CONTRAINTES ET DÉFORMATIONS
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En supposant que le MO(P)+ MO (Pme )= 0 exprimez la relation élastique ?0 2 correspond à la contrainte provoquant une déformation élastique et durant
Quelle est la relation entre la contrainte et la déformation ?
Loi de Hooke:
Lorsqu'on charge un matériau, si la contrainte produite demeure inférieure à sa limite élastique, sa déformation est proportionnelle à la contrainte qu'il subit.Quel est la formule de la contrainte ?
La contrainte normale constante dans la section vaut ? = F/S et la déformation vaut ? = F/ES.Comment calculer la contrainte en RDM ?
A la contrainte normale ?=My/I s'ajoute des contraintes tangentielles. Déformée et calcul des fl?hes : sous l'effet des forces qui lui sont appliquées une poutre se déforme. On appelle fl?he à l'abscisse x le déplacement vertical du centre de gravité de la section relative à cette abscisse.- Une contrainte est un effort par unité de surface qui s'exerce dans le matériau. Une contrainte s'exprime en MPa (Méga-Pascal, 1 MPa = 1 N/mm2). Imaginons un solide soumis à une contrainte de 100 MPa : cela revient à dire qu'un effort de 100 N est appliqué sur une surface de 1 mm2.
![Diapositive 1 Diapositive 1](https://pdfprof.com/Listes/17/45288-17MMC7.pdf.pdf.jpg)
Mécanique des milieux continus
Séance 7 : Elasticité
Guilhem MOLLON
GEO3 2012-2013
Plan de la séance
A. Lois de comportement
B. Le modèle élastique linéaire isotrope
1. Définition
2. Paramètres usuels
C. Elasticité en sollicitations simples
1. Contrainte uniaxiale
2. Cisaillement simple
3. Compression hydrostatique
2A. Lois de comportement
Séance 7
4A. Lois de comportement
On a présenté en détail depuis le début de ce cours de MMC deux personnages essentiels : -Le tenseur des déformations linéarisées Ce tenseur possède une base propre , dans laquelle la matrice du tenseur fait apparaître les trois déformations principales : -Le tenseur des contraintesCe tenseur possède également une base propre , dans laquelle la matrice du
tenseur fait apparaître les trois contraintes principales : 5A. Lois de comportement
et de contraintes soient les mêmes. Pour mettre en relation ces deux objets physiques, on introduit ici la notion de modèle de comportement. Mathématiquement, un modèle de comportement est une fonctionnelle qui fournit laOn peut donc écrire :
On remarque que cette formulation fait intervenir , tenseur des déformations, en tout point 6A. Lois de comportement
simplifier en posant plusieurs hypothèses crédibles. point : le tenseur des déformations linéarisées : instant : 7A. Lois de comportement
simplement une fonction : Dans ce dernier cas, on fait souvent usage du modèle de " milieu à mémoire infiniment taux de déformation à un instant donné :B. Le modèle élastique linéaire isotrope
Séance 7
9B. Le modèle élastique linéaire isotrope
Le modèle de comportement élastique est une loi locale et sans mémoire, qui possède en outre les propriétés suivantes :-Il existe pour chaque particule du milieu un état de référence, appelé état au repos, tel que
le tenseur des déformations linéarisées et le tenseur des contraintes sont tous les deux égaux au tenseur nul.déformation par rapport à O·pPMP de référence. Cet état de référence peut donc être
assimilé à O·pPMP initial au sens lagrangien du terme. Plus simplement, un milieu élastique est un milieu qui se déforme sous un chargement (la nature et la quantification de cette déformation étant quelconques), et qui revient exactement à son état initial si on supprime le chargement.1. Définition
10B. Le modèle élastique linéaire isotrope
sur la nature de la fonction qui relie les contraintes aux déformations. On peut aller plus loin en
parlant de modèle élastique linéaire. Dans ce cas, on ajoute les hypothèses suivantes : -Le mouvement est conforme à O·+33 -La relation entre contraintes et déformations est affine Grâce à ces hypothèses, on peut écrire une relation de proportionnalité entre chaqueterme de la matrice du tenseur des déformations linéarisées et chaque terme de la matrice du
tenseur des contraintes : Chaque terme du tenseur des contraintes est donc obtenue comme une composition linéaire de tous les termes de la matrice des déformations linéarisées.1. Définition
11B. Le modèle élastique linéaire isotrope
et . Le plus souvent, pour simplifier les notations, on a adopte plutôt le système suivant :
La matrice est alors appelée matrice des raideurs élastiques, et possède 21 termes indépendants (du fait de certaines symétries).1. Définition
12B. Le modèle élastique linéaire isotrope
Pour décrire un matériau de manière pratique, 21 paramètres sont encore beaucoup trop. Ils ne
émettre une dernière hypothèse simplificatrice, qui correspond au modèle élastique linéaire isotrope : -Le comportement mécanique du milieu est invariant par rotation. Autrement dit, il se comporte de la même manière dans toute les directions.Sous cette hypothèse, on travaille avec 2 paramètres au lieu de 21, et on appelle ces paramètres
pression (kPa ou Mpa).ont une direction structurelle privilégiée : bois, composites, certains sols stratifiés, etc.
