[PDF] STAGE OLYMPIQUE DE GRÉSILLON 2010

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STAGE OLYMPIQUE DE GRÉSILLON 2010

Du 19 au 26 août 2010

?ierre ertin ?gor Kortchemski odo ?ass ?mmanuel ?ecouturier rançois ?o acomo ?ouis ?ebout ?arc ?age ?lia ?milga ?ntoine ?aveneaux ?éon le relon ?aspard le ?ézard arnabé le ?carabé ?nouk le ouc acouille la ?renouille ?onique la ?ique 4 ?ichel ?ak-Kattar ?ichel eaughon ?ndrea ianchi ederico orghese ?ébastien Cheva- leyre ?arc Chevalier ?abriel Cochet ?uillaume Conchon-

Kerjan?arc ?e isme ?éonard ?ekens

érémy ?enechaud riac ?esmarchelier onathan ?ong ?arah achada-?ury ?axime aron ?ucas lammant ?éonard leutot ?ymeric romherz ?iane ?allois-Wong ?ouise ?assot 5 ?régoire ?enest Walid ?hanem ?ugdy oabar ean Kieer ?ax ?anghof incent ?ouly ?éginus ?owlavi ?rthur ?ebout rançois ?eel ?uriane ?errin ?icolas ?inson ?athieu ?iquerez ictor ?uach Wojciech ?itarz ?lexander ?homas ?stelle arloot ?aëtan ignoud Wenda hou 6 9 ??? ?remier jour ? ?olution des évaluations ?xercices supplémentaires du premier jour ?5 ? ?noncés ?5 ? ?olutions ?5 ?7 ?7 ? ?xercices vus en cours de ?tratégies de ase ?7 ? ?xercices vus en cours d'arithmétique ? ?remier ?? de ?tratégies de ase ? ?euxième ?? de ?tratégies de ase ?? de ?éométrie 4

4 ?? d'?rithmétique

4? ?xercices du jour 45
? ?noncés 45
? ?olutions 46

4 ?ests

49
? ?est de ?tratégies de ase ( h) 49
? ?est de ?éométrie ( h) 5? ?est d'?rithmétique ( h) 5 55
55
? ?olynômes 55
? ?négalités 7?

Corrections

78
8? ? Combinatoire 8? ? ?rithmétique, première partie 9? ?rithmétique, deuxième partie 96

4 ?négalités

98
7

5 ?éométrie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .996 ?quations fonctionnelles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .??5

?xercices du jour ??8 ? ?noncés ??8 ? ?olutions ??9

4 ?ests

? ?est de Combinatoire et ?olynômes ( h) ? ?est d'arithmétique et d'inégalités ( h) ??4 ?est de ?éométrie (4h) ??7 ?? ?ctivités ludiques ? 5 ? 5 ? ?noncés ? 5 ? ?olutions ? 6 ? Chasse au trésor ? 8 ? ?ègles de la chasse au trésor ? 8 ? ?noncés ? 9 ?olutions ?4 ?5? ?X ?nnexe : test de sélection au stage de ?résillon ???? ?5 ?ébutants ?vancés eudi journée ?rrivée, accueil des élèves et première évaluation

9h-??h

Cours de ?tratégie de ase

Cours de Combinatoire

endredi ?4h-?7h ?? de ?tratégie de ase

Cours sur les ?olynômes

??h -??h ?résentation des ???

9h-??h

??? de ?tratégie de ase ?? de Combinatoire ?amedi ?4h-?7h ?est ?7h ?-?8h ?

Correction du ?est

9h-??h

Cours de ?éométrie

Cours d'?rithmétique

?imanche ?4h-?7h ?? de ?éométrie

Cours d'?négalité

??h-??h

Conférence sur les ?olytopes réguliers

9h-??h

?? de ?éométrie ?? d'?rithmétique et d'?négalités ?undi ?4h-?7h ?est ?7h ?-?8h ?

