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Nous allons dans ce chapitre essayer de décrire la mécanique du solide dans certains cas simples en particulier la rotation d'un solide autour d'un axe fixe (
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Qu'est-ce qu'un solide en rotation ? Un solide est en rotation autour d'un axe fixe si tous les points du solide ont même vitesse angulaire Un rotor mobile
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Lorsqu'un corps est en rotation autour d'un axe fixe tous ses points (sauf les points constituant l'axe de rotation) sont animés de mouvements circulaires
Quand Dit-on qu'un solide est en rotation autour d'un axe fixe ?
Un solide indéformable poss? un mouvement de rotation autour d'un axe fixe si le mouvement de chacun de ses points est circulaire centré sur cet axe et la trajectoire de ces points mobiles appartient au plan orthogonal avec l'axe de rotation.Comment provoquer la rotation d'un solide autour d'un axe ?
Le moment d'une force par rapport à son axe de rotation s'exprime par M?( ) = F × d, donc plus la longueur d du bras de levier est grande et plus le moment de la force sera élevé. La force aura ainsi une plus grande efficacité pour faire tourner le solide autour de son axe de rotation.Quand utiliser le PFD ?
Le PFD est appliqué uniquement lorsqu'un solide est en rotation autour d'un axe fixe. L'axe de rotation passe par le centre de gravité du solide qui se trouve sur cet axe.- Un solide est en rotation si la trajectoire de tous ses points sont des cercles dont les centres sont sur une même droite ; cette droite est appelée « axe de rotation », et habituellement notée ?.
Leçon 4 25
Leçon n°4 : Mouvement d'un solide autour d'un axe fixe. Equilibrage statique et dynamique. Exemples. (1 er CU)Introduction
1. Solide en rotation autour d'un axe fixe
1.1. Réalisation pratique
1.2. Equations du mouvement
1.3. Liaison parfaite
1.4. Exemple : Le pendule pesant
1.5. Autres exemples
2. Equilibre statique et dynamique
2.1. Equilibrage statique
2.2. Equilibrage dynamique
2.3. Exemple : Equilibrage statique et dynamique d'une roue de voiture
Conclusion
Introduction
Dans cette leçon nous appliquons le théorème de la résultante cinétique (TRC) et le théorème du
moment cinétique (TMC) à un solide S en rotation autour d'un axe fixe, dans un référentiel galiléen.
Les relations obtenues, écrites dans un référentiel fixe par rapport au solide S, mettent en évidence
des actions de contact du solide sur son support, dépendantes du mouvement du solide et pouvantêtre très importantes.
Afin d'éviter une usure prématurée des contacts de la liaison, nous verrons comment équilibrer le
solide en rotation1. Solide en rotation autour d'un axe fixe
1.1. Réalisation pratique
Considérons un solide S de masse m, en rotation autour d'un axe fixe Oz dans un référentiel galiléen
R = Oxyz. Ce solide n'a qu'un seul degré de liberté angulaire. La liaison permettant cette rotation est
une liaison pivot. Elle peut être réalisée en utilisant différents types de contact : !"Deux contacts ponctuels sur l'axe Oz, principalement en horlogerie. !"Deux roulements à billes. !"Deux rotules. !"Contact par coussin d'air ou coin d'huile. !"Contact à couteau, pour les balances.1.2. Equations du mouvement
Le référentiel tournant R' = Ox'y'z est fixe par rapport au solide S et l'angle θ entre les axes Ox et Ox' repère la position de S. On note CCO [, ]RM et O [, ]RM les torseurs au point O des forces de contact et des autres forces agissant sur S, et la distance à l'axeOz du centre de masse C ; HC = a.
!"Appliquons le TRC à S, dans le référentiel galiléen R : CCR m=+aRR. C H Oθ x
x' y y' z S a26 leçon 4
Or2222CR R R
(d dt ) (d dt )==aOC HC et en projection sur les axes Ox', Oy', et Oz du repère R', leTRC s'écrit :
2Cx' x'
Cy' y'
Czz ma R R ma R R0R R-θ=+
!"Appliquons le TMC à S, dans le référentiel galiléen R : COOO R d dt()=+()()σσσσMM.
