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  • Comment provoquer la rotation d'un solide autour d'un axe ?

    Le moment d'une force par rapport à son axe de rotation s'exprime par M?( ) = F × d, donc plus la longueur d du bras de levier est grande et plus le moment de la force sera élevé. La force aura ainsi une plus grande efficacité pour faire tourner le solide autour de son axe de rotation.
  • Quand utiliser le PFD ?

    Le PFD est appliqué uniquement lorsqu'un solide est en rotation autour d'un axe fixe. L'axe de rotation passe par le centre de gravité du solide qui se trouve sur cet axe.
  • Un solide est en rotation si la trajectoire de tous ses points sont des cercles dont les centres sont sur une même droite ; cette droite est appelée « axe de rotation », et habituellement notée ?.

Leçon 4 25

Leçon n°4 : Mouvement d'un solide autour d'un axe fixe. Equilibrage statique et dynamique. Exemples. (1 er CU)

Introduction

1. Solide en rotation autour d'un axe fixe

1.1. Réalisation pratique

1.2. Equations du mouvement

1.3. Liaison parfaite

1.4. Exemple : Le pendule pesant

1.5. Autres exemples

2. Equilibre statique et dynamique

2.1. Equilibrage statique

2.2. Equilibrage dynamique

2.3. Exemple : Equilibrage statique et dynamique d'une roue de voiture

Conclusion

Introduction

Dans cette leçon nous appliquons le théorème de la résultante cinétique (TRC) et le théorème du

moment cinétique (TMC) à un solide S en rotation autour d'un axe fixe, dans un référentiel galiléen.

Les relations obtenues, écrites dans un référentiel fixe par rapport au solide S, mettent en évidence

des actions de contact du solide sur son support, dépendantes du mouvement du solide et pouvant

être très importantes.

Afin d'éviter une usure prématurée des contacts de la liaison, nous verrons comment équilibrer le

solide en rotation

1. Solide en rotation autour d'un axe fixe

1.1. Réalisation pratique

Considérons un solide S de masse m, en rotation autour d'un axe fixe Oz dans un référentiel galiléen

R = Oxyz. Ce solide n'a qu'un seul degré de liberté angulaire. La liaison permettant cette rotation est

une liaison pivot. Elle peut être réalisée en utilisant différents types de contact : !"Deux contacts ponctuels sur l'axe Oz, principalement en horlogerie. !"Deux roulements à billes. !"Deux rotules. !"Contact par coussin d'air ou coin d'huile. !"Contact à couteau, pour les balances.

1.2. Equations du mouvement

Le référentiel tournant R' = Ox'y'z est fixe par rapport au solide S et l'angle θ entre les axes Ox et Ox' repère la position de S. On note CCO [, ]RM et O [, ]RM les torseurs au point O des forces de contact et des autres forces agissant sur S, et la distance à l'axe

Oz du centre de masse C ; HC = a.

!"Appliquons le TRC à S, dans le référentiel galiléen R : CCR m=+aRR. C H O

θ x

x' y y' z S a

26 leçon 4

Or

2222CR R R

(d dt ) (d dt )==aOC HC et en projection sur les axes Ox', Oy', et Oz du repère R', le

TRC s'écrit :

2Cx' x'

Cy' y'

Czz ma R R ma R R

0R R-θ=+

!"Appliquons le TMC à S, dans le référentiel galiléen R : COOO R d dt()=+()()σ

σσσMM.

Or OO [I]=σωσωσωσω où O [I] est la matrice d'inertie en O et ω=θ! la vitesse de rotation de S suivant l'axe Oz.

Dans le référentiel tournant R',

O [I] s'écrit :

Ox' x'y' x'z

Oy'x'Oy'y'z

zx' zy' Oz III [I] I I I III?? Les moments d'inertie de S par rapport aux axes Ox', Oy' et Oz sont constants et ont pour expressions : 22Ox'

I(y'z)d=+

22Oy'

I(zx')d=+

et 22Oz

I(x'y')d=+

ainsi que les produits d'inertie : x'y'

Ix'y'd=

y'z

Iy'zd=

et zx'

Izx'd=

On en déduit les composantes du moment cinétique O

σσσσ exprimées dans R' :

x'z Oy'z Oz I I

I-θ

La matrice d'inertie étant constante dans R', le calcul de la dérivée du moment cinétique

