[PDF] Corrigé du TD no 9 Exercice 2. 1. Traduire par





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Développements limités

Indication pour l'exercice 2 ?. Pour la première question vous pouvez appliquer la formule de Taylor ou bien poser h = x?1 et considérer un dl au voisinage de 



Les Développements Limités

2 ) et on trouve le DL de f(x) = cos x à l'ordre 3 au point ?. 2 : cos(x) = ?(x ? Pour trouver le DL de ex en 1 on remplace h par x ? 1 ex = e(x +.



FONCTION EXPONENTIELLE

1) Relation fonctionnelle. Théorème : Pour tous réels x et y on a : Remarque : Cette formule permet de transformer une somme en produit et réciproquement.



Corrigé du TD no 11

Fonctions réelles. J. Gillibert. Corrigé du TD no 11. Exercice 1. Soient f et g deux fonctions continues R ? R. On suppose que : ?x ? Q f(x) = g(x).



Injection surjection

http://exo7.emath.fr/ficpdf/fic00003.pdf



Corrigé du TD no 9

Exercice 2. 1. Traduire par une formule mathématique (avec quantificateurs) l'affirmation lim x?0 ln(1 + x)=0. Corrigé : Par définition de la limite 



Valeurs absolues. Partie entière. Inégalités

géométrique) et 1 h. = 1. 2. (1 x. + 1 y) (moyenne harmonique). Montrer que x ? h ? g ? m ? y. Correction ?. [005146]. Exercice 2 *I Inégalité de 



TD 1 Intégrales généralisées

16 sept. 2016 converge et vaut 0. Solution : 1) Convergence. La fonction f(x) = ²1 ln x.



I Fonctions et domaines de définition II Limites

(h) Selon la valeur de ? donner le nombre de solutions de l'équation f(x) = ?. À faire. (à préparer pour la séance d'exercices) : • Exos 1.1 et 1.2 de [ 



Cours : Ensembles et applications

Calculer f ? (g ? h) et (f ? g) ? h. 4. Pour la fonction f : ? définie par x ? x2 représenter et calculer les ensembles suivants : f ([0 1[)



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se lit "factorielle 5" et est égal à 1 x 2 x 3 x 4 x 5 Par cette formule il obtient une estimation de e avec 18 décimales exactes Nous devons aussi à Euler 



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Définition : Cette fonction est la fonction exponentielle de base e notée exp telle que pour tout réel x on a Le réel e est environ égal à 2718 Remarques 



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1 On sait qu'une approximation affine de exp(x 0 + h) est exp( x 0) + exp'( x 0) h Comme la fonction exponentielle est égale à sa dérivée on a : exp(x



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1 e-1 • E = e2 × e-4 • F = (e-5)2 e2 × e-6 • G = ex × e-x • H = (e3x+2)2 • I = e2x+1 × e-3x+5 • J = e-x+1 e3x-4 • K = ex-7 e2x × e3x+5 e-2x+1



[PDF] FONCTION EXPONENTIELLE 1 Définition de la fonction « exp

Définition 1 Une équation différentielle est une équation définie par une relation fonctionnelle entre une fonction y(x) et un nombre fini de ses dérivées 



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Montrer que le polynôme x3 + 2x ? 1 a une unique racine qui appartient à l'intervalle ]0 1[ Réponse : Soit f(x) = x3 + 2x ? 1 La fonction f est continue 



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Par exemple la fonction x ?? x + 1 [01] ? [01] admet un minimum en 0 et un maximum en 1 et pourtant sa dérivée ne s'annule jamais 3 4 Rolle 



[PDF] 5 Séance 5

?5 ? g(x) ? 2 Correction : 1 Pour tout nombre réel x on a ex + x e2x + 1 = ex(1 + xe?x) e2x(1 + e?2x) = e?x 1 + xe?x 1 + e?2x Or lim x?+?



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24 nov 2015 · Démonstration : Posons la fonction h(x) = exp(x + a) exp(a) Montrons alors que la fonction h n'est autre que la fonction exponentielle Il 



[PDF] Exercice B1 - XMaths - Free

Pour tout réel x on a h'(x) = 1 x ex + x x ex = (1 + x) ex On sait que la fonction exponentielle est strictement positive sur IR donc h'(x) est du signe 

  • Comment résoudre X exponentielle ?

    Pour résoudre une équation exponentielle, il faut être à l'aise avec les logarithmes. Il est important de garder en tête que av=aw a v = a w si et seulement si v=w . Donc, lorsqu'on a deux expressions qui sont égales et qu'elles ont la même base, alors les exposants sont égaux.

