[PDF] Méthodes de factorisation des équations aux dérivées partielles.





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FACTORISATION DE FONCTIONS QUADRATIQUES

équations quadratiques c'est-à-dire de forme Il existe une forme quadratique qui permet une factorisation rapide. Lorsqu'un fonction présente la forme.



Second degré : Résumé de cours et méthodes 1 Définitions : 2

R l'équation ax2 +bx+c = 0. 2 Factorisation racines et signe du trinôme : ... 3 Exemples de résolution d'équations et d'inéquations du second degré.



Méthodes de factorisation des équations aux dérivées partielles.

23/07/2010 et s'apparente `a la méthode de Gauss de factorisation “LU” : en premier lieu on résout l'équation de Riccati pour l'impédance et l'EDO de ...



FACTORISATIONS

Factorisation : Lecture « droite ? gauche » de la formule de distributivité ! Définition : Une équation du second degré est une équation de la forme.



Trinômes du second degré

peut pas être factorisé. B. Équations du second degré. On considère l'équation ax² + bx + c = 0 avec a ? 0. La forme canonique du trinôme ax² + bx + c est 



SECOND DEGRE (Partie 2)

Une solution de cette équation s'appelle une racine du trinôme ax2 + bx + c . Factoriser les trinômes suivants : a) 4x2 +19x ? 5 b) 9x2 ? 6x +1.



Thème 5: Équations du 2ème degré

En effet après factorisation



Factorisation de polynômes de degré 3

On peut donc le factoriser par (x ? 1) ainsi



SECOND DEGRE (Partie 2)

Comme A < 0 l'équation ne possède pas de solution réelle. II. Factorisation d'un trinôme. Propriété : Soit f une fonction polynôme de degré 2 définie sur ? 



Identités remarquables équation produit nul

Factoriser 16 ² – 25 puis en déduire la factorisation de E. III. Equation produit nul. 1. Une propriété bien connue de la multiplication.



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Définition : Factoriser une expression c'est transformer une somme ou une différence en produit Dans la pratique factoriser c'est mettre en facteur en 



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Pour factoriser il faut trouver dans l'expression un facteur commun Trouver le facteur commun de ces expressions puis factoriser et réduire si possible:



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Les trois méthodes de factorisation qu'il faut connaître sont : la mise en évidence les produits (identités) remarquables et le groupement de termes A La 



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On considère l'expression : D = ( 3x – 1 )² - 81 a)Développer et réduire D b)Factoriser D c)Résoudre l'équation : ( 3x – 10 )( 3x + 8 ) = 0





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Résolution dans R de l'équation x2 +2x?3 = 0 : (Par rapport aux formules on a ici : a = 1 b = 2 et c = ?3 ) Calcul du discriminant : ? = b2 ?4ac 



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Chapitre 1: Développement et factorisation d'expressions Factoriser les expressions suivantes: 1 A = 9x + 18 On doit résoudre l'équation suivante:



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Exercice 1 2 Résoudre l'équation suivante : 10 · (x + 10) · (x - /2) · (12 - 3x)=0 GYMNASE DE BURIER 1MSt 3 Page 4 Exemple 1 6 Ecrire une équation dont 



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Le but de la rubrique suivante est de résumer les méthodes permettant de factoriser les équations quadratiques c'est-à-dire de forme Autant que possible



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Factoriser 4x2 - 9 En déduire la factorisation de l'expression E 3 a) Résoudre l'équation ( 2x + 3)( 3x - 5) = 

  • Comment factoriser une équation ?

    Pour parvenir à factoriser une expression en un produit de facteurs, il faut d'abord chercher si l'on peut isoler un facteur commun. Par exemple on va chercher le terme commun qui permet de multiplier le premier terme par la deuxième expression : 4x+20 par exemple, est égal à 2 x (2x + 10).

  • Quelles sont les méthodes de factorisation ?

