CONTRAINTES ET DÉFORMATIONS
à sa limite élastique sa déformation est proportionnelle à la contrainte qu'il subit. unitaire ?
Module #2 Contraintes & Déformations (CIV1150 - Résistance des
La relation entre les contraintes et les déformations est décrite par le diagramme contrainte-déformation d'un matériau. Enseignant: J-A. Goulet.
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Lorsqu'on charge un matériau si la contrainte produite demeure inférieure à sa limite élastique sa déformation est proportionnelle à la contrainte qu'il subit
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9 mar 2020 · Si on veut établir la loi d'élasticité de Hooke on a besoin d'un seul paramètre (qui est E) puisqu'on a une déformation et une contrainte Dans
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5 déc 2015 · Comme pour les contraintes normales et déformations longitudinales il existe une relation entre contrainte tangentielle et déformation A V 4
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La relation de dépendance est explicitée en figure 2 Figure 2 : Critères de déformation d'une roche Source : www pairform Sur Terre le
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Les valeurs propres du tenseur contraintes III 2 2 III 3 1 Le cercle de Mohr en contraintes planes Densité d'énergie potentiel de déformation
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En supposant que le MO(P)+ MO (Pme )= 0 exprimez la relation élastique ?0 2 correspond à la contrainte provoquant une déformation élastique et durant
Quelle est la relation entre la contrainte et la déformation ?
Loi de Hooke:
Lorsqu'on charge un matériau, si la contrainte produite demeure inférieure à sa limite élastique, sa déformation est proportionnelle à la contrainte qu'il subit.Quel est la formule de la contrainte ?
La contrainte normale constante dans la section vaut ? = F/S et la déformation vaut ? = F/ES.Comment calculer la contrainte en RDM ?
A la contrainte normale ?=My/I s'ajoute des contraintes tangentielles. Déformée et calcul des fl?hes : sous l'effet des forces qui lui sont appliquées une poutre se déforme. On appelle fl?he à l'abscisse x le déplacement vertical du centre de gravité de la section relative à cette abscisse.- Une contrainte est un effort par unité de surface qui s'exerce dans le matériau. Une contrainte s'exprime en MPa (Méga-Pascal, 1 MPa = 1 N/mm2). Imaginons un solide soumis à une contrainte de 100 MPa : cela revient à dire qu'un effort de 100 N est appliqué sur une surface de 1 mm2.
Intro&T
Module #2
Contraintes & Deformations
(CIV1150 - Resistance des materiaux)Enseignant: James-A. Goulet
Departement des genies civil, geologique et des minesPolytechnique MontrealSections 2.1-2.13 { R. Craig (2011)
Mechanics of Materials, 3rd Edition
John Wiley & Sons.P. Leger (2006)
Notes de cours: Chapitre 2 { Deformations
Polytechnique Montreal.Enseignant: J-A. GouletPolytechnique Montreal2{Contraintes & DeformationsjV1.1jCIV1150{ Resistance des materiaux 1/63
Intro&T
Denition { contrainte normale
Contrainte moyenne normale,
=FA =force normale (i.e. perpendiculaire) a la surfacesurface sur laquelle elle agitUnites:
IPascal:Pa=N=m2
IMegapascal:MPa=N=mm2= 106N=m2
I6895Pa= 1lb=in2= 1psiSignes: + (tension), - (compression)+Enseignant: J-A. GouletPolytechnique Montreal
2{Contraintes & DeformationsjV1.1jCIV1150{ Resistance des materiaux 4/63
Intro&T
Contraintes v.s. contraintes moyennes
Contrainte moyenne normaleContrainte moyenne normale: egale pour toutes les sectionsEnseignant: J-A. GouletPolytechnique Montreal
2{Contraintes & DeformationsjV1.1jCIV1150{ Resistance des materiaux 5/63
Intro&T
Exemple { contraintes normales
Contraintes normales - exemple
Soit une barre ayant une section de 35mm par 10mm tel queEnseignant: J-A. GouletPolytechnique Montreal
2{Contraintes & DeformationsjV1.1jCIV1150{ Resistance des materiaux 6/63
Intro&T
Exemple { contraintes normales
Contraintes normales - exemple (cont.)La charge maximale se trouve sur la section BC;F= 30kN =FA =30103N3510mm2= 85:7MPa+Enseignant: J-A. GouletPolytechnique Montreal2{Contraintes & DeformationsjV1.1jCIV1150{ Resistance des materiaux 7/63
