Arithmétique dans lensemble des entiers natures : diviseurs
Denis Vekemans ?. 1 L'ensemble des entiers naturels. Définition naïve : 0 est un entier naturel ; et si n est un entier naturel
Concours de Professeur des Écoles
Denis Vekemans ?. 1 Copyright M1–S1–C3 Logique – Arithmétique dans l'ensemble des entiers naturels : ÉCRITS CONCOURS. M1–S1–C4 Arithmétique dans ...
Numérations : en base 10 décimale dans dautres bases
Denis Vekemans ?. 1 Principes de numération dans l'ensemble des entiers naturels. 1.1 À propos de notre système de numération usuel .
Mathématiques : Exercices
1 Ensembles de nombres 4 Arithmétique des nombres entiers naturels ... voir correction sur le site de Denis Vekemans (ESPE LNF site Gravelines) ...
Support de cours de préparation au concours de Professeur des
2.1 Arithmétique dans l'ensemble des entiers naturels . Le site http ://vekemans.free.fr/public_html/index.html regroupe ce cours.
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Denis Vekemans 1. 1Laboratoire de mathématiques pures et 2.1 Arithmétique dans l'ensemble des entiers naturels . ... http ://vekemans.free.fr/WWWPE.
BULLETIN LACADÉMIE NATIONALE DE MÉDECINE
L'IRM à ultra haut champ magné- tique. Conclusion : probable and possible futures. MRI with ultra high magnetic field. Denis Le Bihan.
liste des ateliers
Il permet d'aborder le sens des nombres entiers naturels décimaux et essais des élèves sont facilités par le fait qu'il n'y a pas l'ensemble de ...
Nouvelle Biographie Nationale – Volume 8
ront ensemble jusqu'à la fin de leur vie pour le solidité et de visionnaire le désigne tout naturel- ... Behogne possédait un caractère entier et ...
Ce document est le fruit dun long travail approuvé par le jury de
1 sept. 2016 soutenance et mis à disposition de l'ensemble de la ... François ALLA - Professeur Francis GUILLEMIN - Professeur Denis ZMIROU-NAVIER ...
Denis Vekemans
1 Principes de numération dans l"ensemble des entiers naturels
1.1 À propos de notre système de numération usuel ...
Dans la base décimale, celle que nous utilisons habituellement, l"écriture du nombre 2 050 dégage
que le nombre en question est somme de 2 milliers et de 5 dizaines. Elle induit également que 2 050 =
2×1 000+5×10 = 2×103+0×102+5×101+0×100. On peut voir, à travers cette écriture le rapport
privilégié au nombre 10 duquel la base décimale tire son nom. aveck+ 1 chiffres en base décimale. On dit que notre système de numération décimal est1.décimal(les échanges d"une classe à la classe juste à droite se font à 10 pour1 : 1 dizaine vaut 10
unités, 1 centaine vaut 10 centaines, ... et par conséquent, 1 centaine vaut 100 unités, ...)
2. etde position(selon sa place dans le nombre, un même chiffre peut tantôt avoirun statut de
dizaines, tantôt de milliers, ... et donc changer de valeur; pour signifier une absence dans une certaine classe, on utilise un zéro de position; ...)Certains préfixes sont utilisés en base décimale pour abréger des écritures s"achevant par de nombreux
zéros : - 1k= 1 000 (lire "un kilo" vaut mille unités); - 1M= 1 000 000 (lire "un méga" vaut un million d"unités); - 1G= 1 000 000 000 (lire "un giga" vaut un milliard d"unités). Exercice 1Combien valent 30M, 47G, et 21ken unités?Solution 1
?Laboratoire de mathématiques pures et appliquées Joseph Liouville ; 50, rue Ferdinand Buisson BP 699 ; 62 228 Calais
cedex ; France 1 - 30M= 30 000 000, - 47G= 47 000 000 000, - et 21k= 21 000. Désignations des classes pour les grands nombres en base 10. unité(100)millier(103) million(106)milliard(109) billion(1012)billiard(1015) trillion(1018)trilliard(1021) quadrillion(1024)quadrilliard(1027)Dans ce tableau,
- de la colonne de gauche à la colonne de droite, le rapport est de mille : par exemple, un billiard
vaut mille billions;- d"une ligne à la suivante, le rapport est d"un million : par exemple, un trillion vaut un million de
billions.Exercice 2
1. Écrire en lettres le nombre
1 000 060 800 000 000 005 070.
2. Écrire en chiffres, en base 10, le nombre "Douze-billiard-quatre-vingt-dix-millions".
