[PDF] [PDF] Module  Contraintes & Déformations - Polytechnique Montréal





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CONTRAINTES ET DÉFORMATIONS

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    Loi de Hooke:
    Lorsqu'on charge un matériau, si la contrainte produite demeure inférieure à sa limite élastique, sa déformation est proportionnelle à la contrainte qu'il subit.

  • Quel est la formule de la contrainte ?

    La contrainte normale constante dans la section vaut ? = F/S et la déformation vaut ? = F/ES.

  • Comment calculer la contrainte en RDM ?

    A la contrainte normale ?=My/I s'ajoute des contraintes tangentielles. Déformée et calcul des fl?hes : sous l'effet des forces qui lui sont appliquées une poutre se déforme. On appelle fl?he à l'abscisse x le déplacement vertical du centre de gravité de la section relative à cette abscisse.
  • Une contrainte est un effort par unité de surface qui s'exerce dans le matériau. Une contrainte s'exprime en MPa (Méga-Pascal, 1 MPa = 1 N/mm2). Imaginons un solide soumis à une contrainte de 100 MPa : cela revient à dire qu'un effort de 100 N est appliqué sur une surface de 1 mm2.

Intro&T

Module #2

Contraintes & Deformations

(CIV1150 - Resistance des materiaux)

Enseignant: James-A. Goulet

Departement des genies civil, geologique et des minesPolytechnique Montreal

Sections 2.1-2.13 { R. Craig (2011)

Mechanics of Materials, 3rd Edition

John Wiley & Sons.P. Leger (2006)

Notes de cours: Chapitre 2 { Deformations

Polytechnique Montreal.Enseignant: J-A. GouletPolytechnique Montreal

2{Contraintes & DeformationsjV1.1jCIV1150{ Resistance des materiaux 1/63

Intro&T

Denition { contrainte normale

Contrainte moyenne normale,

=FA =force normale (i.e. perpendiculaire) a la surfacesurface sur laquelle elle agit

Unites:

I

Pascal:Pa=N=m2

I

Megapascal:MPa=N=mm2= 106N=m2

I

6895Pa= 1lb=in2= 1psiSignes: + (tension), - (compression)+Enseignant: J-A. GouletPolytechnique Montreal

2{Contraintes & DeformationsjV1.1jCIV1150{ Resistance des materiaux 4/63

Intro&T

Contraintes v.s. contraintes moyennes

Contrainte moyenne normaleContrainte moyenne normale: egale pour toutes les sections

Enseignant: J-A. GouletPolytechnique Montreal

2{Contraintes & DeformationsjV1.1jCIV1150{ Resistance des materiaux 5/63

Intro&T

Exemple { contraintes normales

Contraintes normales - exemple

Soit une barre ayant une section de 35mm par 10mm tel queEnseignant: J-A. GouletPolytechnique Montreal

2{Contraintes & DeformationsjV1.1jCIV1150{ Resistance des materiaux 6/63

Intro&T

Exemple { contraintes normales

Contraintes normales - exemple (cont.)La charge maximale se trouve sur la section BC;F= 30kN =FA =30103N3510mm2= 85:7MPa+Enseignant: J-A. GouletPolytechnique Montreal

2{Contraintes & DeformationsjV1.1jCIV1150{ Resistance des materiaux 7/63

Intro&T

Denition { Deformations axiales

Deformations axiales -Denition:

=longueur nalelongueur initialelongueur initiale LLL LL

Unites: m/m, mm/mm, in/in,

(microdeformation= 106)Signe: + Allongement - retrecissement+Enseignant: J-A. GouletPolytechnique Montreal

2{Contraintes & DeformationsjV1.1jCIV1150{ Resistance des materiaux 8/63

Intro&T

Deformations thermiques 1D

Deformations thermiques - 1DDenition:

T=(TnaleTinitiale) =TUnites ():mm=mm=oC==oCCoecient d'expansion thermique(ref. Annexe F-4): I

Acier:= 12106=oC

I

Aluminium:= 21 a 24106=oC

I Beton:= 10106=oCEnseignant: J-A. GouletPolytechnique Montreal

2{Contraintes & DeformationsjV1.1jCIV1150{ Resistance des materiaux 10/63

Intro&T

Deformations thermiques 1D

Deformations thermiques 1D { exemple cas iso.3m

I

Tinitiale= 20oC

I

Tnale= 10oC

I = 12106=oCCalculerT,TetTDeformation: T=(TnaleTinitiale) =T= 12106=oC 10oC=12105Deplacement:

T=TL=121053000mm=0:36mmContrainte:

T= 0?!Module 3 { structures hyperstatiquesEnseignant: J-A. GouletPolytechnique Montreal