Intro&T
Denition { Deformations axiales
Deformations axiales -Denition:
=longueur nalelongueur initialelongueur initiale LLL LLUnites: m/m, mm/mm, in/in,
(microdeformation= 106)Signe: + Allongement - retrecissement+Enseignant: J-A. GouletPolytechnique Montreal
2{Contraintes & DeformationsjV1.1jCIV1150{ Resistance des materiaux 8/63
Intro&T
Deformations thermiques 1D
Deformations thermiques - 1DDenition:
T=(TnaleTinitiale) =TUnites ():mm=mm=oC==oCCoecient d'expansion thermique(ref. Annexe F-4): IAcier:= 12106=oC
IAluminium:= 21 a 24106=oC
I Beton:= 10106=oCEnseignant: J-A. GouletPolytechnique Montreal2{Contraintes & DeformationsjV1.1jCIV1150{ Resistance des materiaux 10/63
Intro&T
Deformations thermiques 1D
Deformations thermiques 1D { exemple cas iso.3m
ITinitiale= 20oC
ITnale= 10oC
I = 12106=oCCalculerT,TetTDeformation: T=(TnaleTinitiale) =T= 12106=oC 10oC=12105Deplacement:T=TL=121053000mm=0:36mmContrainte:
T= 0?!Module 3 { structures hyperstatiquesEnseignant: J-A. GouletPolytechnique Montreal2{Contraintes & DeformationsjV1.1jCIV1150{ Resistance des materiaux 11/63
Intro&T
Deformations thermiques 3D
Deformations thermiques - 3DLxT= (T)Lx
LyT= (T)Ly
LzT= (T)LzEnseignant: J-A. GouletPolytechnique Montreal2{Contraintes & DeformationsjV1.1jCIV1150{ Resistance des materiaux 12/63
Intro&T
Relation entre contraintes () et deformations ()
Diagrammes contraintes-deformations,=f()
Contraintes: Eet desfo rcesinternes sur le mat eriauDeformations: Eet desd eplacementsinternes sur le mat eriauLa relation entre les contraintes et les deformations est decrite par
le diagramme contrainte-d eformationd'un mat eriauEnseignant: J-A. GouletPolytechnique Montreal2{Contraintes & DeformationsjV1.1jCIV1150{ Resistance des materiaux 14/63
Intro&T
Relation entre contraintes () et deformations ()
Essais en laboratoires
Le diagramme contrainte-d eformation est obtenu en lab oratoireL0: Longueur initiale
A0: Aire initiale
L=LL0 =FA 0 =LL0Enseignant: J-A. GouletPolytechnique Montreal
2{Contraintes & DeformationsjV1.1jCIV1150{ Resistance des materiaux 15/63
Intro&T
Materiau { Acier
Diagramme contraintes-deformations { AcierYielding : plasticationHardening : ecrouissage
Necking : amincissement
PL: Limite de proportionnalite
(YP)l: Limite elastique (y,fy) (YP)u: Limite elastique superieureU: Contrainte ultime
F: Contrainte de rupture
Ft: Contrainte de rupture reelleModule elastique/de YoungE=; < PL
(E: propriete intrinseque)Enseignant: J-A. GouletPolytechnique Montreal
2{Contraintes & DeformationsjV1.1jCIV1150{ Resistance des materiaux 16/63
Intro&T
Materiau { Acier
Diagrammes contraintes-deformationsEssai de traction (Acier)Essai de compression (beton)Enseignant: J-A. GouletPolytechnique Montreal2{Contraintes & DeformationsjV1.1jCIV1150{ Resistance des materiaux 17/63
Intro&T
Materiau { Acier
Limite elastique - Beton et aluminium
Enseignant: J-A. GouletPolytechnique Montreal
2{Contraintes & DeformationsjV1.1jCIV1150{ Resistance des materiaux 18/63
Intro&T
Materiau { Beton
Diagrammes contraintes-deformations { Beton(26)
(MPa) (21) (14) (6.89)Enseignant: J-A. GouletPolytechnique Montreal2{Contraintes & DeformationsjV1.1jCIV1150{ Resistance des materiaux 19/63
Intro&T
Materiau { elasticite
ElasticiteComportement elastique
(non lineaire)Comportement elastoplastiqueEnseignant: J-A. GouletPolytechnique Montreal
2{Contraintes & DeformationsjV1.1jCIV1150{ Resistance des materiaux 20/63
Intro&T
Materiau { elasticite
Elasticite - Modele courantComportement elastique, parfaitement plastiqueAcier courant
IE= 200000MPa=200GPa
I y= (300;350)MPa I y0:0012M^eme comportement en traction et en compressionEnseignant: J-A. GouletPolytechnique Montreal2{Contraintes & DeformationsjV1.1jCIV1150{ Resistance des materiaux 21/63
Intro&T
Materiau { elasticite
Rigidite &
Elasticitek: Coe. de rigidite [kN/m]
F=kE: Module elastique [MPa]
=E=FA =EEnseignant: J-A. GouletPolytechnique Montreal2{Contraintes & DeformationsjV1.1jCIV1150{ Resistance des materiaux 22/63
Intro&T
Materiau { elasticite
Rigidite &
Elasticite { exempleF=k