    La factorisation peut se faire suivant différentes techniques :

    La mise en évidence simple.La mise en évidence double.La différence de carrés.La technique du produit-somme.Le trinôme carré parfait.La complétion du carréLa formule ?b±?b2?4ac2a ? b ± b 2 ? 4 a c 2 a pour les trinômes de la forme ax2+bx+c.
  • Si x1 et x2 sont les racines d'un polynôme du second degré ax2 + bx + c, alors il se factorise sous la forme a(x ? x1)(x ? x2). Si x0 est l'unique racine d'un polynôme du second degré ax2 + bx + c, alors il se factorise sous la forme a(x ? x0)2.
Méthodes de factorisation des équations aux dérivées partielles. THESE apresentera l'ECOLEPOLYTECHNIQUE pourobtenirletitrede

DOCTEURENSCIENCES

Specialite

Mathematiquesappliquees

soutenupar

IsabelleCHAMPAGNE

le11102004 Titre

Directeurdethese:JacquesHENRY

Jury

President:PatrickJOLY

Directeurdethese:JacquesHENRY

Rapporteurs:Jean-PierreYVON

TuongHA-DUONG

Examinateurs:FredericNATAF

VincentPAGNEUX

Remerciements

m'avoirsoutenuetoutaulongdecetravail.

JeremercieMarcDuru

numeriques. manuscritetsonecoute. j'aipassed'inoubliablesmoments. i ii

Sommaire

Introductionvii

IEtudeduguided'ondescylindrique1

1Motivations3

2FactorisationduproblemedeHelmholtz33

iii

SOMMAIRE

3Lienaveclatheorieducontr^ole65

4Transformationhomographique79

IIApplicationsetextensions121

5Guidesavecconditionsabsorbantes123

iv

SOMMAIRE

8Etudedeguidesd'ondescomposes205

AOutilsmathematiques211

Bibliographie222

v

SOMMAIRE

vi

Introduction

pouvoirstockerlesdonneesducalcul. sousformefactorisee. laritesplusfacilement. vii quadratiques. sescoecientsnesontplusdiagonalisables.

Plandelathese

Cedocumentcomportedeuxparties:

enjeuxdelamethodedefactorisation. viii

Introduction

surl'acoustiqueoulatheorieducontr^ole. dontelles'inspire.

Deuxiemepartie:Applicationsetextensions

modele,lessuivantss'enecartentdavantage. guidecoude. ix x

Premierepartie

Etudeduguided'ondescylindrique

1

Chapitre1

Motivations

uideasapression. lationsnumeriques(cf[22]).

1.1L'equationdeRiccatienacoustique

vitesseetpressiondu pourcelle-ci. 3

Lesequationsduprobleme

1.1.1Lesequationsduprobleme

Onconsidereunguided'ondes

r zz S(z)W

Fig.1.1:Guided'ondesasymetrieradiale

dumouvements'ecrivent: 8 :divv=j! 0c2p j!v=1 0rp (+k2)p=0,ouk=! c. )gr^aceaune u(r;z)=@2u @z2(r;z)+?u(r;z), propres(n)n2N.Celle-civerielarelation: 4

Motivations

8 :Z S(z) i(r;z)j(r;z)dr=S(z)i;j ?i(r;z)=2i(z)i(r;z) dansl'espaceH1(

2(S(z)).On

p(r;z)=+1n=1Pn(z)n(r;z)ouPn(z)=Z

S(z)p(r;z)n(r;z)dr.

v(r;z)=1

S(z)+1n=1Un(z)n(r;z)

1.1.2Ecrituremodaledessolutions

1.1.2.1Modelecontinu

descoecients: P n(z)=hp;niS(z)=Z

S(z)p(r;z)n(r;z)dr

Z

S(z)@p(r;z)

@zn(r;z)dr=Z

S(z)j!vz(r;z)n(r;z)dr

5

Ecrituremodaledessolutions

Z S(z) n(r;z)@p @z(r;z)dr=ddz Z S(z) n(r;z)p(r;z)dS Z

S(z)p(r;z)@n@z(r;z)dr

I @S(z)p(r;z)n(r;z)R0(z)d

S(z).Onendeduitque:

Z

S(z)j!vz(r;z)n(r;z)dr=(SPn)0(z)X

m Z S(z) m(r;z)@n @z(r;z)dr P m(z)dr X m I @S(z) m(r;z)n(r;z)R0(z)d P m(z)

Onposealors:

8 :A mn(z)=Z S(z) m(r;z)@n @z(r;z)dr B mn(z)=I @S(z) m(r;z)n(r;z)R0(z)d

Cecipermetdesimplierlaformuleprecedente:

(SPn)0(z)=j!Un(z)+X m(Amn+Bmn)(z)Pm(z)

C'est-a-dire:

P

0n(z)=j!