  • Comment calculer avec e ?

    Par exemple, si 103 = 10 x 10 x 10 = 1000 alors log(1000) = 3 et si 10x = y alors log(y) = x. Le nombre e permet de savoir pour quelle valeur le logarithme népérien est-il égal à 1. Si ln(x) = y alors x = exp(y), or exp(1) = e.

  • Quand exponentielle s'annule ?

    Démonstration : On a démontré dans le paragraphe I. que la fonction exponentielle ne s'annule jamais. Or, par définition, donc pour tout x, . Comme , la fonction exponentielle est strictement croissante.
  • Pour tout nombre réel x, exp?(x)=exp(x)>0. La fonction dérivée de la fonction exponentielle est strictement positive sur R donc la fonction exponentielle est strictement croissante sur R.

CPP - 2013/2014 Fonctions réelles

J. Gillibert

Corrigé du TD n

o9Exercice 1

1. Montrer, à partir de la définition donnée en cours, que :

lim x→0x2= 0

Corrigé :D"après la définition, l"énoncé "limx→0x2= 0» se traduit de la façon suivante :

On souhaite montrer que cet énoncé est vrai, c"est-à-dire que, étant donné un réelε >0, il existe

de prendreδ=⎷ε, d"où le résultat.

2. Même question pour :

lim x→1? 1 +1x = 2 Corrigé :Comme précédemment, l"énoncé se traduit de la façon suivante : 1 +1x

Pour voir que cet énoncé est vrai, il faut montrer que, pour tout? >0, il existeδ >0satisfaisant

l"implication pour tout réelx?R?. Autrement dit, il faut traduire la condition|1x |x-1|. Pour cela, on procède par équivalences successives. Tout d"abord : ????1x

Pour simplifier, on peut supposer que1-ε >0, c"est-à-dire queε?]0,1[. En effet, si l"on peut

rendre|1x -1|plus petit que toute quantitéε?]0,1[, alors on peut aussi le rendre plus petit que

toute quantitéε≥1. De façon plus générale, on peut se restreindre à des valeurs suffisamment

petites deεquand on manipule la définition de limite d"une fonction en un point. Revenons à nos

moutons : si l"on suppose que1-ε >0, alors

Donc, si l"on poseδ= min(ε1+ε,ε1-ε) =ε1+ε(la plus petite des deux quantités en valeur absolue),

1

Exercice 2

1. Traduire par une formule mathématique (avec quantificateurs) l"affirmation

lim x→0ln(1 +x) = 0 Corrigé :Par définition de la limite, l"affirmation se traduit par

2. Déterminer un réelδ >0tel que

surx. Nous avons

Soitδ= min(e10-3-1,1-e-10-3). Alorsδsatisfait bien la propriété voulue. Pour ceux qui sont

curieux de connaître la valeur exacte deδ, on peut faire le raisonnement suivant : l"analyse des

variations de la fonctiont?→et+e-tmontre que celle-ci atteint son minimum en0, donc ce minimum est égal à2. En particuliere10-3+e-10-3≥2. On en déduit queδ= 1-e-10-3.

Exercice 3

a) Nous avons, pour toutx?R, la majoration suivante ????xcos(ex)x 2+ 1? 2+ 1?

D"autre part

xx

2+ 1=1x+1x

donc cette quantité tend vers0quandxtend vers+∞. On en déduit que : lim x→+∞xcos(ex)x

2+ 1= 0.

b) Commesinxest borné,x-sinxtend vers+∞quandxtend vers+∞. On en déduit que lim x→+∞ex-sinx= +∞ c) Pourx >1, la partie entière de1x est nulle. Par conséquent pour toutx >1,x?1x = 0.

Donc la limite cherchée vaut0.

d) Nous avons : sin(xlnx)x =sin(xlnx)xlnxlnx Six→0, alorsxlnx→0. Donc par composition des limites on a : lim x→0sin(xlnx)xlnx= limy→0sinyy = 1

On en déduit que :

lim x→0sin(xlnx)x 2

Exercice 4

Soitf:R→Rla fonction définie par

f(x) =? ?xsix <1 x

8⎷xsix >4

1. L"allure du graphe defa été vue en TD!

2. On note d"abord quefest continue sur l"intervalle]-∞,1[, car elle est égale sur cet intervalle à la

fonctionx?→x. De même, la fonctionfest continue sur les intervalles]1,4[et]4,+∞[car elle est

égale à des fonctions continues sur chacun de ces intervalles. Il reste à étudier la continuité defen

1et en4. En1nous avons :

limx→1x<1f(x) = limx→1x<1x= 1 et limx→1x>1f(x) = limx→1x>1x 2= 1

donc les limites à droite et à gauche defen1sont égales àf(1), ce qui montre quefest continue

en1. On montre de même quefest continue en4. On en conclut quefest continue surR.

