2. Continuité des fonctions
« Une fonction f est continue sur un intervalle si on peut dessiner son graphe sans lever le crayon d'un bout à l'autre de l'intervalle. » Continuité sur un.
CONTINUITÉ
Théorème : Une fonction dérivable sur un intervalle I est continue sur cet intervalle. - Admis -. Méthode : Etudier la continuité d'une fonction.
Continuité dune fonction Continuité dune fonction Sur un intervalle
Pour démontrer qu'une fonction est continue sur un intervalle intervalle
Continuité et dérivabilité dune fonction
7 nov. 2014 1 Continuité d'une fonction ... Définition 2 : Soit une fonction f définie sur un intervalle ouvert ... Il faut donc étudier la continuité.
comment etudier la continuite dune fonction numerique
COMMENT ETUDIER LA CONTINUITE. D'UNE FONCTION NUMERIQUE ? Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a un réel de I. On dit que f est continue en a
CONTINUITÉ DES FONCTIONS
Théorème : Une fonction dérivable sur un intervalle est continue sur cet intervalle. - Admis -. Méthode : Étudier la continuité d'une fonction.
Continuité sur un intervalle.
Définition : La fonction partie entière est définie sur ? par x. E(x). E(x) étant le plus grand entier relatif inférieur ou égal à x . E(23)=2. E(0
CONTINUITÉ DES FONCTIONS
Théorème : Une fonction dérivable sur un intervalle I est continue sur cet intervalle. Méthode : Étudier la continuité d'une fonction.
TD1 – Continuité des fonctions de plusieurs variables réelles
Solution. On rappelle que pour étudier la continuité d'une fonction f sur un point il faut : — vérifier si la limite de f au point x0 existe et
Chapitre I : Continuité et dérivabilité des fonctions réelles
- La fonction x est continue sur [0 ;+õ[ ln(x) est continue sur ]0 ;+õ[. - Les fonctions rationnelles sont continues sur tout intervalle contenu dans leur
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On dit qu'une fonction est continue sur un intervalle si elle est continue en tout point de l'intervalle Aux extrémités de l'intervalle il faut comprendre
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Définition intuitive : Une fonction est continue sur un intervalle si sa courbe représentative peut se tracer sans lever le crayon Méthode : Reconnaître
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Définition : Soit une fonction f définie sur un intervalle I On dit que f est continue sur I si on peut tracer la courbe représentative de f sur I "sans lever
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Définition : Soit f une fonction définie sur un ensemble Df et soit a un réel appartenant à Df On dit que f est continue en a lorsque lim
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7 nov 2014 · La fonction f est continue sur un intervalle I si et seulement si f est continue en tout point de I Remarque : Graphiquement la continuité d
Continuité sur un intervalle
Si une fonction continue sur un intervalle prend des valeurs positives et des valeurs négatives alors elle s'annule sur cet intervalle $ \bullet$: L'image par
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Continuité sur un intervalle Rappels sur la dérivation f est une fonction dérivable en a de I Dans un repère la tangente à la courbe représentative A de
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En utilisant la notion des limites étudier la continuité de la fonction en 0 = 2 3- Interprétations graphiques 3 1 Activité : Activité 1: Considérons la
Comment étudier la continuité d'une fonction sur un intervalle ?
La fonction f est continue en a si f(x) peut être rendu aussi proche que l'on veut de f(a), en prenant x assez proche de a : f est continue en a?limx?af(x)=f(a), ce qui signifie aussi que pour tout réel strictement positif ?, il est possible déterminer un réel strictement positif ? tel que : x?a<??f(x)?f(a)<?.Comment déterminer la continuité d'une fonction ?
Ainsi, il suffit de dire que en dehors de ces réels 0 et 1 (c'est à dire en tout réel distinct de 0 et de 1) la fonction est bien continue (car ce sont des fonctions "usuelles"). Ensuite, il suffit de savoir si en 0, à gauche, la fonction admet une limite et si c'est la même que celle en 0, à droite (si elle existe).
Terminale ESContinuitésur un intervalle
1 TESContinuité sur un intervalle
Rappels sur la dérivation•a et a + h désignent deux nombres réels de I avec h ¹0. Dire que f est dérivable en a signifie que la fonction : h admet un nombre réel limite en 0. Ce nombre réel est appelé nombre dérivé de f en a et on le note f'(a). •Dire que f est dérivable sur Isignifie que f est dérivable en tout nombre réel x de I. La fonction dérivéede f, notée f', est la fonction qui, à tout x de I, associe le nombre f'(x).Définitions
2I Nombre dérivé, fonction dérivéef désigne une fonction définie sur un intervalle I.
TESContinuité sur un intervalle
Rappels sur la dérivationf est une fonction dérivable en a de I.Dans un repère, la tangente à la courbe représentative de la
fonction f au point A d'abscisse a est la droite T qui passe par A et de coefficient directeur f'(a).Une équation de T est y = f'(a)(x - a) + f(a).
Définition - Propriété
3II Tangente à la courbe d'une fonction
T TESContinuité sur un intervalle
Rappels sur la dérivationf est une fonction dérivable sur I. •Si pour tout nombre réel x de I, f'(x) > 0 sauf peut être en un nombre fini de points ou f' s'annule alors f est strictement croissante sur I. •Si pour tout nombre réel x de I, f'(x) = 0alors f est constante sur I. •Si pour tout nombre réel x de I, f'(x) < 0 sauf peut être en un nombre fini de points ou f' s'annule alors f est strictement décroissante sur I.Propriétés
4III Sens de variation et extremum local
TESContinuité sur un intervalle
Rappels sur la dérivationf est une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I et x0est un nombre réel de I.Si f(x
0) est un extremum local de I, alors f'(x0) = 0
Propriété
5Remarque:
La réciproque est fausse.
