[PDF] Devoir Ts Soit g la fonction dé

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Ts Devoir math´ematiques n°5 nom:

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On consid`ere la fonctionfd´efinie surRparf(x) =x ex-x.

On note (C) sa courbe repr´esentative dans le plan rapport´e au rep`ere orthogonal (O;-→i;-→j).

Partie A

Soitgla fonction d´efinie surRparg(x) = ex-x-1. 1. ´Etudier les variations de la fonctiongsurR(on ne demande pas les limites).

En d´eduire le signe deg.

2. Justifier que pour toutx,(ex-x) est strictement positif.

Partie B

1. (a) Calculer les limites de la fonctionfen +∞et en-∞(On pourra factoriser).

(b) Interpr´eter graphiquement tes r´esultats pr´ec´edents.

2. (a) Calculerf?(x), f?d´esignant la fonction d´eriv´ee def.

(b) ´Etudier le sens de variations defpuis dresser son tableau de variations.

3. (a) D´eterminer une ´equation de la tangente (T) `a la courbe (C) au point d"abscisse 0.

(b) `A l"aide de lapartie A, ´etudier la position de la courbe (C) par rapport `a la droite (T). Le plan est muni d"un rep`ere orthonormal (O;-→i;-→j). On s"int´eresse aux fonctionsfd´erivables sur [0 ; +∞[ v´erifiant les conditions ?(1) : pour tout r´eelxappartenant `a[0 ; +∞[, f?(x) = 4-[f(x)]2 (2) :f(0) = 0 On admet qu"il existe une unique fonctionfv´erifiant simultan´ement (1) et (2). Les deux parties peuvent ˆetre trait´ees de mani`ere ind´ependante.

Partie A.

´Etude d"une suite

Afin d"obtenir une approximation de la courbe repr´esentative de la fonctionfon utilise la m´ethode it´erative d"Euler avec un pas ´egal `a 0,2. On obtient ainsi une suite de points not´es (Mn), d"abscissexnet d"ordonn´eeyn x

0= 0 et pour tout entier natureln, xn+1=xn+ 0,2

y

0= 0 et pour tout entier natureln, yn+1=-0,2y2n+yn+ 0,8

1. Justifier pourquoi en utilisant la m´ethode d"Euler, on obtient bienyn+1=-0,2y2n+yn+0,8

2. (a) Compl´eter le tableau ci-dessous. On donnera les r´esultats `a 10-4pr`es.

n01234567 xn00,20,4 yn00,80001,4720 (b) Conjecturer le sens de variation et la limite de (yn).

3. (a) Pourxr´eel, on posep(x) =-0,2x2+x+ 0,8.

D´emontrer que six?[0 ; 2] alorsp(x)?[0 ; 2].

(b) Montrer par r´ecurrence que pour tout entier natureln,0?yn?2. (c) ´Etudier le sens de variation de la suite (yn). (d) La suite (yn) est-elle convergente?

Partie B.

´Etude d"une fonction

Soitgla fonction d´efinie sur [0 ; +∞[ parg(x) = 2?e4x-1 e4x+ 1? et (Cg) sa courbe repr´esentative.

1. Montrer que la fonctiongv´erifie les conditions (1) et (2).

2. (a) Montrer que (Cg) admet une asymptote Δ dont on donnera une ´equation.

(b)

´Etudier les variations degsur [0 ; +∞[.

3. D´eterminer l"abscisseαdu point d"intersection de Δ et de la tangente `a (Cg) `a l"origine.

Cette page sera compl´et´ee et remise avec la copie avant la fin de l"´epreuve

Exercice 4 : Annexe

Partie A

n01234567 xn00,20,4 yn00,80001,4720

Partie B

012 0 1 2 012 0 1 2 correction devoir n°5

Partie A

Soitgla fonction d´efinie surRparg(x) = ex-x-1.

1.gsomme de fonctions d´erivables surRest d´erivable et

g ?(x) = ex-1. Comme e0= 1,ex>1, six >0 on en d´eduit le signe deg?(x) donc les variations degEtudier les variations de la fonctiongsurR. -gest d´ecroissante de +∞`a 0 sur ]- ∞; 0]; -g(0) = 0; -gest croissante sur [0 ; +∞[ ga donc un minimum 0 pourx= 0.

Conclusion Quel que doitx?R, g(x)?0.