Exercice 5

1. La fonctionf:x?→x?x?n"est pas continue. En effet,f(x) = 0pour toutx?[0,1[, d"où :

lim x→1x<1f(x) = 0 et d"autre partf(1) = 1, donc la limite à gauche defen1n"est pas égale àf(1), ce qui montre quefn"est pas continue en1.

2. Nous allons montrer que la fonctiong:x?→ ?x?sin(πx)est continue surR. On note d"abord queg

est continue sur chacun des intervalles de la forme]n,n+ 1[avecn?Z. Il reste à montrer queg est continue en chaque entier relatif. Soitn?Z, alors lim x→nxng(x) =n·0 = 0

etg(n) =nsin(nπ) = 0. Doncga des limites à droite et à gauche ennqui sont égales àg(n), ce

qui montre quegest continue enn.

Exercice 6

On considère la fonctionfdéfinie surRparf(x) =xsinx.

1. Pour toutn?N, on posexn=π2

+ 2nπ. Alors la suite(xn)tend vers+∞, etsin(xn) = 1pour toutn, donc f(xn) =xnsin(xn) =xn doncf(xn)tend vers+∞.

2. Pour toutn?N, on poseyn= 2nπ. Alors la suite(yn)tend vers+∞, etsin(yn) = 0pour toutn,

donc f(yn) =ynsin(yn) = 0 doncf(yn)tend vers0.

3. Si la fonctionfavait une limite en+∞, alors (d"après le critère séquentiel) les suitesf(xn)etf(yn)

tendraient toutes les deux vers cette limite. Orf(xn)etf(yn)n"ont pas la même limite, doncfn"a pas de limite en+∞. 3

Exercice 7

On définit deux suites(un)n≥1et(vn)n≥1en posant : u n=12nπetvn=1π 2 + 2nπ. Ces deux suites tendent vers0quandntend vers+∞. De plus cos ?1u n? = cos(2nπ) = 1etcos?1v n? = cos?π2 + 2nπ? = 0

Par un raisonnement semblable à celui de l"exercice précédent, on en déduit que la fonctionx?→cos?1x

n"admet pas de limite en0.

Exercice 8

a) D"après le cours, la fonctionf1est prolongeable par continuité en0si et seulement si elle a une

limite finie en0. Or nous avons la majoration : Commesinxtend vers0quandxtend vers0, il en résulte quef1tend vers0en0. Donc on peut prolongerf1par continuité en0en posant :f1(0) = 0. b) Soitg:R→Rla fonction définie par g(x) = lnex+e-x2 Alorsgest dérivable surR, etg(0) = 0. La fonctionf2s"écrit f

2(x) =g(x)x

=g(x)-g(0)x On reconnaît le taux d"accroissement degentre0etx. Par conséquent,f2admet une limite finie en0, égale àg?(0). Calculons doncg?surR g ?(x) =? lnex+e-x2 =e x-e-x2 e x+e-x2 =ex-e-xe x+e-x Doncg?(0) = 0. Ainsi, en posantf2(0) = 0nous obtenons une fonctionf2continue surR. c) La fonctionf3est définie et continue surR\ {-1,1}. De plus, on calcule que : f

3(x) =11-x-21-x2=1 +x-2(1-x)(1 +x)=-1 +x(1-x)(1 +x)=-1(1 +x).

On en déduit quef3a pour limite-12

quandxtend vers1. Et donc en posantf3(1) =-12 nous obtenons une fonction continue surR\ {-1}. Par contre, en-1la fonctionf3ne peut pas

être prolongée par continuité, car elle n"admet pas une limite finie en ce point. Doncf3n"est pas

prolongeable par continuité surR.

Exercice 9

Soit f(x) =cosx1 +x2

1. Nous avons

????cosx1 +x2? car|cosx|est majoré par1et1 +x2est minoré par1. 4

2. Comme la fonctionfest majorée par1, on sait queSupx?Rf(x)est inférieur ou égal à1. D"autre

part on constate quef(0) = 1, donc1est à la fois un majorant et une valeur de la fonctionf. Par conséquent,Supx?Rf(x) = 1.

