[PDF] Valeurs absolues. Partie entière. Inégalités





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Développements limités

Indication pour l'exercice 2 ?. Pour la première question vous pouvez appliquer la formule de Taylor ou bien poser h = x?1 et considérer un dl au voisinage de 



Les Développements Limités

2 ) et on trouve le DL de f(x) = cos x à l'ordre 3 au point ?. 2 : cos(x) = ?(x ? Pour trouver le DL de ex en 1 on remplace h par x ? 1 ex = e(x +.



FONCTION EXPONENTIELLE

1) Relation fonctionnelle. Théorème : Pour tous réels x et y on a : Remarque : Cette formule permet de transformer une somme en produit et réciproquement.



Corrigé du TD no 11

Fonctions réelles. J. Gillibert. Corrigé du TD no 11. Exercice 1. Soient f et g deux fonctions continues R ? R. On suppose que : ?x ? Q f(x) = g(x).



Injection surjection

http://exo7.emath.fr/ficpdf/fic00003.pdf



Corrigé du TD no 9

Exercice 2. 1. Traduire par une formule mathématique (avec quantificateurs) l'affirmation lim x?0 ln(1 + x)=0. Corrigé : Par définition de la limite 



Valeurs absolues. Partie entière. Inégalités

géométrique) et 1 h. = 1. 2. (1 x. + 1 y) (moyenne harmonique). Montrer que x ? h ? g ? m ? y. Correction ?. [005146]. Exercice 2 *I Inégalité de 



TD 1 Intégrales généralisées

16 sept. 2016 converge et vaut 0. Solution : 1) Convergence. La fonction f(x) = ²1 ln x.



I Fonctions et domaines de définition II Limites

(h) Selon la valeur de ? donner le nombre de solutions de l'équation f(x) = ?. À faire. (à préparer pour la séance d'exercices) : • Exos 1.1 et 1.2 de [ 



Cours : Ensembles et applications

Calculer f ? (g ? h) et (f ? g) ? h. 4. Pour la fonction f : ? définie par x ? x2 représenter et calculer les ensembles suivants : f ([0 1[)



[PDF] FONCTION EXPONENTIELLE - maths et tiques

se lit "factorielle 5" et est égal à 1 x 2 x 3 x 4 x 5 Par cette formule il obtient une estimation de e avec 18 décimales exactes Nous devons aussi à Euler 



[PDF] FONCTIONS EXPONENTIELLES (Partie 2) - maths et tiques

Définition : Cette fonction est la fonction exponentielle de base e notée exp telle que pour tout réel x on a Le réel e est environ égal à 2718 Remarques 



[PDF] FONCTION EXPONENTIELLE

1 On sait qu'une approximation affine de exp(x 0 + h) est exp( x 0) + exp'( x 0) h Comme la fonction exponentielle est égale à sa dérivée on a : exp(x



[PDF] Les fonctions exponentielles Exercices

1 e-1 • E = e2 × e-4 • F = (e-5)2 e2 × e-6 • G = ex × e-x • H = (e3x+2)2 • I = e2x+1 × e-3x+5 • J = e-x+1 e3x-4 • K = ex-7 e2x × e3x+5 e-2x+1



[PDF] FONCTION EXPONENTIELLE 1 Définition de la fonction « exp

Définition 1 Une équation différentielle est une équation définie par une relation fonctionnelle entre une fonction y(x) et un nombre fini de ses dérivées 



[PDF] Corrigé du TD no 11

Montrer que le polynôme x3 + 2x ? 1 a une unique racine qui appartient à l'intervalle ]0 1[ Réponse : Soit f(x) = x3 + 2x ? 1 La fonction f est continue 



[PDF] Chapitre 3 Dérivabilité des fonctions réelles

Par exemple la fonction x ?? x + 1 [01] ? [01] admet un minimum en 0 et un maximum en 1 et pourtant sa dérivée ne s'annule jamais 3 4 Rolle 



[PDF] 5 Séance 5

?5 ? g(x) ? 2 Correction : 1 Pour tout nombre réel x on a ex + x e2x + 1 = ex(1 + xe?x) e2x(1 + e?2x) = e?x 1 + xe?x 1 + e?2x Or lim x?+?



[PDF] La fonction exponentielle - Lycée dAdultes

24 nov 2015 · Démonstration : Posons la fonction h(x) = exp(x + a) exp(a) Montrons alors que la fonction h n'est autre que la fonction exponentielle Il 



[PDF] Exercice B1 - XMaths - Free

Pour tout réel x on a h'(x) = 1 x ex + x x ex = (1 + x) ex On sait que la fonction exponentielle est strictement positive sur IR donc h'(x) est du signe 

  • Comment résoudre X exponentielle ?

