Sans titre
1 Étudier les variations de la fonction g. 2 Déterminer le signe de g(x) suivant les valeurs de x. 3 En déduire que pour tout x de [0;
Devoir Ts
Soit g la fonction définie sur R par g(x)=ex ? x ? 1. 1. Étudier les variations de la fonction g sur R (on ne demande pas les limites). En déduire le signe de
FONCTION LOGARITHME NEPERIEN (Partie 2)
Comme f (x) = x on a f '(x) = 1. Donc x(lnx)' = 1 et donc (lnx)' = 1 x lne = 1. Méthode : Etudier les variations d'une fonction.
Corrigé du TD no 9
variations de la fonction t ?? et + e?t montre que celle-ci atteint son g(x)=(n ? 1) · 0=0 et lim x?n x>n g(x) = n · 0=0 et g(n) = n sin(n?)=0.
FONCTION EXPONENTIELLE
Supposons qu'il existe une fonction g telle que et . Comme f ne s'annule pas On dresse le tableau de variations de la fonction exponentielle : x.
Corrigé du TD no 11
Soient f et g deux fonctions continues R ? R. On suppose que : ?x ? Q Montrer que l'équation cos x = x admet une solution comprise entre 0 et 1.
Chapitre 3 Dérivabilité des fonctions réelles
et le dernier terme est une fonction de la forme h?(h). Ainsi f est dérivable en x0
Tableau de variation :
Exemple : Etudier le sens de variation de la fonction f définie sur [ – 3 ; 2 ] par f(x) = x. 3 – 3x + 2 . f est dérivable sur [ –3 ; 2 ] et f '(x) = 3x²
Première ES IE5 dérivation et applications S1 1 Exercice 1 : (45
2) g(x) = 5x3 –. 1 x². 3) h(x) = x² + 1 x - 1. Exercice 2 : extremum et tangente (55 points). 1) Etudier les variations de la fonction f définie sur [-3
FONCTIONS DE REFERENCE
Soit f et g deux fonctions définies sur R par : f (x) = ?x2 +8x ?11 et g(x) = x ?1. Etudier la position relative des courbes représentatives C f et C g.
[PDF] Exercice 1 daprès Amérique du Nord
1 Étudier les variations de la fonction g 2 Déterminer le signe de g(x) suivant les valeurs de x 3 En déduire que pour tout x de [0;
[PDF] VARIATIONS DUNE FONCTION - maths et tiques
1 sur 11 Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www maths-et-tiques VARIATIONS D'UNE FONCTION Tout le cours sur les variations en vidéo
[PDF] FONCTION EXPONENTIELLE - maths et tiques
a) Etudier les limites de f à l'infini b) Calculer la dérivée de la fonction f c) Dresser le tableau de variation de la fonction f d)
[PDF] Corrigé du TD no 11
Fonctions réelles J Gillibert Corrigé du TD no 11 Exercice 1 Soient f et g deux fonctions continues R ? R On suppose que : ?x ? Q f(x) = g(x)
[PDF] Devoir Ts
Soit g la fonction définie sur R par g(x)=ex ? x ? 1 1 Étudier les variations de la fonction g sur R (on ne demande pas les limites) En déduire le signe de
[PDF] exercice-generalite-sur-les-fonctions-1bac-sx-1pdf - Moutamadrisma
x et 2 x deux éléments de f D tq 1 2 x x ? 3)Étudier les variations de f sur ] ]0;1 x = - + Exercice 10 : Les fonction f et g définies
[PDF] de la 1`ere S `a la TS Chapitre 4 : Études de fonctions Exercice n?1
4 Calculer la fonction dérivée de f et étudier son signe 5 Dresser le tableau de variations de f 6 Tracer (Cf )
[PDF] [PDF] EXERCICES ET PROBLEMES - AlloSchool
3) Calculer f'(x) pour tout x e R et étudier son signe 0 4) Dresser le tableau de variations de la fonction f EXERCICE 35 1) Soít g la fonction numérique
[PDF] generalites-sur-les-fonctions-cours-et-exercices-corriges-2pdf
Présentation globale 1) Définitions d'une fonction et Domaine de définitions 2) Fonctions paires et Fonctions impaires 3) Les variations d'une fonction
[PDF] Restitution organisée du cours (3 points) Le théorème des valeurs
Soit g la fonction définie sur R par g(x) = x3 ? 3x ? 3 1 (15) Pour étudier les variations de g sur R on étudie le signe de sa fonction dérivée sur
Comment étudier les variations d'une fonction ?
Définir une fonction f sur un ensemble de nombres réels, c'est associer à chaque nombre x de un unique nombre appelé image de x par f et noté f(x). On dit que la fonction f est définie sur ou que est l'ensemble de définition de f.