Exercice 10

Soitf:R→Rune fonction périodique de périodeT >0. On suppose quefadmet une limite finie (que

nous noterons?) quandxtend vers+∞. Nous allons montrer quefest constante. Soitx0?R, alors la suitex0+nTtend vers+∞, donc la suitef(x0+nT)converge vers?. D"autre part, on montre par récurrence que : f(x0+nT) =f(x0)pour toutn?N

c"est-à-dire que la suitef(x0+nT)est constante égale àf(x0). Doncf(x0) =?. Comme ce raisonnement

est valable pour n"importe quelle valeur dex0, on en déduit quefest constante égale à?.

Exercice 11

La fonctionf(x)-xétant bornée sur[x0,+∞[, il existe un réelMtel que

En divisant parxon trouve

?x≥x0,????f(x)x

Quand on fait tendrexvers+∞,Mx

tend vers0, donc|f(x)x -1|tend lui aussi vers0, d"où : lim x→+∞f(x)x = 1.

Exercice 12

1. On considère la fonctionfdonnée par

f(x) =? ⎷1-x2si|x|<1 ax

2+bx+csi|x| ≥1

Cette fonction est continue sur l"intervalle]-1,1[car elle est égale à la fonctionx?→⎷1-x2sur

cet intervalle. De même, elle est continue sur les intervalles]- ∞,-1[et]1,+∞[car elle est égale

à la fonctionx?→ax2+bx+csur ces intervalles. On en déduit quefest continue surRsi et seulement si elle est continue en-1et en1. Calculons les limites à droite et à gauche defen-1: lim x→-1x<-1f(x) = limx→-1x<-1ax

2+bx+c=a-b+c=f(-1)

et limx→-1x>-1f(x) = limx→-1x>-1?1-x2= 0 Doncfest continue en-1si et seulement sia-b+c= 0. Par un calcul semblable, on trouve que fest continue en1si et seulement sia+b+c= 0. Au final, pour quefsoit continue il faut que a,betcsoient solution du système?a-b+c= 0 a+b+c= 0 Finalement, on se demande si ce système admet des solutions. En additionnant les deux équation on trouve quea+c= 0, en les soustrayant on trouve queb= 0. Donc ce système admet une infinité de solutions en prenantb= 0eta=-c. 5

2. Soitn?N. D"après la formule du binôme de Newton nous avons :

(1 +x)n= 1 +nx+?n 2? x

2+···+nxn-1+xn

d"où : (1 +x)n-1x =n+?n 2? x+···+nxn-2+xn-1 Cette quantité tend versnquandxtend vers0. Donc on peut prolongerfpar continuité en0en posantf(0) =n.

Exercice 13

Soit?la limite (finie) defenx0. Prenonsε= 1dans la définition de la limite. Alors il existeδ >0tel

que, pour toutx?D:

C"est-à-dire que

Doncfest bornée dans le voisinageV= [x0-δ,x0+δ]dex0, ce qu"on voulait.

Exercice 14

1. Il suffit de montrer que tout intervalle de la forme]a,b[contient une infinité de rationnels et une

infinité d"irrationnels. Commençons par remarquer que : - la somme de deux nombres rationnels est un nombre rationnel; - la somme d"un nombre rationnel et d"un nombre irrationnel est un nombre irrationnel.

On distingue à présent deux cas :

(a) Le réelaest rationnel. Alors la suite?a+1n n≥1est une suite de nombres rationnels qui décroît

versa. L"intervalle]a,b[contient donc une infinité de valeurs de cette suite (plus précisément,

toutes les valeurs telles quensoit strictement supérieur à la partie entière de1b-a). De même,

la suite? a+⎷2 n n≥1est une suite de nombres irrationnels qui décroît versa, donc l"intervalle ]a,b[contient une infinité de valeurs de cette suite. (b) Le réelaest irrationnel. Il suffit alors de montrer l"existence d"un nombre rationnelcdans

l"intervalle]a,b[, puis d"appliquer le résultat précédent à l"intervalle]c,b[. Pour montrer l"exis-

tence dec, on procède comme suit : sib-a >1, alors il existe un nombre entier strictement compris entreaetb, donc c"est gagné. Dans le cas contraire, commeb-aest strictement positif, on peut toujours choisir un entierq≥2tel queq(b-a)>1. Mais alors il existe un nombre entier (que l"on notep) strictement compris entreqaetqb. Il en résulte quequotesdbs_dbs45.pdfusesText_45
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