    Pour résoudre une équation exponentielle, il faut être à l'aise avec les logarithmes. Il est important de garder en tête que av=aw a v = a w si et seulement si v=w . Donc, lorsqu'on a deux expressions qui sont égales et qu'elles ont la même base, alors les exposants sont égaux.

  • Comment calculer avec e ?

    Par exemple, si 103 = 10 x 10 x 10 = 1000 alors log(1000) = 3 et si 10x = y alors log(y) = x. Le nombre e permet de savoir pour quelle valeur le logarithme népérien est-il égal à 1. Si ln(x) = y alors x = exp(y), or exp(1) = e.

  • Quand exponentielle s'annule ?

    Démonstration : On a démontré dans le paragraphe I. que la fonction exponentielle ne s'annule jamais. Or, par définition, donc pour tout x, . Comme , la fonction exponentielle est strictement croissante.
  • Pour tout nombre réel x, exp?(x)=exp(x)>0. La fonction dérivée de la fonction exponentielle est strictement positive sur R donc la fonction exponentielle est strictement croissante sur R.
Exo7 Valeurs absolues. Partie entière. Inégalités * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

Exercice 1**I Moyennes arithmétique, géométrique et harmoniqueSoientxetydeux réels tels que 0 (moyenne arithmétique),g=pxy(moyenne géométrique) et 1h =12 (1x +1y )(moyenne harmonique). Montrer quex6h6g6m6y. qu"avec les deux opérations+et) que pourn2N,(1+1n )n<3.

Pour cela développer, puis majoreruk=Cknn

ken commençant par majorervk=uk+1u kpar12

Montrer que(a1+a2+:::+an)(1a

1+:::+1a

n)>n2(développer et penser àf(x) =x+1x j nå k=1a kbkj6nå k=1jakj:jbkj6sn k=1a2ksn k=1b2k:

(Indication. Considérer le polynômef(x) =ånk=1(ak+bkx)2, développer puis ordonner suivant les puissances

décroissantespuisutiliser, danslecasgénéral, lesconnaissancessurleseconddegré). Retrouveralorslerésultat

de l"exercice 4 inférieur ou égal à 14 1

2.Montrer que : 8(x;y)2R2;E(x)+E(y)6E(x+y).

3. Montrer que : 8(x;y)2R2;E(x)+E(y)+E(x+y)6E(2x)+E(2y). n=a0+10a1+:::+10pap;

oùpest un entier naturel et lesaisont des entiers éléments def0;:::;9g,apétant non nul. Déterminerpen

fonction den. 2. 1. Combien y a-t-il d"entiers naturels entre 1 et n? entre 1 etx? 2. Combien y a-t-il d"entiers naturels entre 0 et n? entre 0 etx? 3.

Combien y a-t-il d"entiers naturels pairs entre 0 et x? Combien y a-t-il d"entiers naturels impairs entre 0

etx? 4.

Combien y a-t-il de multiples de 3 entre 0 et x?

5. Combien l"équation x+2y=n,nentier naturel donné etxetyentiers naturels inconnus, a-t-elle de couples solutions ? 6. De combien de f açonspeut-on payer 10 euros a vecdes pièces de 10 et 20 centimes d"euros ? 7.

(***) Combien l"équation 2 x+3y=n,nentier naturel donné etxetyentiers naturels inconnus, a-t-elle

de couples solutions ? ) =E(nx)(poser la division euclidienne deE(nx)parn). (n+2E(n25 ))) =E(8n+2425 1. Montrer qu"il e xiste(an;bn)2(N)2tel que(2+p3)n=an+bnp3, puis que 3b2n=a2n1. 2. Montrer que E((2+p3)n)est un entier impair (penser à(2p3)n)). 2 ) =E(x).

Montrer quejx1+2x2+:::+nxnj6E(n24

(commencer par vérifier que pourk=2;3;:::;n, on a :(nk+1)k>n). (remarquer que six2[0;1];x26x). Correction del"exer cice1 NSoientxetydeux réels tels que 0On a déjà x=x+x2 6x+y2 =m6y+y2 =yet doncx6m6y. (on peut aussi écrire :mx=x+y2 x=yx2 >0). 2.

On a ensuite x=px:x6pxy=g6py:y=yet doncx6g6y.

3.mg=x+y2

pxy=12 ((px)22pxy+(py)2) =12 (pypx)2>0 et donc,x6g6m6y. 4.