Or OO [I]=σωσωσωσω où O [I] est la matrice d'inertie en O et ω=θ! la vitesse de rotation de S suivant l'axe Oz.Dans le référentiel tournant R',
O [I] s'écrit :Ox' x'y' x'z
Oy'x'Oy'y'z
zx' zy' Oz III [I] I I I III?? Les moments d'inertie de S par rapport aux axes Ox', Oy' et Oz sont constants et ont pour expressions : 22Ox'I(y'z)d=+
22Oy'I(zx')d=+
et 22OzI(x'y')d=+
ainsi que les produits d'inertie : x'y'Ix'y'd=
y'zIy'zd=
et zx'Izx'd=
On en déduit les composantes du moment cinétique Oσσσσ exprimées dans R' :
x'z Oy'z Oz I II-θ
La matrice d'inertie étant constante dans R', le calcul de la dérivée du moment cinétique
Oσσσσ dans R'
ne fait intervenir que les dérivées de la vitesse angulaire. En utilisant la relation de dérivation d'un
vecteur dans un référentiel mobile : OOO RR' dd dt dt()()=+?()()()()σσ on obtient les composantes de la dérivée du moment cinétique OR (d dt)σσσσdans R'. Finalement, en projection sur les axes Ox', Oy' et Oz de R', le TMC s'écrit :2Cx'z y'z Ox' Ox'
2Cy'z x'z Oy' Oy'
COz Oz Oz
II III-θ+θ= +
!!MM MM MMLeçon 4 27
Nous avons obtenu six équations par application du TRC et du TMC. Mais les inconnues sont au nombre de sept ; Six pour le torseur des forces de contact CCO [, ]RM et une pour l'angle de rotation θ.Il faut donc une équation supplémentaire pour résoudre le problème. C'est l'hypothèse d'une liaison
parfaite qui va nous la fournir.1.3. Liaison parfaite
Le travail des forces de contact, non conservatives, est :CCNC O O
Wdtdtδ=? +?vRωωωωM.
Si la liaison entre le solide et son support est parfaite, NCW0δ=. Au point O de l'axe de rotation 0z,
O =v0 et donc CO0?=ωωωωM. On en déduit une septième équation :
COz 0=M. Suivant l'axe Oz, le TMC fournit alors l'équation du mouvement : Oz OzIθ=!!M.
Cette équation s'obtient également à partir du théorème de l'énergie cinétique, pour un système
conservatif , C dE W=δ avec :2CCOz Oz
dE1EI I2dt=θ? =θθ!!!! et Oz W dtδ=θ!M.D'où :
Oz OzIθ=!!M.
1.4. Exemple : Le pendule pesant
1.4.1. Le pendule non amorti
Le solide S de masse m, est en rotation autour de l'axe horizontal fixe Oz. Il est soumis à la pesanteur et aux forces de contact dues à réactions du support sur l'axe de rotation. Si l'on considère la liaison parfaite le moment des forces de contact est nulle ; COz0=M, et d'après la figure :
Oz mgasin=- θM. L'équation du mouvement s'écrit : OzImgasin0θ+ θ=!!.
L'énergie cinétique est
2COzE(12)I=θ! et l'énergie
potentielle PEmga(1cos)=-θ en prenant
PE0= pour
0θ=. D'autre part, la conservation de l'énergie permet
d'écrire :CMECAP
EE E=-.
Les différents mouvements du pendule s'observent sur la figure ci-contre. !"Si MECAE2mga>, le pendule effectue un nombre de
tour illimité, le mouvement est révolutif. !"Si MECA0 E 2mga<<, le pendule oscille autour de
l'angle 0θ=.Dans le cas particulier où
MECA0 E 2mga<", les
oscillations ont de faibles amplitudes et sinθ≈θ.L'oscillateur est harmonique de période :
y' y x x' z C m g θO a P E MECA E 0 0 0 -θπ -π 2mga28 leçon 4
Oz 0IT2mga=π.
On dit qu'il y a isochronisme des petites oscillations car la période ne dépend pas de l'amplitude des
oscillations.Envisageons maintenant le cas où l'amplitude des oscillations est importante. On lâche le pendule
sans vitesse initiale d'une position repéré par l'angle 0 θ. La période des oscillations se calcule à partir de l'intégrale première de l'énergie : 2 Oz 01dImga(coscos)2dtθ
En intégrant sur un quart de période, entre 0 et 0 θ, on obtient l'expression de la période T : 0 0 0 02TdTcos cos
et en utilisant les développements limités : 200TT116
Il n'y a plus isochronisme des oscillations.
!"Si MECAE0<, le mouvement est impossible.
On peut également représenter le portrait des phases de ce pendule non amorti :1.4.2. Le pendule amorti
Si le pendule est amorti par des forces de frottement visqueux, dues à la résistance de l'air par
exemple, le momentquotesdbs_dbs45.pdfusesText_45[PDF] les différents types de codification
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