2. De la question pr´ec´edente il r´esulte que e

x-x-1?0??(ex-x)?1>0.

Partie B

1. (a) - Pourx?= 0, f(x) =1

ex x-1.

Comme lim

x→+∞e x x= +∞,limx→+∞f(x) = 0. - Comme lim x→-∞ex= 0,limx→-∞f(x) =-1.

(b) Les r´esultats pr´ec´edents montrent que l"axe des abscisses est asymptote `a (C) au voisinage

de +∞et que la droite d"´equationy=-1 est asymptote `a (C) au voisinage de-∞.

2. (a) D"apr`esA. 2.le d´enominateur defn"est pas nul :fest donc d´erivable etf?(x) =

ex-x-xex+x (ex-x)2=ex(1-x)(ex-x)2.

Comme e

xet ex-xsont sup´erieurs `a z´ero, le signe def?(x) est celui de 1-x. (b) Six <1, f?(x)>0 etfest croissante;

Six >1, f?(x)<0 etfest d´ecroissante.

x-∞1+∞ -11 e-1

0f(x)00

f ?(x)+-0

3. (a) On af?(0) = 1 etf(0) = 0.

M(x;y)?(T)??y-f(0) =f?(0)(x-0)??y=x.

(b) La courbe (C) est au dessus de la droite (T)??x ex-x> x??x > x(ex-x)?? x(ex-x-1)<0??x <0, car on a vu `a la questionA. 1.que ex-x-1>0. On obtient de mani`ere analogue que la courbe (C) est au dessous de la droite (T) six >0.

Partie A.´Etude d"une suite

1. On utilisef(a+h)≈f(a)+hf?(a), donc doncyn+1=f(xn)+hf?(xn) =f(xn)+h?4-f2(xn)?=

y n+ 0,2(4-y2n) =-0,2y2n+yn+ 0,8

2. (a)

n01234567 xn00,20,40,60,811,21,4 (b) D"apr`es le tableau , la suite semble croissante et converger vers 2.

3. (a) On ap?(x) =-0,4x+ 1 qui s"annule pourx=5

2.Si 0?x?2, la fonction est croissante

dep(0) = 0,8 `ap(2) = 2.

Conclusion : six?[0 ; 2], p(x)?[0 ; 2].

(b) Par r´ecurrence : - Initialisation :y0= 0?[0 ; 2]. - H´er´edit´e : supposons queyn?[0 ; 2]; on sait queyn+1=p(yn)?[0 ; 2] d"apr`es la question pr´ec´edente. La r´ecurrence est d´emontr´ee. (c) On ayn+1-yn=-0,2y2n+yn+ 0,8-yn=-0,2y2n+ 0,8. Or

0?2 =?

0?y2n?4 =?

-0,8?-0,2y2n?0 =?

0?-0,2y2n+ 0,8?...

Conclusion :yn+1-yn?0 =?la suite (yn) est croissante. (d) La suite (yn) est croissante et major´ee par 2 : elle est donc convergente.

Partie B.

´Etude d"une fonction

1. En posantu(x) = e4x, on ag?(x) = 2?u?(u+ 1)-u?(u-1)

(u+ 1)2? =4u?(u+ 1)2=16e4x(e4x+ 1)2.

D"autre part : 4-g(x)2= 4-4?

?e4x-1?2 (e4x+ 1)2? =16e4x(e4x+ 1)2.

De plusg(0) = 2×(1-1) = 0.

La fonctiongv´erifie les conditions (1) et (2).

2. (a) On ag(x) = 2?1-e-4x

1 + e-4x?

. On a donc : lim x→+∞g(x) = 2. La droite Δ d"´equationy= 2 est donc asymptote horizontale `a (Cg) au voisinage de plus l"infini.

(b) L"´ecriture trouv´ee pourg?(x) montre que cette d´eriv´ee est positive : la fonctiongest donc

croissante sur [0 ; +∞[. On a d´ej`ag(0) = 0. On a donc : limx→+∞g(x) = 2. Sur [0 ; +∞[, la fonctiongcroˆıt de 0 `a 2.

3. Le nombre d´eriv´e en 0 estg?(0) =16

4= 4. L"´equation de la tangente `a (Cg) en l"origine est donc

puisqueg(0) = 0,y= 4x. Les coordonn´ees du point commun `ay= 2 ety= 4xsontx=1

2, y= 2. On a doncα=12.

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