Développements limités
Indication pour l'exercice 2 ?. Pour la première question vous pouvez appliquer la formule de Taylor ou bien poser h = x?1 et considérer un dl au voisinage de
Les Développements Limités
2 ) et on trouve le DL de f(x) = cos x à l'ordre 3 au point ?. 2 : cos(x) = ?(x ? Pour trouver le DL de ex en 1 on remplace h par x ? 1 ex = e(x +.
FONCTION EXPONENTIELLE
1) Relation fonctionnelle. Théorème : Pour tous réels x et y on a : Remarque : Cette formule permet de transformer une somme en produit et réciproquement.
Corrigé du TD no 11
Fonctions réelles. J. Gillibert. Corrigé du TD no 11. Exercice 1. Soient f et g deux fonctions continues R ? R. On suppose que : ?x ? Q f(x) = g(x).
Injection surjection
http://exo7.emath.fr/ficpdf/fic00003.pdf
Corrigé du TD no 9
Exercice 2. 1. Traduire par une formule mathématique (avec quantificateurs) l'affirmation lim x?0 ln(1 + x)=0. Corrigé : Par définition de la limite
Valeurs absolues. Partie entière. Inégalités
géométrique) et 1 h. = 1. 2. (1 x. + 1 y) (moyenne harmonique). Montrer que x ? h ? g ? m ? y. Correction ?. [005146]. Exercice 2 *I Inégalité de
TD 1 Intégrales généralisées
16 sept. 2016 converge et vaut 0. Solution : 1) Convergence. La fonction f(x) = ²1 ln x.
I Fonctions et domaines de définition II Limites
(h) Selon la valeur de ? donner le nombre de solutions de l'équation f(x) = ?. À faire. (à préparer pour la séance d'exercices) : • Exos 1.1 et 1.2 de [
Cours : Ensembles et applications
Calculer f ? (g ? h) et (f ? g) ? h. 4. Pour la fonction f : ? définie par x ? x2 représenter et calculer les ensembles suivants : f ([0 1[)
[PDF] FONCTION EXPONENTIELLE - maths et tiques
se lit "factorielle 5" et est égal à 1 x 2 x 3 x 4 x 5 Par cette formule il obtient une estimation de e avec 18 décimales exactes Nous devons aussi à Euler
[PDF] FONCTIONS EXPONENTIELLES (Partie 2) - maths et tiques
Définition : Cette fonction est la fonction exponentielle de base e notée exp telle que pour tout réel x on a Le réel e est environ égal à 2718 Remarques
[PDF] FONCTION EXPONENTIELLE
1 On sait qu'une approximation affine de exp(x 0 + h) est exp( x 0) + exp'( x 0) h Comme la fonction exponentielle est égale à sa dérivée on a : exp(x
[PDF] Les fonctions exponentielles Exercices
1 e-1 • E = e2 × e-4 • F = (e-5)2 e2 × e-6 • G = ex × e-x • H = (e3x+2)2 • I = e2x+1 × e-3x+5 • J = e-x+1 e3x-4 • K = ex-7 e2x × e3x+5 e-2x+1
[PDF] FONCTION EXPONENTIELLE 1 Définition de la fonction « exp
Définition 1 Une équation différentielle est une équation définie par une relation fonctionnelle entre une fonction y(x) et un nombre fini de ses dérivées
[PDF] Corrigé du TD no 11
Montrer que le polynôme x3 + 2x ? 1 a une unique racine qui appartient à l'intervalle ]0 1[ Réponse : Soit f(x) = x3 + 2x ? 1 La fonction f est continue
[PDF] Chapitre 3 Dérivabilité des fonctions réelles
Par exemple la fonction x ?? x + 1 [01] ? [01] admet un minimum en 0 et un maximum en 1 et pourtant sa dérivée ne s'annule jamais 3 4 Rolle
[PDF] 5 Séance 5
?5 ? g(x) ? 2 Correction : 1 Pour tout nombre réel x on a ex + x e2x + 1 = ex(1 + xe?x) e2x(1 + e?2x) = e?x 1 + xe?x 1 + e?2x Or lim x?+?
[PDF] La fonction exponentielle - Lycée dAdultes
24 nov 2015 · Démonstration : Posons la fonction h(x) = exp(x + a) exp(a) Montrons alors que la fonction h n'est autre que la fonction exponentielle Il
[PDF] Exercice B1 - XMaths - Free
Pour tout réel x on a h'(x) = 1 x ex + x x ex = (1 + x) ex On sait que la fonction exponentielle est strictement positive sur IR donc h'(x) est du signe
Comment résoudre X exponentielle ?
