Exercice 1 : Soit f la fonction définie sur R par : f x xe ( ) = ? si x 1 f (x
f (x) =ax ln (1+x)+bx si x > 1 . Déterminer a et b pour que f soit continue et dérivable en 1. Terminer l'étude de f et tracer sa courbe représentative dans
Premier exercice
Soit f la fonction définie sur IR par. 2 2x f(x) x e. -. = et ( )C sa courbe représentative dans un repère orthonormé ( O;i j). . 1) a- Calculer.
S Métropole juin 2016
Soit f la fonction définie sur R par : f (x)=x?ln(x2. +1). 1. Soit (un) la suite définie par u0=1 et pour tout entier naturel n
FONCTION LOGARITHME NEPERIEN (Partie 2)
x f '(x) = 1 x. × x ? lnx ×1 x2. = 1? lnx x2. 2) Variations. Propriété : La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur 0;+????? .
Corrigé du TD no 9
Corrigé : On cherche comme d'habitude à traduire la condition
Sujet et corrigé du bac en mathématiques série S
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TD 1 Intégrales généralisées
16 sept. 2016 e x .2/². = ?2 etc. ? Définitions : 1) Soient I = [a
Limites et continuité
Soit f une fonction de R dans R et a un réel. 1. Si f(x) converge quand x tend vers a alors la limite est unique. 2. Si a ? Df
??????: ????????? ???????: ???????? ?????? ?????? ??
16 mars 2017 ln(. 1[2 x x y. -. -. = est l'équation de (C'). VI- (7pts). Part A f est la fonction définie sur ]0;+?[ par f (x) = x x ln2. 2.
Baccalauréat ES Index des exercices avec des fonctions de 2013 à
Soit F la fonction définie sur l'intervalle ]0; 15] par. F(x) = 10x +5x3. ?6x3 lnx. (a) Montrer que F est une primitive de la fonction f sur ]0; 1
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Partie A Soit f la fonction définie sur R par : f (x)=x?ln(x2 +1) 1 Résoudre dans R l'équation : f (x)=x 2 Justifier tous les éléments du tableau de
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Donc x(lnx)' = 1 et donc (lnx)' = 1 x Exemple : Dériver la fonction suivante sur l'intervalle 0;+????? : f (x) = lnx
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Soit ƒ la fonction numérique définie sur R par: f(x)= 2x+1+Inx I et soit sa courbe représentative dans un repère orthonormé(0;i;]) 1) Calculer: lim f(x)
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20 jui 2016 · Partie A Soit f la fonction définie sur R par ( ) 2 ( ) ln 1 f x x x = - + 1 Résoudre dans R l'équation : xxf
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Corrigé : On cherche comme d'habitude à traduire la condition ln(1+x) Soit f : R ? R la fonction définie par f(x) = x si x < 1 x2
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Réponse : La fonction f : x ?? x2(cos x)5 + x sin x + 1 est continue sur R De plus on calcule que f(0) = 1 et que f(?)=1 ? ?2 Comme 1 ? ?2 est négatif
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5 mai 2022 · x ?1 = ln(x)+1?1 = ln(x) soit la réponse a 2 On considère la fonction f définie sur R par f (x) = x 3 ?09x 2 ?01x f (x) = x
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ln x l) lim x!0 pxln3 x m) lim x!+1 exp(ln2 x) xn n 2 Z Exercice 4 Soit f Soit f :] 1 0[[[1 +1[! R définie par f(x) = x si x < 0 et f(x) = x 1 si
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16 sept 2016 · e x 2/² = ?2 etc ? Définitions : 1) Soient I = [a b[ un intervalle semi-ouvert à droite f : [a b[ ? R une fonction continue
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Exo 2 Dessinez le domaine de définition de f := (xy) ?? x ln(x + y) ? y ? y ? x Page 5 Graphe Le graphe Grf d'une fonction f de deux variables
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Exercice 3 Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité 5 pointsPartie A
Soit f la fonction définie sur R par : f(x)=x-ln(x2+1)1. Résoudre dans R l'équation : f(x)=x.