1. Définition
13B. Le modèle élastique linéaire isotrope
contraintes-déformations prend une forme simplifiée, appelée Loi1. Définition
Robert Hooke
1635-1703
linéarisées en la multipliant par la constante et en lui ajoutant le scalaire . On en
déduit une propriété très intéressante : En élasticité linéaire isotrope, les directions principales de déformations et de contraintes sont identiques.Il faut bien noter que cette propriété est uniquement valable pour ce modèle de comportement,
14B. Le modèle élastique linéaire isotrope
On a introduit les coefficients de Lamé car ils fournissent la formulation la plus simple de la loi de Hooke. Ils ont donc une grande importance théorique. Dans un cadre pratique, pourtant, on utilise beaucoup plus souvent module G·KRXQJ et le coefficient de Poisson : Ces deux paramètres sont très couramment utilisés car ils ont un sens physique beaucoup plus tangible que les coefficients de Lamé,2. Paramètres usuels
Thomas Young
1773-1829
Siméon Denis Poisson
1781-1840
15B. Le modèle élastique linéaire isotrope
On constate que cette expression est légèrement plus compliquée que celle faisant intervenir les
coefficients de Lamé. On peut retourner la relation pour exprimer les déformations en fonction des contraintes : déformation. On utilise souvent le terme de raideur.2. Paramètres usuels
16B. Le modèle élastique linéaire isotrope
matricielle, en faisant intervenir tous les termes des tenseurs de contrainte et de déformations :
Grâce à O·LVRPURSLH du matériau, ces relations sont vraies dans toute base.2. Paramètres usuels
C. Elasticité en sollicitations simples
Séance 7
18C. Elasticité en sollicitations simples
Imaginons un cube unitaire de matériau élastique, et soumettons-le à une traction uniaxiale définie par le tenseur de contraintes suivant, supposé homogène : En appliquant la loi de Hooke, on détermine immédiatement le tenseur de déformation issu de cette sollicitation : La déformation selon est une extension proportionnelle à la contrainte appliquée. Le module G·KRXQJ est donc le coefficient de proportionnalité entre une déformation axiale et la contrainte normale qui O·M produite.1. Contrainte uniaxiale
19C. Elasticité en sollicitations simples
Par ailleurs, on constate que les déformations dans les directions et ne sont Le coefficient de Poisson est donc, au signe près, le rapport entre O·H[PHQVLRQ dans la direction de chargement et la contraction dans les deux directions normales.1. Contrainte uniaxiale
20C. Elasticité en sollicitations simples
Pour la même sollicitation, la loi de Hooke donne également : On peut alors distinguer deux cas limites pour le coefficient de Poisson : -si , une contrainte uniaxiale Q·LQGXLP pas de déformation transversale.O·HIIHP Poisson disparaît.
-si , on observe que . Ce cas limite correspond donc à un milieu parfaitement incompressible. Par conséquent, on aura toujours la règle suivante :1. Contrainte uniaxiale
21C. Elasticité en sollicitations simples
matériau, on est en mesure de déterminer très facilement ses propriétés élastiques :
-en mesurant sa déformation axiale, on accède au module G·KRXQJ -en mesurant sa déformation transversale, on accède au coefficient de Poisson répandu que les coefficients de Lamé.1. Contrainte uniaxiale
22C. Elasticité en sollicitations simples
On sollicite maintenant un milieu continu par un cisaillement simple défini par le tenseur de contraintes suivant :2. Cisaillement simple
23C. Elasticité en sollicitations simples
Le glissement observé correspond à un angle donné par :On constate donc que cet angle est proportionnel à la contrainte de cisaillement exercée sur le
milieu. Le deuxième coefficient de Lamé, noté apparaît donc comme le rapport de proportionnalité entre une contrainte de cisaillement et le glissement induit. On O·MSSHOOH " module de cisaillement », et on le note parfois2. Cisaillement simple
24C. Elasticité en sollicitations simples
Si on se place dans la base principale, on voit alors apparaître des dilatations. Par définition, les
glissements dans cette base sont nuls.On a déjà démontré que cette base principale (à la fois de contraintes et de déformations)
correspond aux bissectrices de la base de départ, et on peut donner directement le tenseur de déformations dans cette base : Par conséquent, une sollicitation de cisaillement simple dans un milieu élastique linéaire isotrope produit deux dilatations opposées selon les bissectrices de la base de départ, et ces dilatations sont proportionnelles à la contrainte de cisaillement. Cette proportionnalité fait intervenir le module de cisaillement.2. Cisaillement simple
25C. Elasticité en sollicitations simples
On sollicite maintenant un milieu continu par une compression isotrope, aussi appelée compression hydrostatique et définie par une pression : Par application de la loi de Hooke, la déformation associée est :à une déformation également isotrope.
3. Compression hydrostatique
26C. Elasticité en sollicitations simples
On introduit la grandeur suivante, appelée module de compressibilité : En introduisant cette grandeur dans le tenseur des déformations, on obtient : On en déduit donc que le module de compressibilité correspond au coefficient de proportionnalité entre la pression appliquée à un milieu continu et sa perte de volume.3. Compression hydrostatique
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