D"après 1), la mo yennearithmétique de

1x et1y est comprise entre1x et1y , ce qui fournit1y 61h
61x
, ou encore x6h6y. 5. D"après 3), la mo yennegéométrique des deux réels 1x et1y est inférieure ou égale à leur moyenne arithmétique. Ceci fournitq1 x :1y 612
(1x +1y )ou encore1g 61h
et finalement x6h6g6m6yoù1h =12 1x +1y ,g=pxyetm=x+y2 .Remarque 1.On ah=2xyx+y, mais cette expression ne permet pas de comprendre que1h est la moyenne arithmétique de 1x et1y Remarque 2.On peut visualiser l"inégalité entre moyenne arithmétique et géométrique.

Si(ABC)est un triangle rectangle enAetA0est le pied de la hauteur issue deA, on sait queAA02=A0B:A0C.

On se sert de cette remarque pour construireget la comparer graphiquement àm. Onaccolledeuxsegmentsdelongueursrespectivesxety. Onconstruitalorsuntrianglerectangled"hypothénuse

ce segment (de longueurx+y) noté [BC], tel que le troisième sommetAait une projection orthogonaleA0sur

(BC)vérifiantBA0=xetCA0=y.x+ym g x y A

B CALa moyenne arithmétique dexetyestm=x+y2

, le rayon du cercle, et la moyenne géométrique dexetyest g=pxy=pA

0B:A0C=AA0, la hauteur issue deAdu triangle(ABC).Correction del"exer cice2 N(1+a)n= (1+a):::(1+a) =1+na+:::>1+na.Correction del"exer cice3 N4

Pourn2N,(1+1n

)n=ånk=0Cknn k. Pourk2 f0;:::;ng, posonsuk=Cknn kpuisvk=uk+1u k. Pourk2 f1;:::;n1g, on a alors v k=Ck+1n:nkC kn:nk+1=1n +n+1n(k+1) 61n
+n+12n(cark>1) 12

12n<12

Ainsi, pourk2 f1;:::;n1g,uk+1612

uket donc, immédiatement par récurrence, u k612 k1u1=12 k1nn =12 k1:

En tenant compte deu0=1, on a alors pourn2N,

(1+1n )n=nå k=0u k61+nå k=112 k1=1+112 n112 =1+2(112 n) =312 n1<3:Correction del"exer cice4 NSoientn2Neta1,a2,...,an,nréels strictement positifs. nå i=1a i! nå j=11a j!

16i;j6na

ia j=nå i=1a ia i+å

16i j+aja i) =n+å

16i j+aja i)

Pourx>0, posons alorsf(x) =x+1x

.fest dérivable sur]0;+¥[et pourx>0,f0(x) =11x

2=(x1)(x+1)x

2.f

est donc strictement décroissante sur]0;1]et strictement croissante sur[1;+¥[.fadmet ainsi un minimum en

1. Par suite,

8x>0;f(x)>f(1) =1+11

=2:

(Remarque.L"inégalité entre moyenne géométrique et arithmétique permet aussi d"obtenir le résultat :

12 (x+1x )>rx:1x =1:)

On en déduit alors que

nå i=1a inå j=11a j>n+å

16i

=n2:Correction del"exer cice5 NPourxréel, posonsf(x) =ånk=1(ak+bkx)2. On remarque que pour tout réelx,f(x)>0. En développant lesn

carrés, on obtient, f(x) =nå k=1(b2kx2+2akbkx+a2k) = (nå k=1b2k)x2+2(nå k=1a kbk)x+(nå k=1a2k):

1er cas.Siånk=1b2k6=0,fest un trinôme du second degré de signe constant surR. Son discriminant réduit est

alors négatif ou nul. Ceci fournit 5

0>D0= (nå

k=1a kbk)2(nå k=1b2k)(nå k=1a2k); et donc nå k=1a kbk 6sn k=1a2ksn k=1b2k:

2ème cas.Siånk=1b2k=0, alors tous lesbksont nuls et l"inégalité est immédiate.

Finalement, dans tous les cas,

j

ånk=1akbkj6qå

nk=1a2kqå

nk=1b2k:Cette inégalité est encore valable en remplaçant lesaket lesbkpar leurs valeurs absolues, ce qui fournit les

inégalités intermédiaires.