Solution 2
1. "Un-trilliard-soixante-billiard-huit-cent-billion-cinq-mille-soixante-dix".
2.12 000 000 090 000 000.
1.2 Dans d"autres bases ...
On peut aussi écrire un nombre entier naturelnen n"importe quelle baseboùbest un entier naturel
supérieur ou égal à 2 :où les entiers naturelsa0,a1,a2,...,aksont strictement inférieurs àb(ce sont les chiffres permettant
d"écrire le nombrendans la baseb). aveck+ 1 chiffres en baseb.On rappelle :b0= 1;b1=b.
2 Cette écriture peut aussi être abrégée comme suit :n=ak...a2a1a0(b). Familièrement, la base 2 s"appelle la base binaire, la base 60 s"appelle la base sexagésimale. Exercice 3Écrire 120 en base 7. Écrire 421 en base 5. Écrire 100 en base 2.Solution 3
1. (a)Première démarche. Les puissances successives de 7 sont 70= 1, 71= 7, 72= 49, 73= 343,...
Dans 120, la plus grande puissance de 7 qui entre est 49 et elle rentre deux fois; on donc120 = 2×72+ 22.
On continue, dans 22, la plus grande puissance de 7 qui entre est 7et elle rentre trois fois; on a donc 120 = 2×72+ 3×7 + 1 =231(7).
(b)Deuxième démarche. La division euclidienne de 120 par 7 donne 120 = 17×7 + 1. Mais 17 n"étant pas un chiffre de la base 7, on continue et la division euclidienne de 17 par 7 donne : 17 = 2×7 + 3. Cette fois, 2 est un chiffre de la base 7, donc on écrit120 = 17×7 + 1
= (2×7 + 3)×7 + 1 = 2×72+ 3×7 + 1231(7)
Autre disposition de cette deuxième démarche : 1201 120 = 17×7 + 1
173 17 = 2×7 + 3
2 On lit le nombre en base 7 en remontant les chiffres :231(7).2. (a)Première démarche. Les puissances successives de 5 sont 50= 1, 51= 5, 52= 25, 53= 125,
54= 625,...
Dans 421, la plus grande puissance de 5 qui entre est 125 et elle rentre trois fois; on donc421 = 3×53+ 46.
On continue, dans 46, la plus grande puissance de 5 qui entre est 25 et elle rentre une fois; on a donc 421 = 3×53+ 1×52+ 21. On continue, dans 21, la plus grande puissance de 5 qui entre est 5et elle rentre quatre fois; on a donc 421 = 3×53+ 1×52+ 4×5 + 1 =3141(5).
(b)Deuxième démarche. La division euclidienne de 421 par 5 donne 421 = 84×5 + 1. 3 Mais 84 n"étant pas un chiffre de la base 5, on continue et la division euclidienne de 84 par 5 donne : 84 = 16×5 + 4. Mais 16 n"étant toujours pas un chiffre de la base 5, on continueet la division euclidienne de 16 par 5 donne : 16 = 3×5 + 1. Cette fois, 3 est un chiffre de la base 5, donc on écrit421 = 84×5 + 1
= (16×5 + 4)×5 + 1 = ((3×5 + 1)×5 + 4)×5 + 1 = 3×53+ 1×52+ 4×5 + 13141(5)
Autre disposition de cette deuxième démarche : 4211 421 = 84×5 + 1
844 84 = 16×5 + 4
161 16 = 3×5 + 1
3 On lit le nombre en base 5 en remontant les chiffres :3141(5). 3. 1000 100 = 50×2 + 0
500 50 = 25×2 + 0
251 25 = 12×2 + 1
120 12 = 6×2 + 0
60 6 = 3×2 + 0
31 3 = 1×2 + 1
1 On lit le nombre en base 5 en remontant les chiffres :1100100(2). NB : Pour convertir l"écriture d"un nombrende la base décimale en la baseb:1. On obtienta0, qui est le dernier chiffre du nombren, comme reste dans la division eulidienne den
parb, cette division fournissant le quotientq0.2. On obtientai(tant que le quotientqi-1est plus grand quebau sens large, en incrémentantide
1 à chaque fois) comme reste de la division euclidienne deqi-1parb, cette division fournissant le
quotientqi.3. On obtientak, qui est le premier chiffre du nombren, égal àqk-1.
Puis,n=
ak...a1a0(10). 4 Exercice 4Transcrire le nombre12345(6)dans notre système décimal.Solution 4
1.Première démarche. Par lecture directe :12345(6)= 1×64+ 2×63+ 3×62+ 4×6 + 5 =
1 296 + 432 + 108 + 24 + 5 = 1 865.
