FONCTION LOGARITHME NEPERIEN (Partie 2) PDF

f (x) =ax ln (1+x)+bx si x > 1 . Déterminer a et b pour que f soit continue et dérivable en 1. Terminer l'étude de f et tracer sa courbe représentative dans

Premier exercice

Soit f la fonction définie sur IR par. 2 2x f(x) x e. -. = et ( )C sa courbe représentative dans un repère orthonormé ( O;i j). . 1) a- Calculer.

S Métropole juin 2016

Soit f la fonction définie sur R par : f (x)=x?ln(x2. +1). 1. Soit (un) la suite définie par u0=1 et pour tout entier naturel n

FONCTION LOGARITHME NEPERIEN (Partie 2)

x f '(x) = 1 x. × x ? lnx ×1 x2. = 1? lnx x2. 2) Variations. Propriété : La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur 0;+????? .

Corrigé du TD no 9

Corrigé : On cherche comme d'habitude à traduire la condition

Sujet et corrigé du bac en mathématiques série S

https://www.freemaths.fr/annales-mathematiques/bac-s-mathematiques-france-metropolitaine-2016-obligatoire-corrige-exercice-3-suites.pdf

TD 1 Intégrales généralisées

16 sept. 2016 e x .2/². = ?2 etc. ? Définitions : 1) Soient I = [a

Limites et continuité

Soit f une fonction de R dans R et a un réel. 1. Si f(x) converge quand x tend vers a alors la limite est unique. 2. Si a ? Df

??????: ????????? ???????: ???????? ?????? ?????? ??

16 mars 2017 ln(. 1[2 x x y. -. -. = est l'équation de (C'). VI- (7pts). Part A f est la fonction définie sur ]0;+?[ par f (x) = x x ln2. 2.

Baccalauréat ES Index des exercices avec des fonctions de 2013 à

Soit F la fonction définie sur l'intervalle ]0; 15] par. F(x) = 10x +5x3. ?6x3 lnx. (a) Montrer que F est une primitive de la fonction f sur ]0; 1

[PDF] S Métropole juin 2016 - Meilleur En Maths

Partie A Soit f la fonction définie sur R par : f (x)=x?ln(x2 +1) 1 Résoudre dans R l'équation : f (x)=x 2 Justifier tous les éléments du tableau de

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Donc x(lnx)' = 1 et donc (lnx)' = 1 x Exemple : Dériver la fonction suivante sur l'intervalle 0;+????? : f (x) = lnx

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Soit ƒ la fonction numérique définie sur R par: f(x)= 2x+1+Inx I et soit sa courbe représentative dans un repère orthonormé(0;i;]) 1) Calculer: lim f(x)

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20 jui 2016 · Partie A Soit f la fonction définie sur R par ( ) 2 ( ) ln 1 f x x x = - + 1 Résoudre dans R l'équation : xxf

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Corrigé : On cherche comme d'habitude à traduire la condition ln(1+x) Soit f : R ? R la fonction définie par f(x) = x si x < 1 x2

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Réponse : La fonction f : x ?? x2(cos x)5 + x sin x + 1 est continue sur R De plus on calcule que f(0) = 1 et que f(?)=1 ? ?2 Comme 1 ? ?2 est négatif

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5 mai 2022 · x ?1 = ln(x)+1?1 = ln(x) soit la réponse a 2 On considère la fonction f définie sur R par f (x) = x 3 ?09x 2 ?01x f (x) = x

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ln x l) lim x!0 pxln3 x m) lim x!+1 exp(ln2 x) xn n 2 Z Exercice 4 Soit f Soit f :] 1 0[[[1 +1[! R définie par f(x) = x si x < 0 et f(x) = x 1 si

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16 sept 2016 · e x 2/² = ?2 etc ? Définitions : 1) Soient I = [a b[ un intervalle semi-ouvert à droite f : [a b[ ? R une fonction continue

[PDF] Fonctions de deux variables

Exo 2 Dessinez le domaine de définition de f := (xy) ?? x ln(x + y) ? y ? y ? x Page 5 Graphe Le graphe Grf d'une fonction f de deux variables

YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr1FONCTION LOGARITHME NEPERIEN (Partie 2) I. Etude de la fonction logarithme népérien Vidéo https://youtu.be/3KLX-ScJmcI 1) Continuité et dérivabilité Propriété : La fonction logarithme népérien est continue sur