Correction du ?est

9h-??h

Cours d'?rithmétique

Cours de ?éométrie

?ardi ?4h-?9h

Chasse au ?résor

??h-??h

Conférence autour des ?édailles ields

9h-??h

?? d'?rithmétique ??? de ?éométrie ?ercredi ?4h-?8h ?est ?8h-?9h

Correction du ?est

?e groupe des ?ébutants a étudié les stratégies de base de résolution d'exercices puis la

géométrie (des rappels des principales connaissances de base des programmes de collège et de

9

lycée) et enn l'arithmétique. ?our le groupe des ?vancés, la partie cours a été moins présente,

et nous avons essayé de mettre l'accent sur la résolution d'exercices; les thématiques des séances

de travails étaient : la combinatoire, l'arithmétique, les inégalités, les polynômes et la géométrie.

?es séances d'exercices, appelés ?? (travaux dirigés) étaient des séances classiques , pen-

dant lesquelles les élèves rééchissaient avec l'aide du professeur sur un certain nombre de pro-

blèmes. ?es solutions étaient présentées au fur et à mesure par l'encadrant ou bien par un élève

ayant trouvé la solution.

?n plus des cours et de ces séances d'exercices, les élèves ont eu à plancher sur trois tests en

temps limité. Chaque test portait sur une partie de ce que les élèves ont étudié lors du stage. Ces

tests comptaient entre 4 et 5 exercices et les élèves disposaient de ou 4 heures pour aller le plus

loin possible. Chaque groupe de niveau avait un test spécique en fonction de ce qu'ils avaient

étudié les deux derniers jours. À l'issue de ces tests, une correction d'une heure était proposée aux

élèves pour souligner les dicultés et les points importants des exercices sur lesquels ils avaient

planché.

?ous les jours, deux exercices par niveau et une énigme mathématique ont été proposés aux

élèves pendant leur temps libre. ?ne petite récompense gourmande était prévue pour les premières

personnes à résoudre ces exercices. ?ne chasse au trésor mathématique a été organisée pendant le stage pour permettre aux

élèves de travailler en groupe et de se détendre un peu en extérieur (et de proter du domaine

du château de ?résillon). ?e jeu consistait a résoudre des énigmes et des exercices (qui menaient

vers l'énigme suivante) pour aller de proche en proche jusqu'à l'énigme nale.

?n dehors du travail sur les mathématiques, conférences ont été organisées. rançois a

présenté le compétition des ?lympiades ?nternationales aux élèves, ?gor a parlé de la ?édaille

ields (dont le dernier crue est arrivé le premier jour de notre stage) ainsi que des travaux de ?tas ?mirnov, et enn ?lia nous a parlé des polytopes convexes réguliers en dimension 4. ?uelques liens utiles pour poursuivre le travail réalisé pendant ce stage : ?noncé des évaluations 2008+
p

2009) =

0? f(n) +f(f(n)) +f(f(f(n))) = 3n: x

2+y2= 3z2:

?ans un graphe complet de 6 sommets on colorie les arrêtes soit en jaune soit en rouge. ?ontrer qu'il est toujours possible de trouver un triangle rouge ou un triangle jaune. x 1 x n+x2 x n¡1+:::+xn x

1¸n:

C ?olution des évaluations v p(n!) =+1X i=1[n p i]: ????n= 2010? ?? ???????v5(2010!) = [2010 5 ] + [2010 25
] + [2010 125
] + [2010 625
] = 402 + 80 + 16 + 3 = 501? ?? ????x=p 2008+
p

2009? ?? ? ?x2= 2008+2009+2p

2008£2009? ????4£2008£2009 =

(x2¡2008¡2009)2? ????x4¡8034x2+ 1 = 0? s i=c1+:::+ci? ????? ?? ? ?n??????? ??? ??? ??????n+ 1?? ????? ? ?n??????s1?s2? ???? s c mu+nv= 1? ????x= (xm)u:(xn)v2Q? f(f(f(b)))? ????3a= 3b????a=b? k¸n+ 1? ????f(n+ 1)¸n+ 1????f(f(n+ 1))¸n+ 1????f(f(f(n+ 1)))¸n+ 1? ???? f(n+ 1) = 3(n+ 1)¡f(f(n+ 1))¡f(f(f(n+ 1)))·n+ 1? ????f(n+ 1) =n+ 1? ???? ?? x 2 ;y 2 ;z 2 ?a deuxième méthode consiste à remarquer que modulo3? ?? ????? ????? ?????? ?0??1?3 ??????x??y????x= 3x0??y= 3y0????3(x02+y02) =z2????z= 3z0????x02+y02= 3z02 ????(x 3 ;y 3 ;z 3 C???3??????? ???? ?X??? ???3??????? ?? ??? ??? ??????AB?BC??AC??? ?????? ?? ? x