2.Deuxième démarche. En utilisant les divisions euclidiennes :
n5n=m×6 + 5
m4m=l×6 + 4
l3l=k×6 + 3
k2k= 1×6 + 2
1 En partant d"en bas, on remonte dans le tableau et 1 8655 1 865 = 310×6 + 5
3104 310 = 51×6 + 4
513 51 = 8×6 + 3
82 8 = 1×6 + 2
1Conclusion :12345(6)= 1 865.
Exercice 5Transcrire le nombre123(4)en base 2. Ensuite, transcrire le nombre33210323123(4)en base 2.Solution 5
123(4)= 1×42+ 2×4 + 3×1
= 1×24+ 2×22+ 3×1 = 1×24+ (1×2 + 0)×22+ (1×2 + 1)×1 = 1×24+ 1×23+ 0×22+ 1×2 + 111011(2)
Il nous a suffit de coder chacun des chiffres en base 4 sur deux chiffres en base 2 (0 en base 4 est réécrit
00 en base 2, 1 est réécrit 01, 2 est réécrit 10 et 3 est réécrit 11).
Appliquant ce même principe, on obtient directement : Analyse de productions d"élèves[Lille (1999)] Sujet 5Solution
Volet didactique[Lille (1999)]
SujetSolution
Volet didactique[sujet d"examen 2013-2014]
SujetSolution
2 Les techniques opératoires
2.1 L"addition
1. 678 + 987 =XXX
En base 10,1 1 1
6 7 8 + 9 8 71 6 6 5
2.1234(5)+4321(5)=XXX(5)
En base 5,1 1 1 1
1 2 3 4
+ 4 3 2 11 1 1 1 0
3.101010(2)+1110101(2)=XXX(2)
En base 2,1 1
1 0 1 0 1 0
+ 1 1 1 0 1 0 11 0 0 1 1 1 1 1
4.En base 60,1
(20) (20) (20) + (20) (30) (40) (40) (51) (0) 6Exercice 6[Lyon (2004)] Toto additionne deux nombres entiers avec la méthode habituelle, et trouve
499 sans faire d"erreur. Combien de retenues a-t-il effectuées?
Solution 6Le chiffre 9 des unités du résultat a-t-il pu être obtenu en posant une retenue?Si oui, la somme des chiffres des unités des deux nombres additionnés était supérieure ou égale à 19
(au moins 10 pour la retenue, qui est additionnée au chiffre-nombre 9 des unités du résultat). Cependant,
la somme des chiffres des unités vaut au plus 9 + 9 = 18. Il est donc impossible que le chiffre 9 des unités
du résultat ait été obtenu en posant une retenue! Le chiffre 9 des dizaines du résultat a-t-il pu être obtenu en posant une retenue?Si oui, la somme des chiffres des unités des deux nombres additionnés était supérieure ou égale à 19
(au moins 10 pour la retenue, qui est additionnée au chiffre-nombre 9 des unités du résultat et sachant
qu"aucune retenue ne provient du calcul du chiffre des unitésdu résultat). Cependant, la somme des chiffres
des unités vaut au plus 9 + 9 = 18. Il est donc impossible que le chiffre 9 des unités du résultat ait été
obtenu en posant une retenue!L"obtention d"une somme de deux nombres entiers égale à 499 estdonc réalisée sans retenue!