CPP - 2013/2014 Fonctions réelles
J. Gillibert
Corrigé du TD n
o9Exercice 11. Montrer, à partir de la définition donnée en cours, que :
lim x→0x2= 0Corrigé :D"après la définition, l"énoncé "limx→0x2= 0» se traduit de la façon suivante :
On souhaite montrer que cet énoncé est vrai, c"est-à-dire que, étant donné un réelε >0, il existe
de prendreδ=⎷ε, d"où le résultat.2. Même question pour :
lim x→1? 1 +1x = 2 Corrigé :Comme précédemment, l"énoncé se traduit de la façon suivante : 1 +1xPour voir que cet énoncé est vrai, il faut montrer que, pour tout? >0, il existeδ >0satisfaisant
l"implication pour tout réelx?R?. Autrement dit, il faut traduire la condition|1x |x-1|. Pour cela, on procède par équivalences successives. Tout d"abord : ????1xPour simplifier, on peut supposer que1-ε >0, c"est-à-dire queε?]0,1[. En effet, si l"on peut
rendre|1x -1|plus petit que toute quantitéε?]0,1[, alors on peut aussi le rendre plus petit quetoute quantitéε≥1. De façon plus générale, on peut se restreindre à des valeurs suffisamment
petites deεquand on manipule la définition de limite d"une fonction en un point. Revenons à nos
moutons : si l"on suppose que1-ε >0, alorsDonc, si l"on poseδ= min(ε1+ε,ε1-ε) =ε1+ε(la plus petite des deux quantités en valeur absolue),
1Exercice 2
1. Traduire par une formule mathématique (avec quantificateurs) l"affirmation
lim x→0ln(1 +x) = 0 Corrigé :Par définition de la limite, l"affirmation se traduit par2. Déterminer un réelδ >0tel que
surx. Nous avonsSoitδ= min(e10-3-1,1-e-10-3). Alorsδsatisfait bien la propriété voulue. Pour ceux qui sont
curieux de connaître la valeur exacte deδ, on peut faire le raisonnement suivant : l"analyse des
variations de la fonctiont?→et+e-tmontre que celle-ci atteint son minimum en0, donc ce minimum est égal à2. En particuliere10-3+e-10-3≥2. On en déduit queδ= 1-e-10-3.Exercice 3
a) Nous avons, pour toutx?R, la majoration suivante ????xcos(ex)x 2+ 1? 2+ 1?D"autre part
xx2+ 1=1x+1x
donc cette quantité tend vers0quandxtend vers+∞. On en déduit que : lim x→+∞xcos(ex)x2+ 1= 0.
b) Commesinxest borné,x-sinxtend vers+∞quandxtend vers+∞. On en déduit que lim x→+∞ex-sinx= +∞ c) Pourx >1, la partie entière de1x est nulle. Par conséquent pour toutx >1,x?1x = 0.Donc la limite cherchée vaut0.
d) Nous avons : sin(xlnx)x =sin(xlnx)xlnxlnx Six→0, alorsxlnx→0. Donc par composition des limites on a : lim x→0sin(xlnx)xlnx= limy→0sinyy = 1On en déduit que :
lim x→0sin(xlnx)x 2Exercice 4
Soitf:R→Rla fonction définie par
f(x) =? ?xsix <1 x8⎷xsix >4
1. L"allure du graphe defa été vue en TD!
2. On note d"abord quefest continue sur l"intervalle]-∞,1[, car elle est égale sur cet intervalle à la
fonctionx?→x. De même, la fonctionfest continue sur les intervalles]1,4[et]4,+∞[car elle est
égale à des fonctions continues sur chacun de ces intervalles. Il reste à étudier la continuité defen
1et en4. En1nous avons :
limx→1x<1f(x) = limx→1x<1x= 1 et limx→1x>1f(x) = limx→1x>1x 2= 1donc les limites à droite et à gauche defen1sont égales àf(1), ce qui montre quefest continue
en1. On montre de même quefest continue en4. On en conclut quefest continue surR.Exercice 5
1. La fonctionf:x?→x?x?n"est pas continue. En effet,f(x) = 0pour toutx?[0,1[, d"où :
lim x→1x<1f(x) = 0 et d"autre partf(1) = 1, donc la limite à gauche defen1n"est pas égale àf(1), ce qui montre quefn"est pas continue en1.2. Nous allons montrer que la fonctiong:x?→ ?x?sin(πx)est continue surR. On note d"abord queg
est continue sur chacun des intervalles de la forme]n,n+ 1[avecn?Z. Il reste à montrer queg est continue en chaque entier relatif. Soitn?Z, alors lim x→nxetg(n) =nsin(nπ) = 0. Doncga des limites à droite et à gauche ennqui sont égales àg(n), ce
qui montre quegest continue enn.Exercice 6
On considère la fonctionfdéfinie surRparf(x) =xsinx.1. Pour toutn?N, on posexn=π2