Pour résoudre une équation exponentielle, il faut être à l'aise avec les logarithmes. Il est important de garder en tête que av=aw a v = a w si et seulement si v=w . Donc, lorsqu'on a deux expressions qui sont égales et qu'elles ont la même base, alors les exposants sont égaux.Comment calculer avec e ?
Par exemple, si 103 = 10 x 10 x 10 = 1000 alors log(1000) = 3 et si 10x = y alors log(y) = x. Le nombre e permet de savoir pour quelle valeur le logarithme népérien est-il égal à 1. Si ln(x) = y alors x = exp(y), or exp(1) = e.Quand exponentielle s'annule ?
Démonstration : On a démontré dans le paragraphe I. que la fonction exponentielle ne s'annule jamais. Or, par définition, donc pour tout x, . Comme , la fonction exponentielle est strictement croissante.- Pour tout nombre réel x, exp?(x)=exp(x)>0. La fonction dérivée de la fonction exponentielle est strictement positive sur R donc la fonction exponentielle est strictement croissante sur R.
Ensembles et applications
MotivationsAu début duXXesiècle le professeur Frege peaufinait la rédaction du second tome d"un ouvrage qui souhaitait refonder
les mathématiques sur des bases logiques. Il reçut une lettre d"un tout jeune mathématicien :" J"ai bien lu votre premier
livre. Malheureusement vous supposez qu"il existe un ensemble qui contient tous les ensembles. Un tel ensemble ne peut
exister. »S"ensuit une démonstration de deux lignes. Tout le travail de Frege s"écroulait et il ne s"en remettra jamais.
Le jeune Russell deviendra l"un des plus grands logiciens et philosophes de son temps. Il obtient le prix Nobel de
littérature en 1950.Voici le " paradoxe de Russell » pour montrer que l"ensemble de tous les ensembles ne peut exister. C"est très bref,
mais difficile à appréhender. Par l"absurde, supposons qu"un tel ensembleEcontenant tous les ensembles existe.
Considérons
F=¦
E∈ E |E/∈E©
Expliquons l"écritureE/∈E: leEde gauche est considéré comme un élément, en effet l"ensembleEest l"ensemble de
tous les ensembles etEest un élément de cet ensemble; leEde droite est considéré comme un ensemble, en effet les
élément deEsont des ensembles! On peut donc s"interroger si l"élémentEappartient à l"ensembleE. Si non, alors
par définition on metEdans l"ensembleF.La contradiction arrive lorsque l"on se pose la question suivante : a-t-onF∈FouF/∈F? L"une des deux affirmation
doit être vraie. Et pourtant :SiF∈Falors par définition deF,Fest l"un des ensemblesEtel queF/∈F. Ce qui est contradictoire.
SiF/∈FalorsFvérifie bien la propriété définissantFdoncF∈F! Encore contradictoire.
Aucun des cas n"est possible. On en déduit qu"il ne peut exister un tel ensembleEcontenant tous les ensembles.
Ce paradoxe a été popularisé par l"énigme suivante :" Dans une ville, le barbier rase tous ceux qui ne se rasent pas
eux-mêmes. Qui rase le barbier? »La seule réponse valable est qu"une telle situation ne peut exister.
Ne vous inquiétez pas, Russell et d"autres ont fondé la logique et les ensembles sur des bases solides. Cependant il
n"est pas possible dans ce cours de tout redéfinir. Heureusement, vous connaissez déjà quelques ensembles :
l"ensemble des entiers naturelsN={0,1,2,3,...}. l"ensemble des entiers relatifsZ={...,-2,-1,0,1,2,...}. l"ensemble des rationnelsQ=pq |p∈Z,q∈N\{0}. l"ensemble des réelsR, par exemple 1,p2,π, ln(2),... l"ensemble des nombres complexesC.ENSEMBLES ET APPLICATIONS1. ENSEMBLES2Nous allons essayer de voir les propriétés des ensembles, sans s"attacher à un exemple particulier. Vous vous apercevrez
assez rapidement que ce qui est au moins aussi important que les ensembles, ce sont les relations entre ensembles : ce
sera la notion d"application (ou fonction) entre deux ensembles.1. Ensembles
1.1. Définir des ensembles
On va définir informellement ce qu"est un ensemble : unensembleest une collection d"éléments.
Exemples :
{0,1},{rouge,noir},{0,1,2,3,...}=N.Un ensemble particulier est l"ensemble vide, noté∅qui est l"ensemble ne contenant aucun élément.