mg=k k=mg =13:8kg9:81m=s21mm= 135N=mm =FA =409:812:52= 20Nmm2= 20MPa
=L =2:9mm10000mm= 2:9104 =E E= =20MPa2:9104= 70000MPaEnseignant: J-A. GouletPolytechnique Montreal2{Contraintes & DeformationsjV1.1jCIV1150{ Resistance des materiaux 23/63
Intro&T
Elasticite lineaire { loi de Hooke
Loi de Hooke=EMateriaux E[MPa]
Aluminium 70000
Beton (compression) 30000
Acier 200000
Bois (anisotrope) 12000La relation entre la contrainte et la deformation est quasi-lineaire pour le domaine elastique des materiaux du genie civilEnseignant: J-A. GouletPolytechnique Montreal2{Contraintes & DeformationsjV1.1jCIV1150{ Resistance des materiaux 25/63
Intro&T
Elasticite lineaire { coecient de Poisson
Coecient de poissonDeformation longitudinale
x=xE!x=xE : Coecient de Poisson transv.=long.Deformations transversales y=z=x=xEEnseignant: J-A. GouletPolytechnique Montreal
2{Contraintes & DeformationsjV1.1jCIV1150{ Resistance des materiaux 26/63
Intro&T
Elasticite lineaire { coecient de Poisson
Coecient de poisson - Exemple
transv.=0:025mm long.= 0:5mm E=?; =?Enseignant: J-A. GouletPolytechnique Montreal2{Contraintes & DeformationsjV1.1jCIV1150{ Resistance des materiaux 27/63
Intro&T
Elasticite lineaire { coecient de Poisson
Coecient de poisson - Exemple
transv.=0:025mm long.= 0:5mm=E; =transv. long.I =FA =875N1025mm2= 3:5MPaI long.=LL =0:5mm200mm= 0:0025mm=mmI E= =3:5MPa0:0025mm=mm= 1400MPaI transv.= largeurlargeur =0:025mm25mm=0:0010mmI =transv. long.=0:00100:0025= 0:4Enseignant: J-A. GouletPolytechnique Montreal2{Contraintes & DeformationsjV1.1jCIV1150{ Resistance des materiaux 28/63
Intro&T
Elasticite lineaire { coecient de Poisson
Coecient de poisson - Valeurs typiques0.5
0.3 00Matériaux communs
Matériaux
articiels (auxétique)0.2Enseignant: J-A. GouletPolytechnique Montreal
2{Contraintes & DeformationsjV1.1jCIV1150{ Resistance des materiaux 29/63
Intro&T
Contraintes de cisaillement
Contraintes de cisaillement: Contrainte de cisaillementV: Force de cisaillement
AS: Aire eective en cisaillement
=VASEnseignant: J-A. GouletPolytechnique Montreal
2{Contraintes & DeformationsjV1.1jCIV1150{ Resistance des materiaux 31/63
Intro&T
Assemblages boulonnes
Cisaillement pur { Assemblages boulonnesj
: Contrainte de cisaillementV: Force de cisaillement
AS: Aire eective en cisaillement
=VASEnseignant: J-A. GouletPolytechnique Montreal
2{Contraintes & DeformationsjV1.1jCIV1150{ Resistance des materiaux 32/63
Intro&T
Assemblages boulonnes
Assemblages boulonnes { exempleDiametre des boulons:dCalculerpour les
assemblages (a) et (b)?a)V=P A S=d24 =4Pd2b)V=P=2 A S=d24 =2Pd2Enseignant: J-A. GouletPolytechnique Montreal2{Contraintes & DeformationsjV1.1jCIV1150{ Resistance des materiaux 33/63
Intro&T
Poinconnement
Cisaillement { Poinconnement, Loma Prieta, 1989=PdtEnseignant: J-A. GouletPolytechnique Montreal2{Contraintes & DeformationsjV1.1jCIV1150{ Resistance des materiaux 34/63
Intro&T
Cisaillement
Cisaillement { Northridge, 1994
Enseignant: J-A. GouletPolytechnique Montreal
2{Contraintes & DeformationsjV1.1jCIV1150{ Resistance des materiaux 35/63
Intro&T
Equilibre
Conditions d'equilibre pourCisaillement pur
XF x= 0;XF y= 0;XM z= 0Enseignant: J-A. GouletPolytechnique Montreal2{Contraintes & DeformationsjV1.1jCIV1150{ Resistance des materiaux 36/63
Intro&T
Equilibre
Deformation en cisaillement
: Changement d'angle d^u aux contraintes de cisaillement (eort tranchant) =2 = tan1SL S uSL S|{z} theorie des petites deformations!Angles en radiansEnseignant: J-A. GouletPolytechnique Montreal
2{Contraintes & DeformationsjV1.1jCIV1150{ Resistance des materiaux 37/63
Intro&T
Equilibre
Hypotheses - petits deplacements & deformationsHypothese: Les deplacements et deformations sont petits par
rapport aux dimensions de la structure b= tan1Ba uBa rad;pourb1radEnseignant: J-A. GouletPolytechnique Montreal2{Contraintes & DeformationsjV1.1jCIV1150{ Resistance des materiaux 38/63
Intro&T
Equilibre
Deformation en cisaillement
{ Exemple x=?; y=?; xy=?Enseignant: J-A. GouletPolytechnique Montreal2{Contraintes & DeformationsjV1.1jCIV1150{ Resistance des materiaux 39/63
Intro&T
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