[PDF] I. Nombre dérivé et tangente II. Fonction dérivée et fonction de

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I. Nombre dérivé et tangente

DéfinitionTaux d"accroissement

Soitfune fonction définie sur un intervalleIetaun nombre deI. A tout nombrehnon nul, tel quea+h?I, on associe le nombref(a+h)-f(a) happelé taux d"accroissement de fentreaeta+h.

DéfinitionNombre dérivé

Soirfune fonction définie sur un intervalleI. Soitaun nombre deIethun réel non nul tel quea+h?I.

Dire quefest dérivable ena, c"est dire que lorsquehtend vers 0, le taux d"accroissement tend ver un réelL.

Ce nombreLest appelé nombre dérivé defenaet on le notef?(a).

Ainsi, on a

lim h→0f(a+h)-f(a) h=f?(a)

Vous avez vu en cours cette année que graphiquement le nombredérivée enacorrespondait à une position " limite »

d"une droite passant par deux point, dont l"un d"abscissea, de la courbeCreprésentative de la fonctionf: la tangente au

point d"abscissea. Ainsi, on a le résultat suivant :

Définition

Soitfune fonction définie sur un intervalleI,Cfsa courbe représentative etaun réel tel quea?I.

Sifest dérivable enaalors la droite passant parA(a;f(a)) et de coefficient directeurf?(a) est la tangente àCf

au pointA.

Propriété

L"équation de la tangenteTàCfenAest :

y=f?(a)(x-a) +f(a) II. Fonction dérivée et fonction de référence

Définition

On dit quefestdérivable surIlorsquefadmet en toutxdeIun nombre dérivé,f?(x).

Dans ce cas, on appellefonction dérivée def(ou plus simplementdérivée def) la fonction, notéef?, qui, à

toutxdeI, associe le nombre dérivéf?(x) defenx.

Le cours

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ThéorèmeTableau des dérivées usuelles

FonctionEnsemble de dérivabilitéFonction dérivée f(x) =k(fonction constante)dérivable surRf?(x) = 0 f(x) =xsurRdérivable surRf?(x) = 1 f(x) =x2surRdérivable surRf?(x) = 2x f(x) =x3surRdérivable surRf?(x) = 3x2 f(x) =1xsurR?dérivable surR?f?(x) =-1x2 f(x) =⎷xsurR+dérivable surR?+f?(x) =12⎷x

Généralisation

f(x) =xn,n?N?surRdérivable surRf?(x) =nxn-1 f(x) =1xn,n?N?surR?dérivable surR?f?(x) =-nxn+1 III. Opérations sur les fonctions dérivables

On considère une fonctionfdéfinie sur un intervalleI; Tous les résultats suivants sontadmis.

uetvsont des fonctions définies et dérivables surISif(x)s"écritalorsfest dérivable sur I etf?(x) est égale à

Sommeu+vf(x) =u(x) +v(x)f?(x) =u?(x) +v?(x)

Différenceu-vf(x) =u(x)-v(x)f?(x) =u?(x)-v?(x)

Produit par un nombre réelλλ.uf(x) =λ.u(x)f?(x) =λ.u?(x) Produit de deux fonctionsu.vf(x) =u(x)×v(x)f?(x) =u?(x)×v(x) +u(x)×v?(x) Inverse1v(x)oùv(x)?= 0 pour toutxdeIf(x) =1v(x)f?(x) =-v?(x)[v(x)]2 Quotientuvoùv(x)?= 0 pour toutxdeIf(x) =u(x)v(x)f?(x) =u?(x)×v(x)-u(x)×v?(x)[v(x)]2

Le cours

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IV. Extremums et sens de variation

Théorème

Soitfune fonction dérivable sur un intervalleI. Si pour toutxdeI:

•f?(x)>0, alorsfest croissante surI.

•f?(x)<0, alorsfest décroissante surI.

•f?(x) = 0, alorsfest constante surI.

Définition

•On dit qu"une fonctionfadmet un minimum localf(a) lorsque pour toutxsuffisamment proche dea, f(x)≥f(a). •On dit qu"une fonctionfadmet un maximum localf(b) lorsque pour toutxsuffisamment proche deb,

Dans les deux cas, on parle d"extremum locaux, c"est à dire des valeurs minimales ou maximales de la fonction

localement.

Théorème

Soitfune fonction dérivable surI. Soitx0appartenant àI, distinct des extrémités deI.

•Sifa un extremum local enx0alorsf?(x0) = 0.

•Sif?(x0) = 0 et sif?change de signe enx0, alorsfpossède un extremum local enx0.

Le cours

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Pour ne pas perdre la main

Exercice 1

Calculer la fonction dérivée de la fonctionudéfinie sur ]2;∞[ par : u(x) =2x+ 1 -x+ 2

Exercice 2

Soitfla fonction définie surRpar :

f(x) =x3+ 3x2-5

Existe-t-il des réelsatels quef?(a) = 2?

Exercice 3

Déterminer les points de la courbe d"équationy=4xoù la tangente est parallèle à la droite d"équationy=-2x+ 1.

Exercice 4

SoitCla représentation graphique de la fonctionpdéfinie surRparp(x) =x3-4x2. Existe-t-il des points deCoù la tangente est parallèle à l"axe des abscisses? Si oui, lesquels?

Exercice 5

Soitfla fonction définie surRparf(x) =x2+ 3.

Calculer sa dérivée et donner une équation de la tangente à la courbe représentative defen son point d"abscisse 1.

Exercice 6

Soitfethles fonctions définies sur ]0;+∞[ par : f(x) =x?1 +⎷ x?eth(x) =?x+⎷x?2

Déterminer les fonctionsf?eth?.

Exercice 7

Soitfla fonction définie surRparf(x) = 2x3+ 4x.

1. Calculer la dérivée def.

2. En déduire le sens de variation defsurR.

Exercice 8

Soitfla fonction définie surRparf(x) =-x3+ 3x+ 5.

1. Calculer la dérivée def.

2. En déduire le sens de variation defsurR.

Exercice 9

Soitfla fonction définie surRparf(x) =-x3+x2.

1. Calculer la dérivée def.

2. En déduire le sens de variation defsurR.

Exercice 10

Soitfla fonction définie surRparf(x) =x3-x2+ 1.

1. Étudier le sens de variation defsurR.

2. Déterminer le minimum defsur [0;+∞[.

3. Déterminer le signe defsur [0;+∞[.

Exercice 11

Soitfla fonction définie surRparf(x) =x3-3x-2.

1. Étudier le sens de variation defsurR.

2. Existe-t-il des réels tels quex3>3x+ 2?

Exercice 12

Soitfla fonction définie sur ]0;+∞[ par :

f(x) =x+4 x

1. Étudier le sens de variation def.

2. Déterminer le minimum defsur ]0;+∞[.

Exercice 13

1. Étudier le sens de variation de la fonctionfdéfinie

sur ]0;+∞[ par : x 2-1 x

2. Calculerf(1)

3. Déterminer le signe defsur ]0;+∞[.

4. Existe-t-il des réels positifs tels quex2?1

x?

Exercice 14

On considère la fonction définie surRpar

f(x) =x2-3x-1

1. Démontrer que l"équation réduite de la tangente à la

courbe représentative defau pointA(a;f(a)) est donnée pary= (2a-3)x-a2-1.

2. Existe-t-il un point pour lequel la tangente est paral-

lèle à la droite d"équationy=x?

3. Existe-t-il un point pour lequel la tangente passe par

l"origine du repère?

Les exercices

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