S(z)Un(z)+X

mA mn(z)+Bmn(z)S0(z)mnS(z)Pm(z) (z)=1

S0(z)(A(z)+B(z))I

matricielle: dP dz=j!SU+S0SP

0c2ppermetd'ecrireque:

6

Motivations

U0n(z)=jS!(k22n)Pn(z)+1SX

mZ S(z) m(r;z)@m@z(r;z)drUm(z)

Cequis'ecritsouslaformematricielle:

dU dz=jS!KP+1SU, lesproduitsscalairesZ S(z) m(r;z)@m @z(r;z)dr.Onadoncobetnuunsystemelineaire d'equationsdierentiellescouplees: 8 :dP dz=j!SU+S0SP dU dz=jS!KP+1SU cebut.

1.1.2.2Modelediscret

cylindriquesdesectionconstante. zr S S12

Fig.1.2:Guidediscretise

7

Ecrituremodaledessolutions

8 :p(r;z)=X i i(r)Pi(z)@p @z=X i i(r)P0i(z) 2p

Onendeduitnotammentque:

P

0i(z)=Z

S(z) i(r)p(y;z)dr. p(r;z)=X iP i(z)?i(r)+X id 2Pi dz2(z)i(r) ik2Pi(z)i(r)=id2Pi dz2(z)2iPi(z) i(r)

Onendeduitque:

d2Pi dz2(z)=(k22i)Pi(z)

Lescoecientssontdoncdelaforme:

P i(z)=Aicosp k22iz +Bisinpk22iz etBi. relation: @p @z=j!vz

Onendeduitl'equationsurlescoecients:

dP i dz(z)=qk22i Aisin qk22iz +Bicos qk22iz =j!SUi(z) 8

Motivations

D'oul'expressiondeUi:

U i(z)=jS !qk22i Aisin qk22iz +Bicos qk22iz

Sansperdredegeneralite,onpeutecrireque:

P i(0)=AietUi(0)=jS !qk22iBi

Onposeki=p

leursvaleursal'origine: 8 :P i(d)=Pi(0)cos(kid)+Ui(0)! jSkisin(kid) U i(d)=! jSkiP i(0)sin(kid)+Ui(0)cos(kid) 8 :D

1i=cos(kid);

D

2i=jsin(kid);

Z i=! kiS:

Onaalorslesystemesuivant:

P i(d)=Pi(0)D1iD2iUi(0)Zi U i(d)=Z1 iD2iPi(0)+Ui(0)D1i etPenz=0etz=drespectivement,onobtient: P

0=D1P1+D2ZcU1

U

0=D2Z1cP1+D1U1

bordchoisie. Z

0U0=D1Z1U1+D2ZcU1

U

0=D2Z1cZ1U1+D1U1

9

Ecrituremodaledessolutions

Z

0=(D1Z1+D2Zc)(D2Z1cZ1+D1)1

U

1=(D2Z1c(Z0Zc)+ejkid)U0

v 8 :X i

1;i(r;z0)P1;i=X

i

2;i(r;z0)P2;i

1 S1X i

1;i(r;z0)U1;i=1S2X

i

2;i(r;z0)U2;i

S

1,ilvient:

Z S 1X j

1j(r;z0)1i(r;z0)P1jdr=Z

S 1X j

2j(r;z0)1i(r;z0)P2jdr

Cequis'ecritencore:

X jP 1jZ S 1

1j(r;z0)1i(r;z0)dr=X

jP 2jZ S 1

1i(r;z0)2j(r;z0)dr

C'est-a-dire:

P 1i=X jP

2jFij(z0),ouFij(z0)=1

S1Z S 1

1i(r;z0)2j(r;z0)dr.

Dem^eme,ladeuxiemeequationdonne:

1 S2X iU 2;iZ S 2

2;i(r;z0)2;j(r;z0)dr=1S2X

iU 2;iZ S 1

2;i(r;z0)2;j(r;z0)dr

CommelemembredegauchevautX

iU

2;ii;j=U2;j,ona:

10

Motivations

U2;j=1S2X

iU 2;iZ S 1

2;i(r;z0)2;j(r;z0)dr=1S1X

iU 1;iZ S 1

1;i(r;z0)2;j(r;z0)dr

Onendeduitque:

U 2;j=X iU

1;iFij(z0)

ainsilesrelationsmatricielles:

P1=FP2

U

2=FtU1

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