2.2 La soustraction
Pour la pose de la soustraction dex-y, on rencontre généralement deux processus-par échangesdansa, on procède chiffre par chiffre en commençant par le rang le plus à droite (les
unités, puis les dizaines, puis les centaines,..., et quand pour un certain rang- le chiffre dexest plus grand ou égal à celui dey, il n"y a pas problème et le chiffre obtenu est
la différence des deux chiffres; - le chiffre dexest strictement plus petit que celui dey, on emprunte 1 au rang de gauche qu"on transforme en 10 du rang actuel (aspectdécimalde la numération) : par exemple, on convertit une dizaine en dix unités, une centaine en dix dizaines,...Remarque. Un inconvénient de cette méthode est qu"elle est à réitérer lorsqu"on est amené à em-
prunté à 0, comme dans 104-27 : au rang des unités, 4-7 ne fournit pas un chiffre, on emprunte
donc une dizaine, mais 104 ne comporte pas de dizaine, on doitdonc emprunter une centaine au rang des centaines et transformer d"abord la centaine en dix dizaines, puis une des dizaines en dix unités. -par compensationdansa, on procède chiffre par chiffre en commençant par le rang le plus à droite (les unités, puis les dizaines, puis les centaines,..., et quand pour un certain rang- le chiffre dexest plus grand ou égal à celui dey, il n"y a pas problème et le chiffre obtenu est
la différence des deux chiffres; - le chiffre dexest strictement plus petit que celui dey, on rajoute 10 du rang actuel qu"on compense en retirant une dizaine supplémentaire au rang de gauche (aspectdécimalde la 7 numération; mais aussi l"aspect du sensécartde la soustraction :si on rajoute une même quantité à deux termes, l"écart entre ces deux termes ne change pas) : par exemple, si on a besoin de dix unités, on compense en soustrayant une dizaine supplémentaire, ou si on a besoin de dix dizaines, on compense en soustrayant une centaine supplémentaire,...Remarque. Un inconvénient de cette méthode est que le sens écart de la soustraction qu"elle met
en jeu n"est pas évidente pour un élève, l"algorithme est plus difficile à mémoriser car il n"est pas
forcément toujours bien compris.Méthode par compensation
1. 987-789 =XXX
En base 10,91817
-7 8 9 1 1 1 9 8 2.4321(5)-1234(5)=XXX(5)
En base 5,4 31211
-1 2 3 4 1 13 0 3 2
3.10100010(2)-1110101(2)=XXX(2)
En base 2,11011101010 110
-1 1 1 0 1 0 11 1 1 1 1 1
1 0 1 1 0 1
4.En base 60,(40)(1)(40)(1)(40)
-(30) (40) (50) 1 1 (9) (59) (50) Analyse de productions d"élèves[Aix-Marseille, Corse, Montpellier, La Martinique (2001)] SujetSolution
Analyse de productions d"élèves[D"après Créteil, Paris, Versailles (2004)] 8SujetSolution
2.3 La multiplication
Pour clarifier l"algorithme, les retenues additives ne sont plus notées.1. 57×892 =XXX
En base 10,8 9 2
×5 7
6 2 4 4
+ 4 4 6 05 0 8 4 4Table de 8921×892 = 892
2×892 = 1 784
3×892 = 2 676
4×892 = 3 568
5×892 = 4 460
6×892 = 5 352
7×892 = 6 244
8×892 = 7 136
9×892 = 8 028
2.33(5)×34(5)=XXX(5)
En base 5,3 4
×3 3
2 1 2 + 2 1 22 3 3 2Table de 341×34 = 34
2×34 = 123
3×34 = 212
4×34 = 301
3.10100010(2)×1110101(2)=XXX(2)
En base 2,1 0 1 0 0 0 1 0
×1 1 1 0 1 0 1
1 0 1 0 0 0 1 0
+ 1 0 1 0 0 0 1 0 + 1 0 1 0 0 0 1 0 + 1 0 1 0 0 0 1 0 + 1 0 1 0 0 0 1 01 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0Table de 101000101×10100010 = 10100010
Exercice 7[Créteil, Paris, Versailles (1999)] On considère le nombreA= 92865317×814975.1. Déterminer le nombre de chiffres deA.
92. Démontrer que le chiffre des dizaines est 7 et que le chiffre des unités est 5.
3. Les calculatrices courantes ne donnent pas directement tous les chiffres du nombreA. Sans utiliser
la technique opératoire de la multiplication, c"est-à-diresans poser l"opération 92 865 317×814 975,
décrire un procédé qui utilise une calculatrice affichant dix chiffres et qui permette de déterminer
tous les chiffres du nombreA.Solution 7
1. 9×107<92 865 317<108et 8×105<814 975<9×105, d"où 72×1012< A <9×1013, ou
encore 7×1013< A <9×1013et le nombreApossède 14 chiffres. 2.92 865 317 =a×100 + 10 + 7
(oùaest le nombre de centaines de 92 865 317), et814 975 =b×100 + 70 + 5
(oùbest le nombre de centaines de 814 975), doncA= (a×100 + 10 + 7)×(b×100 + 70 + 5)
=a×b×10 000 +a×7×1 000 +a×5×100 +b×1 000 + 7×100 + 5×10 +7×b×100 + 7×7×10 + 7×5 (en développant) =c×100 + 50 + 490 + 35 (oùcest un entier qu"on ne cherche pas à calculer) =d×100 + 75 (oùdest un entier qu"on ne cherche pas à calculer) etAa 5 pour chiffre des unités et 7 pour chiffre des dizaines. 3.92 865 317×814 975 = (9 286×10 000 + 5 317)×814 975
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