O

σσσσ dans R'

ne fait intervenir que les dérivées de la vitesse angulaire. En utilisant la relation de dérivation d'un

vecteur dans un référentiel mobile : OOO RR' dd dt dt()()=+?()()()()σσ on obtient les composantes de la dérivée du moment cinétique OR (d dt)σσσσdans R'. Finalement, en projection sur les axes Ox', Oy' et Oz de R', le TMC s'écrit :

2Cx'z y'z Ox' Ox'

2Cy'z x'z Oy' Oy'

COz Oz Oz

II II

I-θ+θ= +

!!MM MM MM

Leçon 4 27

Nous avons obtenu six équations par application du TRC et du TMC. Mais les inconnues sont au nombre de sept ; Six pour le torseur des forces de contact CCO [, ]RM et une pour l'angle de rotation θ.

Il faut donc une équation supplémentaire pour résoudre le problème. C'est l'hypothèse d'une liaison

parfaite qui va nous la fournir.

1.3. Liaison parfaite

Le travail des forces de contact, non conservatives, est :

CCNC O O

Wdtdtδ=? +?vRωωωωM.

Si la liaison entre le solide et son support est parfaite, NC

W0δ=. Au point O de l'axe de rotation 0z,

O =v0 et donc CO

0?=ωωωωM. On en déduit une septième équation :

COz 0=M. Suivant l'axe Oz, le TMC fournit alors l'équation du mouvement : Oz Oz

Iθ=!!M.

Cette équation s'obtient également à partir du théorème de l'énergie cinétique, pour un système

conservatif , C dE W=δ avec :

2CCOz Oz

dE1EI I2dt=θ? =θθ!!!! et Oz W dtδ=θ!M.

D'où :

Oz Oz

Iθ=!!M.

1.4. Exemple : Le pendule pesant

1.4.1. Le pendule non amorti

Le solide S de masse m, est en rotation autour de l'axe horizontal fixe Oz. Il est soumis à la pesanteur et aux forces de contact dues à réactions du support sur l'axe de rotation. Si l'on considère la liaison parfaite le moment des forces de contact est nulle ; COz

0=M, et d'après la figure :

Oz mgasin=- θM. L'équation du mouvement s'écrit : Oz

Imgasin0θ+ θ=!!.

L'énergie cinétique est

2COz

E(12)I=θ! et l'énergie

potentielle P

Emga(1cos)=-θ en prenant

P

E0= pour

0θ=. D'autre part, la conservation de l'énergie permet

d'écrire :

CMECAP

EE E=-.

Les différents mouvements du pendule s'observent sur la figure ci-contre. !"Si MECA

E2mga>, le pendule effectue un nombre de

tour illimité, le mouvement est révolutif. !"Si MECA

0 E 2mga<<, le pendule oscille autour de

l'angle 0θ=.

Dans le cas particulier où

MECA

0 E 2mga<", les

oscillations ont de faibles amplitudes et sinθ≈θ.

L'oscillateur est harmonique de période :

y' y x x' z C m g θO a P E MECA E 0 0 0 -θπ -π 2mga

28 leçon 4

Oz 0

IT2mga=π.

On dit qu'il y a isochronisme des petites oscillations car la période ne dépend pas de l'amplitude des

oscillations.

Envisageons maintenant le cas où l'amplitude des oscillations est importante. On lâche le pendule

sans vitesse initiale d'une position repéré par l'angle 0 θ. La période des oscillations se calcule à partir de l'intégrale première de l'énergie : 2 Oz 0

1dImga(coscos)2dtθ

En intégrant sur un quart de période, entre 0 et 0 θ, on obtient l'expression de la période T : 0 0 0 0

2TdTcos cos

et en utilisant les développements limités : 200
TT116

Il n'y a plus isochronisme des oscillations.

!"Si MECA

E0<, le mouvement est impossible.

On peut également représenter le portrait des phases de ce pendule non amorti :

1.4.2. Le pendule amorti

Si le pendule est amorti par des forces de frottement visqueux, dues à la résistance de l'air par

exemple, le momentquotesdbs_dbs45.pdfusesText_45
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