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Support de cours de préparation au concours de

Professeur des Ecoles

Denis Vekemans

1

1. Laboratoire de mathématiques pures et appliquées Joseph Liouville ;50, rue Ferdinand Buisson BP 699 ; 62

228 Calais cedex ; France

Table des matières

1 Introduction4

2 Les nombres7

2.1 Arithmétique dans l"ensemble des entiers naturels . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1.1 L"ensemble des entiers naturels . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 7

2.1.2 Multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 7

2.1.3 Diviseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 8

2.1.4 Division euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 9

2.1.5 Les nombres premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 12

2.1.6 Plus grand commun diviseur de deux entiers naturels . .. . . . . . . . . . . . . . . 14

2.1.7 Plus petit commun multiple de deux entiers naturels . .. . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2 Principes de numération dans l"ensemble des entiers naturels . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2.1 Les techniques opératoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 17

2.2.2 Les critères de divisibilité dans la base décimale . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.3 Les ensembles de nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 26

2.3.1 La loi interne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 26

2.3.2 La loi associative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 26

2.3.3 L"élément neutre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 26

2.3.4 L"élément symétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 26

2.3.5 La loi commutative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 26

2.3.6 La distributivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 26

2.3.7 Ensembles de nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 27

2.3.8 Le développement décimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 28

3 La géométrie30

3.1 La géométrie plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 30

3.1.1 Droites, demi-droites, segments (définitions) . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.1.2 Droites perpendiculaires, droites parallèles . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.1.3 Médiatrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 31

3.1.4 Cercles (définitions) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 32

3.1.5 Angles (définitions) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 33

3.1.6 Angles et droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 34

1

3.1.7 Bissectrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 35

3.1.8 Angles et cercles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 35

3.1.9 Polygones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 39

3.2 Les théorèmes de Thalès et Pythagore . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 50

3.2.1 Le théorème de Thalès . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 50

3.2.2 Le théorème de Pythagore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 53

3.3 Les transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 59

3.3.1 Les translations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 59

3.3.2 Les rotations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 60

3.3.3 Les symétries orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 60

3.3.4 Les isométries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 61

3.3.5 Les homothéties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 61

3.3.6 Les triangles et les transformations . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 62

3.4 La géométrie dans l"espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 68

3.4.1 Droites et plans dans l"espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 68

3.4.2 Les polyèdres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 70

3.4.3 D"autres figures dans l"espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 70

3.4.4 Différents modes de représentation dans l"espace . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 70

4 La proportionnalité et les fonctions82

4.1 Les propriétés relatives à la proportionnalité . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4.2 Les fonctions linéaires et affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 87

A Logique92

A.1 Le vrai ou faux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 92

A.2 Les opérateurs logiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 92

A.3 Plusieurs types de démonstrations usuels . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 93

A.4 "Il faut" et "Il suffit" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 93

B Mesures96

B.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 96

B.2 Longueur, aire et volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 96

B.2.1 Sur la droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 97

B.2.2 Sur le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 97

B.2.3 Dans l"espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 97

C Formules de trigonométrie98

C.1 Théorème d"Al-Kashi ou Loi des cosinus . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 99

D Périmètres, aires et volumes -formulaire-100

D.1 Périmètre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 100

D.2 Aire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 100

2

D.3 Volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 101

E Approximation102

E.1 Valeur approchée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 102

E.2 Valeur approchée par troncature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 102

E.3 Valeur approchée par défaut ou par excès . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 102

E.3.1 UNE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 103

E.3.2 LA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 103

E.4 Valeur arrondie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 103

F Statistiques105

F.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 105

F.2 Série statistique discrète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 105

F.3 Série statistique classée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 107

F.4 Exercices non corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 107

G Probabilités110

G.1 Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 110

G.2 Loi des grands nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 110

G.3 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 110

G.4 Situation d"équiprobabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 111

G.5 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 111

G.6 Exercices non corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 111

H Problèmes algébriques115

H.1 Equations linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 115

H.2 Systèmes d"équations linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 115

H.2.1 Equations non linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 116

3

Chapitre 1Introduction

On peut diviser le programme en trois grands axes disciplinaires : lesnombres, la géo- métrie et la proportionnalité. Auto-promo ...Le site http ://vekemans.free.fr/public_html/index.html regroupe ce cours et ces exercices, mais on peut aussi trouver sur ce site les corrigés des exercices, des analyses de productions corrigées, et des volets didactiques corrigés. 4

Bibliographie

[1] Roland Charnay et Michel Mante,Préparation à l"épreuve de mathématiques du concours de profes-

seur des écoles, tome 1 et tome 2 Hatier Concours, 1998. [2] Alain Descaves,Les Mathématiques au concours de Professeurs des Ecoles, Hachette, 2004.