2. Justifier tous les éléments du tableau de variations ci-dessous à l'exception de la limite de la fonction f
en +∞ que l'on admet.3. Montrer que, pour tout nombre réel x appartenant à [0;1], f(x) appartenant à [0;1].
4. On considère l'algorithme suivant :
Variables : N et A sont des entiers naturels Entrée : Saisir la valeur de ATraitement : N prend la valeur 0
Tant que
N-ln(N2+1)Fin Tant queSortie : Afficher N
a. Que fait cet algorithme ? b. Déterminer la valeur N fournie par l'algorithme lorsque la valeur saisie pour A est 100.Partie B
Soit (un) la suite définie par u0=1 et, pour tout entier naturel n, un+1=un-ln(un2+1).1. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n,
un appartient à [0;1].2. Etudier les variations de la suite (un).
3. Montrer que la suite (un) est convergente.
4. On note L sa limite et on admet que L vérifie l'égalité f(L)=L.
En déduire la valeur de L
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CORRECTION
Partie A
f est définie sur R par f(x)=x-ln(x2+1)1. f(x)=x⇔x-ln(x2+1)=x⇔ln(x2+1)=0⇔x2+1=e0⇔x2=0⇔x=0 L'unique solution de l'équation
f(x)=x est 0.2. F est dérivable sur R
(ln(u))'=u' u f'(x)=1-2x x2+1=x2+1-2x x2+1=(x-1)2 x2+1⩾0 f'(x)=0⇔x=1 f est strictement croissante sur R limx→-∞x2+1= +∞ et limX→+∞ ln(X)= +∞ donc limx→-∞-ln(x2+1)= -∞ et limx→-∞ f(x)= -∞3. Si0⩽x⩽1 alors f(0)⩽f(x)⩽f(1) (car f est croissante sur R )
f(0)=0-ln(02+1)=0 f(1)=1-ln(12+1)=1-ln(2)⩽1 donc Si x appartient à [0;1] alors f(x) appartient à [0;1].4.a. Cet algorithme détermine le plus petit entier naturel N tel que
A⩽N-ln(N2+1) (soit A⩽f(N)).
b. A= 100 et on peut déterminer N par balayage f(100)=90,8 à 10-1 près, f(110)=100,6 à 10-1 près, f(109)=99,6 à 10-1 près.Donc N = 110.
Partie B
1. On veut démontrer en utilisant un raisonnement par récurrence que pour tout entier naturel n, on a 0⩽un⩽1
. InitialisationPour n = 0
u0-1 donc 0⩽u0⩽1 et la propriété est vérifiée pour n = 0. . HéréditéPour démontrer que la propriété est héréditaire pour tout entier naturel n, on suppose que 0⩽un⩽1 et on
doit démontrer que0⩽un+1⩽1.
Or f est croissante sur R et un+1=f(un)
Si 0⩽un⩽1 alors f(0)=0 et f(1)⩽1 et f(un)=un+1 donc 0⩽un+1⩽1 . ConclusionLe principe de récurrence nous permet d'affirmer que pour tout entier naturel n, on a 0⩽un⩽1 (c'est à dire
un appartient à [0;1].2. Pour tout entier naturel n, un+1-un=-ln(un2+1).
Or un2⩾0 et
un2+1⩾1 et ln(un2+1)⩾ln(1)=0
donc -ln(un2+1)⩽0
Conséquence
La suite (un) est décroissante.
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3. La suite (un) est décroissante et minorée par 0 donc (un) est une suite convergente.
4. Si L est a limite de (un) alors on admet que f(L)=L donc L est une solution de l'équation f(x)=x.
Nous avons vu dans la partie A que l'équation f(x)=x admet une solution unique : 0.Conclusion
L=0 et limn→+∞un = 0.
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