2{Contraintes & DeformationsjV1.1jCIV1150{ Resistance des materiaux 11/63

Intro&T

Deformations thermiques 3D

Deformations thermiques - 3DLxT= (T)Lx

LyT= (T)Ly

LzT= (T)LzEnseignant: J-A. GouletPolytechnique Montreal

2{Contraintes & DeformationsjV1.1jCIV1150{ Resistance des materiaux 12/63

Intro&T

Relation entre contraintes () et deformations ()

Diagrammes contraintes-deformations,=f()

Contraintes: Eet desfo rcesinternes sur le mat eriauDeformations: Eet desd eplacementsinternes sur le mat eriauLa relation entre les contraintes et les deformations est decrite par

le diagramme contrainte-d eformationd'un mat eriauEnseignant: J-A. GouletPolytechnique Montreal

2{Contraintes & DeformationsjV1.1jCIV1150{ Resistance des materiaux 14/63

Intro&T

Relation entre contraintes () et deformations ()

Essais en laboratoires

Le diagramme contrainte-d eformation est obtenu en lab oratoireL

0: Longueur initiale

A

0: Aire initiale

L=LL0 =FA 0 =LL

0Enseignant: J-A. GouletPolytechnique Montreal

2{Contraintes & DeformationsjV1.1jCIV1150{ Resistance des materiaux 15/63

Intro&T

Materiau { Acier

Diagramme contraintes-deformations { AcierYielding : plastication

Hardening : ecrouissage

Necking : amincissement

PL: Limite de proportionnalite

(YP)l: Limite elastique (y,fy) (YP)u: Limite elastique superieure

U: Contrainte ultime

F: Contrainte de rupture

Ft: Contrainte de rupture reelleModule elastique/de Young

E=; < PL

(E: propriete intrinseque)

Enseignant: J-A. GouletPolytechnique Montreal

2{Contraintes & DeformationsjV1.1jCIV1150{ Resistance des materiaux 16/63

Intro&T

Materiau { Acier

Diagrammes contraintes-deformationsEssai de traction (Acier)Essai de compression (beton)Enseignant: J-A. GouletPolytechnique Montreal

2{Contraintes & DeformationsjV1.1jCIV1150{ Resistance des materiaux 17/63

Intro&T

Materiau { Acier

Limite elastique - Beton et aluminium

Enseignant: J-A. GouletPolytechnique Montreal

2{Contraintes & DeformationsjV1.1jCIV1150{ Resistance des materiaux 18/63

Intro&T

Materiau { Beton

Diagrammes contraintes-deformations { Beton(26)

(MPa) (21) (14) (6.89)Enseignant: J-A. GouletPolytechnique Montreal

2{Contraintes & DeformationsjV1.1jCIV1150{ Resistance des materiaux 19/63

Intro&T

Materiau { elasticite

ElasticiteComportement elastique

(non lineaire)Comportement elastoplastique

Enseignant: J-A. GouletPolytechnique Montreal

2{Contraintes & DeformationsjV1.1jCIV1150{ Resistance des materiaux 20/63

Intro&T

Materiau { elasticite

Elasticite - Modele courantComportement elastique, parfaitement plastique

Acier courant

I

E= 200000MPa=200GPa

I y= (300;350)MPa I y0:0012M^eme comportement en traction et en compressionEnseignant: J-A. GouletPolytechnique Montreal

2{Contraintes & DeformationsjV1.1jCIV1150{ Resistance des materiaux 21/63

Intro&T

Materiau { elasticite

Rigidite &

Elasticitek: Coe. de rigidite [kN/m]

F=kE: Module elastique [MPa]

=E=FA =EEnseignant: J-A. GouletPolytechnique Montreal

2{Contraintes & DeformationsjV1.1jCIV1150{ Resistance des materiaux 22/63

Intro&T

Materiau { elasticite

Rigidite &

Elasticite { exempleF=k

mg=k k=mg =13:8kg9:81m=s21mm= 135N=mm =FA =409:812:52= 20Nmm

2= 20MPa

=L =2:9mm10000mm= 2:9104 =E E= =20MPa2:9104= 70000MPaEnseignant: J-A. GouletPolytechnique Montreal

2{Contraintes & DeformationsjV1.1jCIV1150{ Resistance des materiaux 23/63

Intro&T

Elasticite lineaire { loi de Hooke

Loi de Hooke=EMateriaux E[MPa]

Aluminium 70000

Beton (compression) 30000

Acier 200000

Bois (anisotrope) 12000La relation entre la contrainte et la deformation est quasi-lineaire pour le domaine elastique des materiaux du genie civilEnseignant: J-A. GouletPolytechnique Montreal