Retrouvons alors l"inégalité de l"exercice

4 . Puisque lesaksont strictement positifs, on peut écrire : nå i=1a i! nå i=11a i! nå i=1pa i2! nå i=1r1 a i2 nå i=1pa ir1 a i! 2

=n2:Correction del"exer cice6 NSi l"un des réelsa,boucest strictement plus grand que 1, alors l"un au moins des trois réelsa(1b),b(1c),

c(1a)est négatif (puisquea,betcsont positifs) et donc inférieur ou égal à14 Sinon, les trois réelsa,betcsont dans[0;1]. Le produit des trois réelsa(1b),b(1c)etc(1a)vaut a(1a)b(1b)c(1c): Mais, pourx2[0;1],x(1x)est positif et d"autre part,x(1x) =(x12 )2+14 614
. Par suite, a(1a)b(1b)c(1c)614 3: Il est alors impossible que les trois réelsa(1b),b(1c)etc(1a)soient strictement plus grand que14 , leur produit étant dans ce cas strictement plus grand que 14 3.

On a montré dans tous les cas que l"un au moins des trois réelsa(1b),b(1c)etc(1a)est inférieur ou

égal à

14

.Correction del"exer cice7 N1.Soit x2R. Alors,E(x)6x on a bienE(x+1) =E(x)+1. 2.

Soient (x;y)2R2. On aE(x)+E(y)6x+y. Ainsi,E(x)+E(y)est un entier relatif inférieur ou égal à

x+y. CommeE(x+y)est le plus grand entier relatif inférieur ou égal àx+y, on a doncE(x)+E(y)6

E(x+y).

Améliorons.E(x)6xSoit (x;y)2R2. Posonsk=E(x)etl=E(y).

6

1er cas.Six2[k;k+12

[ety2[l;l+12 [, alorsx+y2[k+l;k+l+1[et doncE(x+y) =k+l, puisE(x)+ E(y)+E(x+y) =k+l+k+l=2k+2l. D"autre part, 2x2[2k;2k+1[et 2y2[2l;2l+1[. Par suite,E(2x)+E(2y) =2k+2l. Dans ce cas,E(x)+E(y)+E(x+y) =E(2x)+E(2y).

2ème cas.Six2[k+12

;k+1[ety2[l;l+12 [, alorsx+y2[k+l+12 ;k+l+32 [et doncE(x+y) =k+lou k+l+1,puisE(x)+E(y)+E(x+y) =2k+2lou 2k+2l+1. D"autre part, 2x2[2k+1;2k+2[ et 2y2[2l;2l+1[. Par suite,E(2x)+E(2y) =2k+2l+1. Dans ce cas,E(x)+E(y)+E(x+y)6

E(2x)+E(2y).

3ème cas.Six2[k;k+12

[ety2[l+12 ;l+1[, on a de mêmeE(x)+E(y)+E(x+y)6E(2x)+E(2y).

4ème cas.Six2[k+12

;k+1[ety2[l+12 ;l+1[, on aE(x)+E(y)+E(x+y) =2k+2l+2=E(2x)+E(2y).

Finalement, on a dans tous les casE(x)+E(y)+E(x+y)6E(2x)+E(2y).Correction del"exer cice8 Npest déterminé par l"encadrement : 10p6n<10p+1qui s"écrit encorep6lnnln10

p=E(log10(n)):Le nombre de chiffres d"un entiernen base 10 est doncE(log10(n))+1.Correction del"exer cice9 NSoientx2Retn2N. Pour 16k6n, on a

kx1En sommant ces inégalités, on obtient

E(x)+E(2x)+:::+E(nx)n

26x+2x+:::+nxn

2=n(n+1)x2n2=(n+1)x2n;

et aussi,

E(x)+E(2x)+:::+E(nx)n

2>(x1)+(2x1)+:::+(nx1)n

2=n(n+1)x=2nn

2=(n+1)x2n1n

Finalement, pour tout naturel non nul,

(n+1)x2n1n 26(n+1)x2n:

Les deux membres extrêmes de cet encadrement tendent vers x2 quandntend vers+¥. D"après le théorème des gendarmes, on peut affirmer que

8x2R;limn!+¥E(x)+E(2x)+:::+E(nx)n

2=x2

:Correction del"exer cice10 N1.P ardéfinition d"un entier ,il y a nentiers entre 1 etn. Ensuite, pour tout entier naturelk, on a

16k6x,16k6E(x):

Il y a doncE(x)entiers entre 1 etx.

7

2.Il y a n+1 entiers entre 0 etnetE(x)+1 entiers entre 0 etx.

3. Les entiers naturels pairs sont les entiers de la forme 2 k,k2N. Or,

062k6x,06k6x2

Le nombre des entiers pairs compris entre 0 etxest encore le nombre des entierskcompris au sens large

entre 0 et x2 . D"après 2), il y aE(x2 )+1 entiers pairs entre 0 etx. De même, il y aE(x3 )+1 multiples de

3 entre 0 etx.

De même,

062k+16x, 12

quotesdbs_dbs45.pdfusesText_45
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