+ 2nπ. Alors la suite(xn)tend vers+∞, etsin(xn) = 1pour toutn, donc f(xn) =xnsin(xn) =xn doncf(xn)tend vers+∞.2. Pour toutn?N, on poseyn= 2nπ. Alors la suite(yn)tend vers+∞, etsin(yn) = 0pour toutn,
donc f(yn) =ynsin(yn) = 0 doncf(yn)tend vers0.3. Si la fonctionfavait une limite en+∞, alors (d"après le critère séquentiel) les suitesf(xn)etf(yn)
tendraient toutes les deux vers cette limite. Orf(xn)etf(yn)n"ont pas la même limite, doncfn"a pas de limite en+∞. 3Exercice 7
On définit deux suites(un)n≥1et(vn)n≥1en posant : u n=12nπetvn=1π 2 + 2nπ. Ces deux suites tendent vers0quandntend vers+∞. De plus cos ?1u n? = cos(2nπ) = 1etcos?1v n? = cos?π2 + 2nπ? = 0Par un raisonnement semblable à celui de l"exercice précédent, on en déduit que la fonctionx?→cos?1x
n"admet pas de limite en0.Exercice 8
a) D"après le cours, la fonctionf1est prolongeable par continuité en0si et seulement si elle a une
limite finie en0. Or nous avons la majoration : Commesinxtend vers0quandxtend vers0, il en résulte quef1tend vers0en0. Donc on peut prolongerf1par continuité en0en posant :f1(0) = 0. b) Soitg:R→Rla fonction définie par g(x) = lnex+e-x2 Alorsgest dérivable surR, etg(0) = 0. La fonctionf2s"écrit f2(x) =g(x)x
=g(x)-g(0)x On reconnaît le taux d"accroissement degentre0etx. Par conséquent,f2admet une limite finie en0, égale àg?(0). Calculons doncg?surR g ?(x) =? lnex+e-x2 =e x-e-x2 e x+e-x2 =ex-e-xe x+e-x Doncg?(0) = 0. Ainsi, en posantf2(0) = 0nous obtenons une fonctionf2continue surR. c) La fonctionf3est définie et continue surR\ {-1,1}. De plus, on calcule que : f3(x) =11-x-21-x2=1 +x-2(1-x)(1 +x)=-1 +x(1-x)(1 +x)=-1(1 +x).
On en déduit quef3a pour limite-12
quandxtend vers1. Et donc en posantf3(1) =-12 nous obtenons une fonction continue surR\ {-1}. Par contre, en-1la fonctionf3ne peut pasêtre prolongée par continuité, car elle n"admet pas une limite finie en ce point. Doncf3n"est pas
prolongeable par continuité surR.Exercice 9
Soit f(x) =cosx1 +x21. Nous avons
????cosx1 +x2? car|cosx|est majoré par1et1 +x2est minoré par1. 42. Comme la fonctionfest majorée par1, on sait queSupx?Rf(x)est inférieur ou égal à1. D"autre
part on constate quef(0) = 1, donc1est à la fois un majorant et une valeur de la fonctionf. Par conséquent,Supx?Rf(x) = 1.Exercice 10
Soitf:R→Rune fonction périodique de périodeT >0. On suppose quefadmet une limite finie (que
nous noterons?) quandxtend vers+∞. Nous allons montrer quefest constante. Soitx0?R, alors la suitex0+nTtend vers+∞, donc la suitef(x0+nT)converge vers?. D"autre part, on montre par récurrence que : f(x0+nT) =f(x0)pour toutn?Nc"est-à-dire que la suitef(x0+nT)est constante égale àf(x0). Doncf(x0) =?. Comme ce raisonnement
est valable pour n"importe quelle valeur dex0, on en déduit quefest constante égale à?.Exercice 11
La fonctionf(x)-xétant bornée sur[x0,+∞[, il existe un réelMtel queEn divisant parxon trouve
?x≥x0,????f(x)xQuand on fait tendrexvers+∞,Mx
tend vers0, donc|f(x)x -1|tend lui aussi vers0, d"où : lim x→+∞f(x)x = 1.Exercice 12
1. On considère la fonctionfdonnée par
f(x) =? ⎷1-x2si|x|<1 ax2+bx+csi|x| ≥1
Cette fonction est continue sur l"intervalle]-1,1[car elle est égale à la fonctionx?→⎷1-x2sur
cet intervalle. De même, elle est continue sur les intervalles]- ∞,-1[et]1,+∞[car elle est égale
à la fonctionx?→ax2+bx+csur ces intervalles. On en déduit quefest continue surRsi et seulement si elle est continue en-1et en1. Calculons les limites à droite et à gauche defen-1: lim x→-1x<-1f(x) = limx→-1x<-1ax2+bx+c=a-b+c=f(-1)
et limx→-1x>-1f(x) = limx→-1x>-1?1-x2= 0 Doncfest continue en-1si et seulement sia-b+c= 0. Par un calcul semblable, on trouve quequotesdbs_dbs45.pdfusesText_45[PDF] f(x)=x+1+x/e^x
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