[PDF] FONCTION LOGARITHME NEPERIEN (Partie 2)





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Sans titre

1 Étudier les variations de la fonction g. 2 Déterminer le signe de g(x) suivant les valeurs de x. 3 En déduire que pour tout x de [0; 



Devoir Ts

Soit g la fonction définie sur R par g(x)=ex ? x ? 1. 1. Étudier les variations de la fonction g sur R (on ne demande pas les limites). En déduire le signe de 



FONCTION LOGARITHME NEPERIEN (Partie 2)

Comme f (x) = x on a f '(x) = 1. Donc x(lnx)' = 1 et donc (lnx)' = 1 x lne = 1. Méthode : Etudier les variations d'une fonction.



Corrigé du TD no 9

variations de la fonction t ?? et + e?t montre que celle-ci atteint son g(x)=(n ? 1) · 0=0 et lim x?n x>n g(x) = n · 0=0 et g(n) = n sin(n?)=0.



FONCTION EXPONENTIELLE

Supposons qu'il existe une fonction g telle que et . Comme f ne s'annule pas On dresse le tableau de variations de la fonction exponentielle : x.



Corrigé du TD no 11

Soient f et g deux fonctions continues R ? R. On suppose que : ?x ? Q Montrer que l'équation cos x = x admet une solution comprise entre 0 et 1.



Chapitre 3 Dérivabilité des fonctions réelles

et le dernier terme est une fonction de la forme h?(h). Ainsi f est dérivable en x0



Tableau de variation :

Exemple : Etudier le sens de variation de la fonction f définie sur [ – 3 ; 2 ] par f(x) = x. 3 – 3x + 2 . f est dérivable sur [ –3 ; 2 ] et f '(x) = 3x² 



Première ES IE5 dérivation et applications S1 1 Exercice 1 : (45

2) g(x) = 5x3 –. 1 x². 3) h(x) = x² + 1 x - 1. Exercice 2 : extremum et tangente (55 points). 1) Etudier les variations de la fonction f définie sur [-3



FONCTIONS DE REFERENCE

Soit f et g deux fonctions définies sur R par : f (x) = ?x2 +8x ?11 et g(x) = x ?1. Etudier la position relative des courbes représentatives C f et C g.



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1 Étudier les variations de la fonction g 2 Déterminer le signe de g(x) suivant les valeurs de x 3 En déduire que pour tout x de [0; 



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1 sur 11 Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www maths-et-tiques VARIATIONS D'UNE FONCTION Tout le cours sur les variations en vidéo 



[PDF] FONCTION EXPONENTIELLE - maths et tiques

a) Etudier les limites de f à l'infini b) Calculer la dérivée de la fonction f c) Dresser le tableau de variation de la fonction f d) 



[PDF] Corrigé du TD no 11

Fonctions réelles J Gillibert Corrigé du TD no 11 Exercice 1 Soient f et g deux fonctions continues R ? R On suppose que : ?x ? Q f(x) = g(x)



[PDF] Devoir Ts

Soit g la fonction définie sur R par g(x)=ex ? x ? 1 1 Étudier les variations de la fonction g sur R (on ne demande pas les limites) En déduire le signe de 



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x et 2 x deux éléments de f D tq 1 2 x x ? 3)Étudier les variations de f sur ] ]0;1 x = - + Exercice 10 : Les fonction f et g définies



[PDF] de la 1`ere S `a la TS Chapitre 4 : Études de fonctions Exercice n?1

4 Calculer la fonction dérivée de f et étudier son signe 5 Dresser le tableau de variations de f 6 Tracer (Cf ) 



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3) Calculer f'(x) pour tout x e R et étudier son signe 0 4) Dresser le tableau de variations de la fonction f EXERCICE 35 1) Soít g la fonction numérique 



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Présentation globale 1) Définitions d'une fonction et Domaine de définitions 2) Fonctions paires et Fonctions impaires 3) Les variations d'une fonction 



[PDF] Restitution organisée du cours (3 points) Le théorème des valeurs

Soit g la fonction définie sur R par g(x) = x3 ? 3x ? 3 1 (15) Pour étudier les variations de g sur R on étudie le signe de sa fonction dérivée sur 

  • Comment étudier les variations d'une fonction ?

    Définir une fonction f sur un ensemble �� de nombres réels, c'est associer à chaque nombre x de �� un unique nombre appelé image de x par f et noté f(x). On dit que la fonction f est définie sur �� ou que �� est l'ensemble de définition de f.

YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr1FONCTION LOGARITHME NEPERIEN (Partie 2) I. Etude de la fonction logarithme népérien Vidéo https://youtu.be/3KLX-ScJmcI 1) Continuité et dérivabilité Propriété : La fonction logarithme népérien est continue sur

0;+∞

. - Admis - Propriété : La fonction logarithme népérien est dérivable sur

0;+∞

et (lnx)'= 1 x . Démonstration : Nous admettons que la fonction logarithme népérien est dérivable sur

0;+∞

. Posons f(x)=e lnx . Alors f'(x)=(lnx)'e lnx =x(lnx)' Comme f(x)=x , on a f'(x)=1 . Donc x(lnx)'=1 et donc (lnx)'= 1 x . Exemple : Dériver la fonction suivante sur l'intervalle

0;+∞

f(x)= lnx x f'(x)= 1 x

×x-lnx×1

x 2 1-lnx x 2

2) Variations Propriété : La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur

0;+∞

. Démonstration : Pour tout réel x > 0, (lnx)'= 1 x >0

YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr2 3) Convexité Propriété : La fonction logarithme népérien est concave sur

0;+∞

. Démonstration : Pour tout réel x > 0, (lnx)'= 1 x (lnx)''=- 1 x 2 <0 donc la dérivée de la fonction ln est strictement décroissante sur

0;+∞

et donc la fonction logarithme népérien est concave sur cet intervalle. 4) Limites aux bornes Propriété :

lim x→+∞ lnx=+∞ et lim x→0 x>0 lnx=-∞

On peut justifier ces résultats par symétrie de la courbe représentative de la fonction exponentielle. 5) Tangentes particulières Rappel : Une équation de la tangente à la courbe

C f au point d'abscisse a est : y=f'(a)x-a +f(a) . Dans le cas de la fonction logarithme népérien, l'équation est de la forme : y= 1 a x-a +lna . - Au point d'abscisse 1, l'équation de la tangente est y= 1 1 x-1 +ln1 soit : y=x-1 . - Au point d'abscisse e, l'équation de la tangente est y= 1 e x-e +lne soit : y= 1 e x

. 6) Courbe représentative On dresse le tableau de variations de la fonction logarithme népérien :

YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr3 x 0 +∞

ln'(x) lnx

Valeurs particulières :

ln1=0 lne=1

Méthode : Etudier les variations d'une fonction Vidéo https://youtu.be/iT9C0BiOK4Y 1) Déterminer les variations de la fonction f définie sur

0;+∞

par f(x)=3-x+2lnx . 2) Etudier la convexité de la fonction f. 1) Sur

0;+∞

, on a f'(x)=-1+ 2 x 2-x x . Comme x>0 f'(x) est du signe de 2-x . La fonction f est donc strictement croissante sur 0;2 et strictement décroissante sur

2;+∞

. On dresse le tableau de variations :

YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr4x 0 2 +∞

f'(x) ⎪⎪ + 0 - f(x)

1+2ln2

f(2)=3-2+2ln2=1+2ln2

2) Sur

0;+∞

, on a f''(x)= -1×x-2-x ×1 x 2 -x-2+x x 2 2 x 2 <0 . La fonction f' est donc décroissante sur

0;+∞

. On en déduit que la fonction f est concave sur

0;+∞

. II. Positions relatives Vidéo https://youtu.be/RA4ygCl3ViE Vidéo https://youtu.be/0hQnOs_hcss Propriété : La courbe représentative de la fonction exponentielle est au-dessus de la droite d'équation

y=x . La droite d'équation y=x

est au-dessus de la courbe représentative de la fonction logarithme népérien. Démonstration : - On considère la fonction f définie sur

par f(x)=e x -x f'(x)=e x -1 f'(x)=0 ⇔e x -1=0 ⇔e x =1 ⇔x=0

On a également

f(0)=e 0 -0=1>0 . On dresse ainsi le tableau de variations : x -∞

0 +∞

f'(x) - 0 + f(x)

1 On en déduit que pour tout x de

, on a f(x)=e x -x>0 soit e x >x - On considère la fonction g définie sur

0;+∞

par g(x)=x-lnx g'(x)=1- 1 x x-1 x . Comme x>0 f'(x) est du signe de x-1 . On a également g(1)=1-ln1=1>0

. On dresse ainsi le tableau de variations : x 0 1 +∞

g'(x) - 0 + g(x)

1 On en déduit que pour tout x de

0;+∞

, on a g(x)=x-lnx>0 soit x>lnx

. Horsducadredelaclasse,aucunereproduction,mêmepartielle,autresquecellesprévuesàl'articleL122-5ducodedelapropriétéintellectuelle,nepeutêtrefaitedecesitesansl'autorisationexpressedel'auteur.www.maths-et-tiques.fr/index.php/mentions-legales

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