[3] Muriel Fénichel et Marcelle Pauvert ,L"épreuve de mathématiques au concours de professeur des

écoles - Notions fondamentales et exercices corrigés -, Bordas, 2003. [4] Concours externe de Recrutement des Professeurs des Ecoles,MATHEMATIQUES, Annales 1995, Sujets et Corrigés, COPIRELEM (Commission Permanente des IREM pour l"enseignement des ma- thématiques à l"école élémentaire), 1995. [5] Concours externe de Recrutement des Professeurs des Ecoles,MATHEMATIQUES, Annales 1996, Sujets et Corrigés, COPIRELEM (Commission Permanente des IREM pour l"enseignement des ma- thématiques à l"école élémentaire), 1996. [6] Concours externe de Recrutement des Professeurs des Ecoles,MATHEMATIQUES, Annales 1997, Sujets et Corrigés, COPIRELEM (Commission Permanente des IREM pour l"enseignement des ma- thématiques à l"école élémentaire), 1997. [7] Concours externe de Recrutement des Professeurs des Ecoles,MATHEMATIQUES, Annales 1998, Sujets et Corrigés, COPIRELEM (Commission Permanente des IREM pour l"enseignement des ma- thématiques à l"école élémentaire), 1998. [8] Concours externe de Recrutement des Professeurs des Ecoles,MATHEMATIQUES, Annales 1999, Sujets et Corrigés, COPIRELEM (Commission Permanente des IREM pour l"enseignement des ma- thématiques à l"école élémentaire), 1999. [9] Concours externe de Recrutement des Professeurs des Ecoles,MATHEMATIQUES, Annales 2000, Sujets et Corrigés, COPIRELEM (Commission Permanente des IREM pour l"enseignement des ma- thématiques à l"école élémentaire), 2000. [10] Concours externe de Recrutement des Professeurs des Ecoles,MATHEMATIQUES, Annales 2001, Sujets et Corrigés, COPIRELEM (Commission Permanente des IREM pour l"enseignement des ma- thématiques à l"école élémentaire), 2001. [11] Concours externe de Recrutement des Professeurs des Ecoles,MATHEMATIQUES, Annales 2002, Sujets et Corrigés, COPIRELEM (Commission Permanente des IREM pour l"enseignement des ma- thématiques à l"école élémentaire), 2002. 5 [12] Concours externe de Recrutement des Professeurs des Ecoles,MATHEMATIQUES, Annales 2003, Sujets et Corrigés, COPIRELEM (Commission Permanente des IREM pour l"enseignement des ma- thématiques à l"école élémentaire), 2003. [13] Concours externe de Recrutement des Professeurs des Ecoles,MATHEMATIQUES, Annales 2004, Sujets et Corrigés, COPIRELEM (Commission Permanente des IREM pour l"enseignement des ma- thématiques à l"école élémentaire), 2004. [14] Concours externe de Recrutement des Professeurs des Ecoles,MATHEMATIQUES, Annales 2005, Sujets et Corrigés, COPIRELEM (Commission Permanente des IREM pour l"enseignement des mathématiques à l"école élémentaire), 2005. 6

Chapitre 2Les nombres2.1 Arithmétique dans l"ensemble des entiers naturels2.1.1 L"ensemble des entiers naturels

Définition naïve:0est un entier naturel; et, siest un entier naturel, alors+ 1aussi. Ainsi, comme0est entier naturel,0 + 1 = 1aussi; puis, comme1est entier naturel,1 + 1 = 2aussi; puis, comme0est entier naturel,2 + 1 = 3aussi; Remarque: l"ensemble des entiers naturels est de cardinal infini.

2.1.2 Multiples

Définition: on dit queest multiple des"il existe un entier natureltel que=.