On notex∈Esixest un élément deE, etx/∈Edans le cas contraire.Voici une autre façon de définir des ensembles : une collection d"éléments qui vérifient une propriété.
Exemples :x∈R| |x-2|<1,z∈C|z5=1,x∈R|0⩽x⩽1= [0,1].1.2. Inclusion, union, intersection, complémentaire
L"inclusion.E⊂Fsi tout élément deEest aussi un élément deF. Autrement dit :∀x∈E(x∈F). On dit alors
queEest unsous-ensembledeFou unepartiedeF. L"égalité.E=Fsi et seulement siE⊂FetF⊂E. Ensemble des partiesdeE. On noteP(E)l"ensemble des parties deE. Par exemple siE={1,2,3}: P({1,2,3}) =∅,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}.Complémentaire. SiA⊂E,∁
EA=x∈E|x/∈AOn le note aussiE\Aet juste∁As"il n"y a pas d"ambiguïté (et parfois aussiAcouA).A∁
EAEUnion. PourA,B⊂E,A∪B=x∈E|x∈Aoux∈BLe" ou »n"est pas exclusif :xpeut appartenir àAet àBen même temps.ABA∪B
ENSEMBLES ET APPLICATIONS1. ENSEMBLES3
1.3. Règles de calculs
SoientA,B,Cdes parties d"un ensembleE.
A∩B=B∩A
A∩(B∩C) = (A∩B)∩C(on peut donc écrireA∩B∩Csans ambigüité)A∪B=B∪A
A∪(B∪C) = (A∪B)∪C(on peut donc écrireA∪B∪Csans ambiguïté)A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C)A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C)
∁∁A=Aet doncA⊂B⇐⇒∁B⊂∁A ∁(A∩B) =∁A∪∁B ∁(A∪B) =∁A∩∁BVoici les dessins pour les deux dernières assertions.AB∁AAB∁BABA∩B∁(A∩B) =∁A∪∁BABA∪B∁(A∪B) =∁A∩∁BLes preuves sont pour l"essentiel une reformulation des opérateurs logiques, en voici quelques-unes :
Preuve deA∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C):x∈A∩(B∪C)⇐⇒x∈Aetx∈(B∪C)⇐⇒x∈Aet(x∈Boux∈
Preuve de∁(A∩B)=∁A∪∁B:x∈∁(A∩B)⇐⇒x/∈(A∩B)⇐⇒nonx∈A∩B⇐⇒nonx∈Aetx∈
B⇐⇒non(x∈A)ou non(x∈B)⇐⇒x/∈Aoux/∈B⇐⇒x∈∁A∪∁B.
Remarquez que l"on repasse aux éléments pour les preuves.1.4. Produit cartésien
SoientEetFdeux ensembles. Leproduit cartésien, notéE×F, est l"ensemble des couples(x,y)oùx∈Eety∈F.
Exemple 1.
1.V ousconnaissez R2=R×R=(x,y)|x,y∈R.
2. Autre exemple [0,1]×R=(x,y)|0⩽x⩽1,y∈RENSEMBLES ET APPLICATIONS2. APPLICATIONS4xy
013.[0,1]×[0,1]×[0,1] =(x,y,z)|0⩽x,y,z⩽1xy
z 011 1Mini-exercices.
1. En utilisant les définitions, montrer : A̸=Bsi et seulement s"il existea∈A\Boub∈B\A. 2.Énumérer P({1,2,3,4}).
3. Montrer A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C)et∁(A∪B) =∁A∩∁B. 4.Énumérer {1,2,3}×{1,2,3,4}.
5.Représenter les sous-ensembles deR2suivants :]0,1[∪[2,3[×[-1,1],R\(]0,1[∪[2,3[)×(R\[-1,1])∩
[0,2].2. Applications2.1. Définitions
Uneapplication(ou unefonction)f:E→F, c"est la donnée pour chaque élémentx∈Ed"un unique élément de
Fnotéf(x).
Nous représenterons les applications par deux types d"illustrations : les ensembles " patates », l"ensemble de départ
(et celui d"arrivée) est schématisé par un ovale ses éléments par des points. L"associationx7→f(x)est représentée
par une flèche.xf(x)EFfL"autre représentation est celle des fonctions continues deRdansR(ou des sous-ensembles deR). L"ensemble de
départRest représenté par l"axe des abscisses et celui d"arrivée par l"axe des ordonnées. L"associationx7→f(x)
est représentée par le point(x,f(x)).ENSEMBLES ET APPLICATIONS2. APPLICATIONS5xy
xf(x)Égalité. Deux applicationsf,g:E→Fsont égales si et seulement si pour toutx∈E,f(x) =g(x). On note alors
f=g.Legraphedef:E→FestΓ
f=¦x,f(x)∈E×F|x∈E©xy fComposition. Soientf:E→Fetg:F→Galorsg◦f:E→Gest l"application définie parg◦f(x) =gf(x).EFGfg
g◦f Restriction. Soientf:E→FetA⊂Ealors la restriction defàAest l"application f |A:A-→F x7-→f(x)Exemple 2.