2¡2xy+y2= (x¡y)2¸0;

x y +y x =x2+y2 xy 2xy xy = 2: ?? ?????? ??? ?????? ???? ??? ???? ?????? ??n??? ??????? ?? ????? ?? ?????? ??? ????? ???? x 1 x n+x2 x n¡1+:::+xn x

1=µx1

x n+xn x +µx2 x n¡1+xn¡1 x

Chaque paire de termes est donc supérieure ou égale à ?, et le terme du milieu, s'il existe,

vaut ?. ?onc la somme est supérieure ou égale àn? ?euxième version : ?n applique l'inégalité arithmético-géométrique : 1 n x1 x n+x2 x n¡1+:::+xn x nr x 1 x nx 2 x n¡1:::xn x 1= 1 ?? ?68 = 22¢17? ????682008= 24016¢172008? ???? ??? ??????? ?? ?? ?????2n¢17m? ???? k=0¡ n k¢2n¡k= (2 + 1)n= 3n??? ?? ersion astucieuse : ????f0;1;2g?? 3 2 1 3 ¢p 3 2

¢1 =p

3 6 ?'aire de la zone est 1 2 4 (AB2¡AC2¡CB2)? ??AB=AC+CB???? ?????? ?? ?? ???? ??? 4 MC =MC CB 2

¡dMAC=dAMC?

?????? ?? ????dMNC?????? ?? ?????dMPC??? ?????? ?? ?? ?????? ??? ??? ??????M?N? ?4

le théorème de l'angle inscrit (dégénéré), on obtient queNP??? ??????? ?C2??P? ?? ??

???? ????C1??N? ?xercices supplémentaires du premier jour ?noncés (i)u0= 5 ????un+1=un+1 u n ??????? ???u1000>45? ?olutions ??????CH?? ??????? ????? ??C??BM?? ??????? ????? ??B? ??

?u début il y a un verre plein et deux verres vides, représentons les par le triplet(1;0;0)? ??

?5 p 1 q 1+p2 q 2 2 =p1q2+p2q1 2q1q2 ?? ??????? ?? ??????u2n+1> u2n+ 2????u2n>2n+ 25?? ????u1000>p

2£1000 + 25 = 45

?6 Cours ?xercices vus en cours de ?tratégies de ase ??1? 7 5? 4 +1 9 +:::+1 n

2·2¡1

n 8 +1 27
+:::+1 n 3<5 4 a¡1? ???? ????? ?1??2? ?7 ? ? ?? ?????? ??? ??????? ???? ???n??????? ??????n?fkng;fkn+ ? - ?n utilise ce premier résultat avec la suite :a0= 0;a1= 1;a2= 11;a3= 111?????? ?ai??? 500
2 51
2 ????25? ??????? ?? ????? ????25??????? ??? ????? ?????? ??? ?? ??????? ????25??????? ?? ????1 5 2 5 <2 7 1 7 ?8 5? ?xercice 4 1 ??? ??????? ????n? ???? ????? ?????? ????n+ 1? ??? ?? ?????? ?? ?????? ?? ??????1 (n+1)2????? 1 n ¡1 n+1=1 1 (n+1)2? ?? ???? ????n?2¡1 n <2? Concernant la somme des inverses des cubes, il faut passer par une formule analogue : si, pour une constantek?1 +1 8 +1 27
+:::+1 n

3·k¡1

n+1???1 (n+1)3<1

2n(n+1)¡1

2(n+1)(n+2)=1

4 24
? ?? ???? ????n¸3?1 +1 8 +1quotesdbs_dbs22.pdfusesText_28

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