Exemple:21est multiple de7. En effet,21 = 37.

Exercices non corrigés:

Exercice 1

-10est-il multiple de4?1 -252est-il multiple de9?2 - Quel est l"ensemble des multiples de5?3 - Soitun entier naturel.0est-il un multiple de?4

Théorème 2.1

Propriété additive : siest multiple deetest multiple de, alors,+est multiple de. Exemple:21et49sont multiples de7; et,21 + 49 = 70l"est par conséquent.

Démonstration

Il existe un entier natureltel que=(carest multiple de). Il existe un entier natureltel que

1. Non,10 = 2,54, mais2,5n"est pas un entier naturel.

2. Oui, car252 = 289et28est bien un entier naturel.

3.0,5,10,15,...Cet ensemble est de cardinal infini.

4. Oui, car0 = 0n.

7 =(carest multiple de). Ainsi, par somme,+=+= (+). Puis,+est multiple de(on a pu trouver un entier naturel+qui, multiplié par, donne+).

Théorème 2.2

Propriété de transitivité : siest multiple deetest multiple de, alors,est multiple de. Exemple:63est multiple de21et21est multiple de7; puis,63est multiple de7, par conséquent.

Démonstration

Il existe un entier natureltel que=(carest multiple de). Il existe un entier natureltel que=(carest multiple de). Ainsi, par substitution,==() = ()(par associativité de la multiplication). Puis,est multiple de(on a pu trouver un entier naturelqui, multiplié par, donne).

Exercices non corrigés:

Exercice 2

- Vrai ou faux (justifié) : siest multiple deetest multiple de, alors,est multiple de+.5 - Vrai ou faux (justifié) : siest multiple de, siest multiple deet si, alors,?est multiple de.6 - Vrai ou faux (justifié) : je connais un multiple de14qui ne soit pas un multiple de7.7

- Vrai ou faux (justifié) : je connais un multiple de7qui ne soit ni un multiple de14, ni un multiple

de21, ni le nombre7, lui-même.8

2.1.3 Diviseurs

Définition: on dit queest diviseur des"il existe un entier natureltel que=.

Exemple:8est diviseur de56. En effet,56 = 78.

Exercices non corrigés:

Exercice 3

-5est-il diviseur de25?9 -18est-il diviseur de9?10 - Quel est l"ensemble des diviseurs de48?11 - Soitun entier naturel non nul.0est-il diviseur de?12

5. Faux!21est multiple de3et de7, mais pas de3 + 7 = 10.

6. Vrai! En effet, il existe un entier naturelktel quea=kc(caraest multiple dec); il existe un entier naturelltel

queb=lc(carbest multiple dec); ainsi, par somme,a?b=kc?lc= (k?l)c. Puis,a?best multiple dec

(on a pu trouver un entier naturelk?l[Remarque : c"est un entier relatif, comme différence de deuxentiers relatifs et il est

positif cara?betcle sont.] qui, multiplié parc, donnea?b).

7. Faux! D"après la propriété de transitivité, comme14est multiple de7, tout multiple de14, l"est de7.

8. Vrai! Par exemple,35,49,...

9. Oui, car25 = 55, et5est bien un entier naturel.

10. Non, car9 =1

218et12n"est pas un entier naturel.

11.1,2,3,4,6,8,12,16,24, et48. Cet ensemble est de cardinal fini.

12. Non, car0k= 0=n.

8 Remarque importante: siest un multiple de, alorsest un diviseur de; réciproquement, siest un diviseur de, alorsest un multiple de.

Théorème 2.3

Propriété additive : siest diviseur deetest diviseur de, alors,est diviseur de+.13

Théorème 2.4

Propriété de transitivité : siest diviseur deetest diviseur de, alors,est diviseur de.14

Exercices non corrigés:

Exercice 4

- Vrai ou faux (justifié) : siest diviseur de, siest diviseur deet si, alors,?est diviseur de.15

- Vrai ou faux (justifié) : je connais un diviseur de24qui ne soit pas un diviseur de12, ni24, lui-

même. 16 - Vrai ou faux (justifié) : je connais un diviseur de124qui ne soit pas un diviseur de248.17

2.1.4 Division euclidienne

Définition: pour(entier naturel quelconque) et(entier naturel non nul quelconque), il existe un entier naturelet un entier natureltels que où 0

Dans ce cas, on parle de division euclidienne de(le dividende) par(le diviseur) oùest un quotient et

un reste.