Contre-exemple : Si f(x) = x
3alors f'(x) = 3x².
Donc f'(0) = 0 et pourtant f(0) = 0 n'est pas un extremum local de f. TESContinuité sur un intervalle
Rappels sur la dérivationf est une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I et x0est un nombre réel de I.Si f' s'annule en x
0en changeant de signe, alors f(x0) est un extremum
local de I.Propriété
6 xx0 f' - 0 + f xx0 f' + 0 - f f(x0) est un minimum local. f(x0) est un maximum local.
f(x0) f(x0) TESContinuité sur un intervalle
Règles de dérivation
7I Dérivées des fonctions usuelles
f(x) f'(x) f est dérivable sur l'intervalleax + b a ] -¥; + ¥[ x² 2x ] -¥; + ¥[ x n(n Î, n ≥ 1) nxn-1] -¥; + ¥[ 1 -1 ] -¥;0[ ou 1 2 ]0; + ¥[ TESContinuité sur un intervalle
Règles de dérivation
8II Opérations et dérivées
u et v sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I. •La fonction u + v est dérivable sur I et (u + v)' = u' + v' •La fonction ku (avec k réel) est dérivable sur I et (ku)' = ku' •La fonction uv est dérivable sur I et (uv)' = u'v + uv' •La fonction u² est dérivable sur I et (u²)' = 2u'u •La fonction est dérivable sur I et •La fonction est dérivable sur I et •La fonction est dérivable sur I etPropriétés
TESContinuité sur un intervalle
Règles de dérivation
9 Conséquences :•Toute fonction polynôme est dérivable sur . •Toute fonction rationnelle est dérivable sur chaque intervalle contenu dans son ensemble de définition. •f est la fonction polynôme définie sur par f(x) = 6x² - 2x + 3. f est dérivable sur et pour tout nombre réel x, f'(x) = 6´2x - 2´1 = 12x - 2. •g est la fonction rationnelle définie sur par g(x) = g est dérivable sur et g(x) = () avec u(x) = x - 2 et v(x) = x² + 1.On a alors u'(x) = 1 et v'(x) = 2x
Exemples
TESContinuité sur un intervalle
Langage de la continuité
10 f est une fonction définie sur un intervalle I et sa courbe représentative dans un repère. Dire que f est continue sur I signifie que l'on peut tracer sa courbe sans lever le crayon.DéfinitionI Continuité sur un intervalleLa fonction f representée ci-
dessous est continue sur [-2;3].Exemple 1
fLa fonction g representée ci-dessous
n'est pas continue sur [-2;3].Exemple 2
g TESContinuité sur un intervalle
Langage de la continuité
11 Toute fonction dérivable sur I est continue sur I.Propriété
Remarque: Attention, la réciproque est fausse.
Contre-exemple: On peut tracer la courbe représentant la fonction racine carrée sur l'intervalle [0; + ¥[ et pourtant cette fonction n'est pas dérivable en 0. TESContinuité sur un intervalle
Langage de la continuité
12 •Les fonctions polynômessont continues sur . •La fonction exponentielleest continue sur . Propriétés II Continuité des fonctions usuelles•La fonction racine carréeest continue sur ]0; + ¥[.•Les fonctions construites par opérations à partir des précédentes sont
continues sur les intervalles qui forment leur ensemble de définition. (Par exemple, les fonctions rationnelles) •Si u est une fonction continue sur un intervalle I, alors euest continue sur I. y = ex y = La fonction f : x x2exest continue sur en tant que produit de deux fonctions continues sur (x x2et x ex)Exemple
TESContinuité sur un intervalle
La propriété des valeurs intermédiaires
13 f est une fonction continue sur un intervalle I. Pour tout nombre réel k compris entre f(a) et f(b), il existe au moins unnombre réel c compris entre a et b tel que f(c) = k.Propriété des valeurs intermédiaires III Propriété fondamentale des fonctions continues
Interprétation graphique:
Dans un repère, est la représentation
graphique de f.Pour tout nombre réel k compris entre f(a) et
f(b), la droite Dd'équation y = k coupe au moins une fois la courbe en un point d'abscisse c compris entre a et b. TESContinuité sur un intervalle
La propriété des valeurs intermédiaires
14Interprétation en terme d'équation:
Pour tout réel k compris entre f(a) et f(b),
l'équation f(x) = k admet au moins une solution comprise entre a et b. IV Cas d'une fonction continue et strictement monotoneSi f est une fonction continue et
strictement monotone sur un intervalle [a;b], alors pour tout nombre réel k compris entre f(a) et f(b), l'équation f(x) = k admet une solution uniquedans l'intervalle [a;b].Propriété TESContinuité sur un intervalle
La propriété des valeurs intermédiaires
15Convention sur les tableaux de variation:
Les flèches obliques d'un tableau de variation traduisent la continuité et la stricte monotonie d'une fonction sur l'intervalle considéré.Exemple: Le tableau de variation ci-dessous permet d'affirmer que l'équation f(x) = kadmet cpour solution unique dans l'intervalle [a;b]. x a cquotesdbs_dbs15.pdfusesText_21[PDF] choisir sa contraception
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