule sur cet intervalle $ \bullet$: L'image par
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Continuité sur un intervalle Rappels sur la dérivation f est une fonction dérivable en a de I Dans un repère la tangente à la courbe représentative A de
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En utilisant la notion des limites étudier la continuité de la fonction en 0 = 2 3- Interprétations graphiques 3 1 Activité : Activité 1: Considérons la
Comment étudier la continuité d'une fonction sur un intervalle ?
La fonction f est continue en a si f(x) peut être rendu aussi proche que l'on veut de f(a), en prenant x assez proche de a : f est continue en a?limx?af(x)=f(a), ce qui signifie aussi que pour tout réel strictement positif ?, il est possible déterminer un réel strictement positif ? tel que : x?a<??f(x)?f(a)<?.Comment déterminer la continuité d'une fonction ?
Ainsi, il suffit de dire que en dehors de ces réels 0 et 1 (c'est à dire en tout réel distinct de 0 et de 1) la fonction est bien continue (car ce sont des fonctions "usuelles"). Ensuite, il suffit de savoir si en 0, à gauche, la fonction admet une limite et si c'est la même que celle en 0, à droite (si elle existe).
Continuité sur un intervalle.
1. Continuité d'une fonction.................................p2
2. Le théorème des valeurs intermédiaires...........p5
Continuité sur un intervalle.
1. Continuité d'une fonction
1.1. Continuité en un point
Définition : Soitfune fonction définie sur un ensembleDf, et soitaun réel
appartenant àDf.On dit quefest continue enalorsque
limx→a f(x)=f(a)Exemple f(x)=x2est continue en 2 puisque limx→2f(x)=22=f(2)Plus généralement,
f(x)=x2est continue en toute valeuraréelle, puisque limx→af(x)=a2=f(a).1.2. Cas particulier à connaître : la fonction partie entière
Définition : La fonction partie entière est définie sur ℝ par x E(x)E(x)étant le plus grand entier relatif inférieur ou égal àx.E(2,3)=2E(0,15)=0E(-0,7)=-1E(-3,3)=-4
Proposition: Soitnun entier relatif. Six∈[n;n+1[ , alorsE(x)=n. Démonstration : C'est une application directe de la définition : si x∈[n;n+1[, alors le plus grand entier relatif inférieur ou égal àxest n, doncE(x)=n.Continuité sur un intervalle.
Proposition: La fonction partie entière n'est pas continue en 1. Démonstration : Montrons que E n'est pas continue en 1. - Six∈[0;1[, alorsE(x)=0donc limx→1 x<1E(x)=0- Si
x∈[1;2[, alorsE(x)=1donclimx→1 x>1E(x)=1
Puisque
limx→1 x<1E(x)≠limx→1
x>1 E(x), on en déduit quelimx→1E(x)=0n'existe pas, donc la fonction partie entière n'est pas continue en 1. Proposition: La fonction partie entière n'est continue en aucune valeur p, entier relatif. Démonstration : Montrons que E n'est pas continue en p. - Si x∈[p-1;p[, alorsE(x)=p-1donclimx→p xPuisque
limx→p xE(x)≠limx→p x>p E(x), on en déduit quelimx→pE(x)=0n'existe pas, donc la fonction partie entière n'est pas continue enp.
1.3. Continuité sur un intervalle
Définition : Soitfune fonction définie sur un intervalle I. On dit quefest continue sur I lorsquefest continue en toute valeur a appartenant à I .Exemples
Les fonctions polynômes sont continues sur ℝ.Les fonctions rationnelles sont continues sur tout intervalle I inclus dans leur ensemble de définition.
La fonction racine carrée est continue sur
[0;+∞[.RemarqueInterprétation graphique
Une fonction continue sur un intervalle I est une fonction dont on trace la courbe représentative sans lever le
crayon.Exemple
f(x)= {x2six<1 1 xsix⩾1Montrer que fest continue sur ℝ.Continuité sur un intervalle.
Démonstration :
- fest continue sur]-∞;1[en tant que fonction polynôme(f(x)=x2). fest aussi continue sur[1;+∞[en tant que fonction rationnelle(f(x)=1 x).Reste à voir si
fest continue en 1. - limx→1 x<1f(x)=limx→1 x<1x²=1, limx→1 x>1 f(x)=limx→1 x>1 1 x=1 1=1, - f(1)=1 1=1, donc limx→1 f(x)=1=f(1), etfest alors continue en 1.On en déduit que
fest continue sur ℝ.1.4. Propriétés des fonctions continues
La somme et le produit de deux fonctions continues sur un intervalle est continue sur cet intervalle. Si fet gsont continues en x0et si g(x0)≠0alors f gest continue surx0. Si fest continue en x0et si gest continue en f(x0)alorsf∘gest continue surx0.Continuité sur un intervalle.
2. Le théorème des valeurs intermédiaires
2.1. Théorème
Ce théorème est admis. On le nomme théorème des valeurs intermédiaires. Soitfune fonction définie et continue sur un intervalle [a; b].Alors, pour toute valeur
kcomprise entref(a)etf(b), l'équationf(x)=kpossède au moins solution c∈[a;b].2.2. Corollaire : le théorème de la bijection
Soitfune fonction continue et strictement monotone sur un intervalle [a; b].Alors, pour toute valeur
kcomprise entref(a)etf(b), l'équation f(x)=kpossède une unique solutionc∈[a;b].Démonstration :
On sait déjà, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, que l'équationf(x)=kpossède au moins une
solution c∈[a;b]. Il reste à montrer que cette solution est unique.On suppose donc (raisonnement par l'absurde) que l'équationf(x)=kpossède une deuxième solution
d∈[a;b], avecc≠d. On a alorsf(c)=f(d)=k, avecc≠dce qui contredit le fait que fest strictement monotone sur[a;b]. On en déduit quedn'existe pas et que la solutioncest unique.Continuité sur un intervalle.
Exemple gest une fonction dont on connaît le tableau de variation.Par convention, les flèches obliques du tableau de variation traduisent la continuité et la stricte monotonie de
g sur les intervalles considérés. x-7-139 f(x)5 -110 5 Déterminer le nombre de solutions de l'équation g(x)=2. Sur l'intervalle [-7; -1],gest continue et strictement décroissante.L'image de [-7; -1] par
gest [-1; 5], et 2 [-1; 5], donc d'après le théorème de la bijection, l'équation∈g(x)=2 possède une solution unique α [-7; -1].∈Sur l'intervalle [-1; 3],gest continue et strictement croissante.
L'image de [-1; 3] par
gest [-1; 10], et 2 [-1; 10], donc d'après le théorème de la bijection, l'équation∈ g(x)=2 possède une solution unique β [-1; 3].∈Sur l'intervalle [3; 9], gest continue et strictement décroissante.L'image de [3; 9] par
[3;9]. En résumé, l'équationg(x)=2possède deux solutions α et β.quotesdbs_dbs15.pdfusesText_21[PDF] choisir sa contraception
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