Théorème 2.5

Dans la division euclidienne depar, le quotient et le reste sont définis de façon unique. Note: le quotient provenant de la division euclidienne deparest souvent appelé quotient euclidien pour le distinguer du quotient.

Exemple: dans la division euclidienne de356par15, le quotient est23et le reste est11; cela s"écrit :

356 = 2315 + 11.

13. C"est exactement la propriété additive vue dans la section précédente.

14. C"est exactement la propriété de transitivité vue dans la section précédente.

15. Faux!7et3sont des diviseurs de21, mais pas7?3 = 4.

16. Vrai!8.

17. Faux! D"après la propriété de transitivité, comme124est diviseur de248, tout diviseur de124, l"est de248.

9 L"algorithme d"Euclide pour la division euclidienne

Le voici sur l"exemple de la division euclidienne de3562par23. Il permet d"obtenir le reste (20) et le

quotient (154) de cette division euclidienne.

3 5 6 2

?2 3 1 2 6 ?1 1 5 1 1 2 ?9 2 2 0 2 3 1 5 4 La technique opératoire dans la division euclidienne deparest la suivante :

1. On écrit au brouillon la table utile des multiples de(1,2,,9).

2. On considère1le plus petit nombre constitué des premiers chiffres detel que1. On effectue

la division euclidienne de1pardont le quotient est noté1et dont le reste est noté1.1est le

premier chiffre du quotient (d"où l"utilité de l"écriture aubrouillon de la table des multiples de).

3. Tant qu"il existe encore des chiffres à considérer dans, on effectue (la première fois,vaut2, puis

il est incrémenté à chaque fois de1) : (a) On considèreile nombre formé des chiffres dei1suivis du premier chiffre dequi n"ait pas encore été considéré. (b) On effectue la division euclidienne deipardont le quotient est notéiet dont le reste est

notéi.iest leème chiffre du quotient (d"où encore l"utilité de l"écritureau brouillon de la

table des multiples de).

4. Les restes1,2,sont appelés les restes partiels et les quotients1,2,sont appelés les quotients

partiels (ce sont des chiffres). Le reste de la division euclidienne deparest le dernier reste partiel

obtenu; le quotient de cette division est le nombre formé desquotients partiels.

Exercices non corrigés:

Exercice 5[13, Créteil, Paris, Versailles] Sachant que

36202744 = 96583748 + 4560

donner le quotient de la division euclidienne de36202744par3748. Exercice 6[7, Besançon] Quels sont les entiers naturelsettels que2?2= 255?

Exercice 7Compléter lespar des chiffres en convenant qu"un chiffre situé en première position est

10 non nul. 7 6 ?34 2 3 6 Indiquer toutes les manières possibles pour compléter ces.

Exercice 8[9, Bordeaux, Caen, Clermont, Nantes, Orléans-Tours, Poiriers, La Réunion] Les lettreset

désignent des entiers naturels. Dans la division euclidienne depar11, le reste est. Dans la division

euclidienne depar11, le reste est.

1. Déterminer le reste dans la division euclidienne de+par11.

2. Déterminer le reste dans la division euclidienne de3par11.

Exercice 9Dans la division euclidienne depar, le quotient estet le reste est. On donne 3000, = 82,= 47. Trouver toutes les valeurs possibles pouret. Exercice 10Dans la division euclidienne depar, le quotient estet le reste est. On donne == 37. Trouver la plus petite valeur possible que peut prendre. Exercice 11Dans la division euclidienne depar, le quotient estet le reste est. On donne =2oùest entier naturel,= 8. Donnerpour= 1. Donnerpour= 3. Donnerpour= 5.

Montrer que siest impair, alors= 1.

Exercice 12On cherche un nombre naturel de trois chiffres, multiple de9et dont le quotient dans

la division euclidienne par21est33. Déterminer le (ou les) nombre (ou nombres) solution (ou solutions).

Exercice 13Le nombre de multiples dequi soient non nuls et inférieurs ou égaux àest donné

par le quotient de la division euclidienne depar(i.e.()).quotesdbs_dbs24.pdfusesText_30

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