1.L "identité, idE:E→Eest simplement définie parx7→xet sera très utile dans la suite.
2.Définissons f,gainsi
f:]0,+∞[-→]0,+∞[ x7-→1x ,g:]0,+∞[-→R x7-→x-1x+1. Alorsg◦f:]0,+∞[→Rvérifie pour toutx∈]0,+∞[: =1x -11 x +1=1-x1+x=-g(x).2.2. Image directe, image réciproque
SoientE,Fdeux ensembles.Définition 1.
SoitA⊂Eetf:E→F, l"image directedeAparfest l"ensemblef(A) =f(x)|x∈AENSEMBLES ET APPLICATIONS2. APPLICATIONS6EF
Af(A)f
xyAf(A)Définition 2.
SoitB⊂Fetf:E→F, l"image réciproquedeBparfest l"ensemblef -1(B) =x∈E|f(x)∈BEF f -1(B)Bf xy B f -1(B)Remarque. Ces notions sont plus difficiles à maîtriser qu"il n"y paraît! f(A)est un sous-ensemble deF,f-1(B)est un sous-ensemble deE.La notation "f-1(B)» est un tout, rien ne dit quefest un fonction bijective (voir plus loin). L"image réciproque
existe quelque soit la fonction.L"image directe d"un singletonf({x}) =f(x)est un singleton. Par contre l"image réciproque d"un singleton
f-1{y}dépend def. Cela peut être un singleton, un ensemble à plusieurs éléments; mais cela peut-êtreEtout
entier (sifest une fonction constante) ou même l"ensemble vide (si aucune image parfne vauty).2.3. Antécédents
Fixonsy∈F. Tout élémentx∈Etel quef(x) =yest unantécédentdey. En termes d"image réciproque l"ensemble des antécédents deyestf-1({y}). Sur les dessins suivants, l"élémentyadmet 3 antécédents parf. Ce sontx1,x2,x3.EFf yx 1x 2x 3xy x 1x 2x 3yMini-exercices.
1. P ourdeux applications f,g:E→F, quelle est la négation def=g? 2. R eprésenterle graphe de f:N→Rdéfinie parn7→4n+1. 3.Soient f,g,h:R→Rdéfinies parf(x) =x2,g(x) =2x+1,h(x) =x3-1. Calculerf◦(g◦h)et(f◦g)◦h.
4.Pour la fonctionf:R→Rdéfinie parx7→x2représenter et calculer les ensembles suivants :f([0,1[),f(R),
ENSEMBLES ET APPLICATIONS3. INJECTION,SURJECTION,BIJECTION73. Injection, surjection, bijection
3.1. Injection, surjection
SoitE,Fdeux ensembles etf:E→Fune application.Définition 3.festinjectivesi pour toutx,x′∈Eavecf(x) =f(x′)alorsx=x′. Autrement dit :∀x,x′∈Ef(x) =f(x′) =⇒x=x′Définition 4.
festsurjectivesi pour touty∈F, il existex∈Etel quey=f(x). Autrement dit :∀y∈F∃x∈Ey=f(x)Une autre formulation :fest surjective si et seulement sif(E) =F.
Les applicationsfreprésentées sont injectives :EFf xy EF) Les applicationsfreprésentées sont surjectives :EFf xy EFRemarque.Encore une fois ce sont des notions difficiles à appréhender. Une autre façon de formuler l"injectivité et la surjectivité
est d"utiliser les antécédents.fest injective si et seulement si tout élémentydeFaau plusun antécédent (et éventuellement aucun).
fest surjective si et seulement si tout élémentydeFaau moinsun antécédent.Remarque.
Voici deux fonctions non injectives :EFf
yxx ′xy xx ′y ENSEMBLES ET APPLICATIONS3. INJECTION,SURJECTION,BIJECTION8Ainsi que deux fonctions non surjectives :EFf
xy EF )yExemple 3.
1.Soitf1:N→Qdéfinie parf1(x) =11+x. Montrons quef1est injective : soitx,x′∈Ntels quef1(x) =f1(x′). Alors
11+x=11+x′, donc 1+x=1+x′et doncx=x′. Ainsif1est injective.