0;+∞

. - Admis - Propriété : La fonction logarithme népérien est dérivable sur

0;+∞

et (lnx)'= 1 x . Démonstration : Nous admettons que la fonction logarithme népérien est dérivable sur

0;+∞

. Posons f(x)=e lnx . Alors f'(x)=(lnx)'e lnx =x(lnx)' Comme f(x)=x , on a f'(x)=1 . Donc x(lnx)'=1 et donc (lnx)'= 1 x . Exemple : Dériver la fonction suivante sur l'intervalle

0;+∞

f(x)= lnx x f'(x)= 1 x

×x-lnx×1

x 2 1-lnx x 2

2) Variations Propriété : La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur

0;+∞

. Démonstration : Pour tout réel x > 0, (lnx)'= 1 x >0

YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr2 3) Convexité Propriété : La fonction logarithme népérien est concave sur

0;+∞

. Démonstration : Pour tout réel x > 0, (lnx)'= 1 x (lnx)''=- 1 x 2 <0 donc la dérivée de la fonction ln est strictement décroissante sur

0;+∞

et donc la fonction logarithme népérien est concave sur cet intervalle. 4) Limites aux bornes Propriété :

lim x→+∞ lnx=+∞ et lim x→0 x>0 lnx=-∞

On peut justifier ces résultats par symétrie de la courbe représentative de la fonction exponentielle. 5) Tangentes particulières Rappel : Une équation de la tangente à la courbe

C f au point d'abscisse a est : y=f'(a)x-a +f(a) . Dans le cas de la fonction logarithme népérien, l'équation est de la forme : y= 1 a x-a +lna . - Au point d'abscisse 1, l'équation de la tangente est y= 1 1 x-1 +ln1 soit : y=x-1 . - Au point d'abscisse e, l'équation de la tangente est y= 1 e x-e +lne soit : y= 1 e x

. 6) Courbe représentative On dresse le tableau de variations de la fonction logarithme népérien :

YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr3 x 0 +∞

ln'(x) lnx

Valeurs particulières :

ln1=0 lne=1

Méthode : Etudier les variations d'une fonction Vidéo https://youtu.be/iT9C0BiOK4Y 1) Déterminer les variations de la fonction f définie sur

0;+∞

par f(x)=3-x+2lnx . 2) Etudier la convexité de la fonction f. 1) Sur

0;+∞

, on a f'(x)=-1+ 2 x 2-x x . Comme x>0 f'(x) est du signe de 2-x . La fonction f est donc strictement croissante sur 0;2 et strictement décroissante sur

2;+∞

. On dresse le tableau de variations :

YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr4x 0 2 +∞

f'(x) ⎪⎪ + 0 - f(x)

1+2ln2

f(2)=3-2+2ln2=1+2ln2

2) Sur

0;+∞

, on a f''(x)= -1×x-2-x ×1 x 2 -x-2+x x 2 2 x 2 <0 . La fonction f' est donc décroissante sur

0;+∞

. On en déduit que la fonction f est concave sur

0;+∞

. II. Positions relatives Vidéo https://youtu.be/RA4ygCl3ViE Vidéo https://youtu.be/0hQnOs_hcss Propriété : La courbe représentative de la fonction exponentielle est au-dessus de la droite d'équation

y=x . La droite d'équation y=x

est au-dessus de la courbe représentative de la fonction logarithme népérien. Démonstration : - On considère la fonction f définie sur

par f(x)=e x -x f'(x)=e x -1 f'(x)=0 ⇔e x -1=0 ⇔e x =1 ⇔x=0

On a également

f(0)=e 0 -0=1>0 . On dresse ainsi le tableau de variations : x -∞

0 +∞

f'(x) - 0 + f(x)

1 On en déduit que pour tout x de

, on a f(x)=e x -x>0 soit e x >x - On considère la fonction g définie sur

0;+∞

par g(x)=x-lnx g'(x)=1- 1 x x-1 x . Comme x>0 f'(x) est du signe de x-1 . On a également g(1)=1-ln1=1>0

. On dresse ainsi le tableau de variations : x 0 1 +∞

g'(x) - 0 + g(x)

1 On en déduit que pour tout x de

0;+∞

, on a g(x)=x-lnx>0 soit x>lnx

. Horsducadredelaclasse,aucunereproduction,mêmepartielle,autresquecellesprévuesàl'articleL122-5ducodedelapropriétéintellectuelle,nepeutêtrefaitedecesitesansl'autorisationexpressedel'auteur.www.maths-et-tiques.fr/index.php/mentions-legales

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