2{Contraintes & DeformationsjV1.1jCIV1150{ Resistance des materiaux 25/63

Intro&T

Elasticite lineaire { coecient de Poisson

Coecient de poissonDeformation longitudinale

x=xE!x=xE : Coecient de Poisson transv.=long.Deformations transversales y=z=x=xE

Enseignant: J-A. GouletPolytechnique Montreal

2{Contraintes & DeformationsjV1.1jCIV1150{ Resistance des materiaux 26/63

Intro&T

Elasticite lineaire { coecient de Poisson

Coecient de poisson - Exemple

transv.=0:025mm long.= 0:5mm E=?; =?Enseignant: J-A. GouletPolytechnique Montreal

2{Contraintes & DeformationsjV1.1jCIV1150{ Resistance des materiaux 27/63

Intro&T

Elasticite lineaire { coecient de Poisson

Coecient de poisson - Exemple

transv.=0:025mm long.= 0:5mm=E; =transv. long.I =FA =875N1025mm2= 3:5MPaI long.=LL =0:5mm200mm= 0:0025mm=mmI E= =3:5MPa0:0025mm=mm= 1400MPaI transv.= largeurlargeur =0:025mm25mm=0:0010mmI =transv. long.=0:00100:0025= 0:4Enseignant: J-A. GouletPolytechnique Montreal

2{Contraintes & DeformationsjV1.1jCIV1150{ Resistance des materiaux 28/63

Intro&T

Elasticite lineaire { coecient de Poisson

Coecient de poisson - Valeurs typiques0.5

0.3 00

Matériaux communs

Matériaux

articiels (auxétique)

0.2Enseignant: J-A. GouletPolytechnique Montreal

2{Contraintes & DeformationsjV1.1jCIV1150{ Resistance des materiaux 29/63

Intro&T

Contraintes de cisaillement

Contraintes de cisaillement: Contrainte de cisaillement

V: Force de cisaillement

A

S: Aire eective en cisaillement

=VA

SEnseignant: J-A. GouletPolytechnique Montreal

2{Contraintes & DeformationsjV1.1jCIV1150{ Resistance des materiaux 31/63

Intro&T

Assemblages boulonnes

Cisaillement pur { Assemblages boulonnesj

: Contrainte de cisaillement

V: Force de cisaillement

A

S: Aire eective en cisaillement

=VA

SEnseignant: J-A. GouletPolytechnique Montreal

2{Contraintes & DeformationsjV1.1jCIV1150{ Resistance des materiaux 32/63

Intro&T

Assemblages boulonnes

Assemblages boulonnes { exempleDiametre des boulons:d

Calculerpour les

assemblages (a) et (b)?a)V=P A S=d24 =4Pd2b)V=P=2 A S=d24 =2Pd2Enseignant: J-A. GouletPolytechnique Montreal

2{Contraintes & DeformationsjV1.1jCIV1150{ Resistance des materiaux 33/63

Intro&T

Poinconnement

Cisaillement { Poinconnement, Loma Prieta, 1989=PdtEnseignant: J-A. GouletPolytechnique Montreal

2{Contraintes & DeformationsjV1.1jCIV1150{ Resistance des materiaux 34/63

Intro&T

Cisaillement

Cisaillement { Northridge, 1994

Enseignant: J-A. GouletPolytechnique Montreal

2{Contraintes & DeformationsjV1.1jCIV1150{ Resistance des materiaux 35/63

Intro&T

Equilibre

Conditions d'equilibre pourCisaillement pur

XF x= 0;XF y= 0;XM z= 0Enseignant: J-A. GouletPolytechnique Montreal

2{Contraintes & DeformationsjV1.1jCIV1150{ Resistance des materiaux 36/63

Intro&T

Equilibre

Deformation en cisaillement

: Changement d'angle d^u aux contraintes de cisaillement (eort tranchant) =2 = tan1SL S uSL S|{z} theorie des petites deformations!Angles en radians

Enseignant: J-A. GouletPolytechnique Montreal

2{Contraintes & DeformationsjV1.1jCIV1150{ Resistance des materiaux 37/63

Intro&T

Equilibre

Hypotheses - petits deplacements & deformationsHypothese: Les deplacements et deformations sont petits par

rapport aux dimensions de la structure b= tan1Ba uBa rad;pourb1radEnseignant: J-A. GouletPolytechnique Montreal

2{Contraintes & DeformationsjV1.1jCIV1150{ Resistance des materiaux 38/63

Intro&T

Equilibre

Deformation en cisaillement

{ Exemple x=?; y=?; xy=?Enseignant: J-A. GouletPolytechnique Montreal

2{Contraintes & DeformationsjV1.1jCIV1150{ Resistance des materiaux 39/63

Intro&T

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