Par contref1n"est pas surjective. Il s"agit de trouver un élémentyqui n"a pas d"antécédent parf1. Ici il est facile
de voir que l"on a toujoursf1(x)⩽1et donc par exempley=2n"a pas d"antécédent. Ainsif1n"est pas surjective.
2.Soitf2:Z→Ndéfinie parf2(x) =x2. Alorsf2n"est pas injective. En effet on peut trouver deux élémentsx,x′∈Z
différents tels quef2(x) =f2(x′). Il suffit de prendre par exemplex=2,x′=-2. f 2n"est pas non plus surjective, en effet il existe des élémentsy∈Nqui n"ont aucun antécédent. Par exemple
y=3: siy=3avait un antécédentxparf2, nous aurionsf2(x) =y, c"est-à-direx2=3, d"oùx=±p3. Mais
alorsxn"est pas un entier deZ. Doncy=3 n"a pas d"antécédent etf2n"est pas surjective.3.2. BijectionDéfinition 5.
festbijectivesi elle injective et surjective. Cela équivaut à : pour touty∈Fil existe un uniquex∈Etel que
y=f(x). Autrement dit :∀y∈F∃!x∈Ey=f(x)L"existence duxvient de la surjectivité et l"unicité de l"injectivité. Autrement dit, tout élément deFa un unique
antécédent parf.EFf xy EFProposition 1.
Soit E,F des ensembles et f:E→F une application. 1.L"applicationfest bijective si et seulement si il existe une applicationg:F→Etelle quef◦g=idFetg◦f=idE.
2.Sifest bijective alors l"applicationgest unique et elle aussi est bijective. L"applicationgs"appelle labijection
réciproquede f et est notée f-1. De plusf-1-1=f .Remarque. f◦g=idFse reformule ainsi ∀y∈F fg(y)=y.Alors queg◦f=idEs"écrit :
∀x∈E gf(x)=x.ENSEMBLES ET APPLICATIONS4. ENSEMBLES FINIS9
Par exemplef:R→]0,+∞[définie parf(x) =exp(x)est bijective, sa bijection réciproque estg:]0,+∞[→R
définie parg(y) =ln(y). Nous avons bienexpln(y)=y, pour touty∈]0,+∞[etlnexp(x)=x, pour tout
x∈R.Démonstration.
1.Sens⇒. Supposonsfbijective. Nous allons construire une applicationg:F→E. Commefest surjective
alors pour chaquey∈F, il existe unx∈Etel quey=f(x)et on poseg(y) =x. On afg(y)=f(x) =y,ceci pour touty∈Fet doncf◦g=idF. On compose à droite avecfdoncf◦g◦f=idF◦f. Alors pour tout
x∈Eon afg◦f(x)=f(x)orfest injective et doncg◦f(x) =x. Ainsig◦f=idE. Bilan :f◦g=idFet
g◦f=idE. Sens⇐. Supposons quegexiste et montrons quefest bijective. -fest surjective : en effet soity∈Falors on notex=g(y)∈E; on a bien :f(x) =fg(y)=f◦g(y) =
idF(y) =y, doncfest bien surjective. -festinjective : soientx,x′∈Etels quef(x) =f(x′). On compose parg(à gauche) alorsg◦f(x) =g◦f(x′)
donc idE(x) =idE(x′)doncx=x′;fest bien injective. 2.Sifest bijective alorsgest aussi bijective carg◦f=idEetf◦g=idFet on applique ce que l"on vient de
démontrer avecgà la place def. Ainsig-1=f.Sifest bijective,gest unique : en effet soith:F→Eune autre application telle queh◦f=idEetf◦h=idF;
en particulierf◦h=idF=f◦g, donc pour touty∈F,fh(y)=fg(y)orfest injective alorsh(y) =g(y),
ceci pour touty∈F; d"oùh=g.Proposition 2.quotesdbs_dbs45.pdfusesText_45[PDF] carnet de bord voyage scolaire rome
[PDF] dossier pédagogique voyage rome
[PDF] donner les valeurs de u(1) et u(4)
[PDF] calculer u1 u2 u3 u4
[PDF] carnet de voyage scolaire rome
[PDF] soit énumération
[PDF] soit virgule
[PDF] avec quelle espece chimique reagit le fer lorsqu'il rouille
[PDF] quand mettre soit ou soient
[PDF] soit adverbe
[PDF] soit conjonction
[PDF] soit soient académie française
[PDF] soit c'est ? dire
[PDF] soit quebec