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Chapitre XI

SOLIDE EN ROTATION

AUTOUR D"UN AXE FIXE.

Jo¨el SORNETTE vous prie de ne pas utiliser son cours `a des fins professionnelles ou commerciales sans autorisation.

On m`ene de front dans ce chapitre et le suivant les r´evisions sur la m´ecanique des syst`emes et l"´etude du cas particulier des solides. Ce premier chapitre se place dans le cas le plus simple : celui o`u le solide tourne autour d"un axe fixe.

XI-1 Postulat d"additivit´e.

Soit un point mat´erielAsoumis `a l"interaction de pointsB1, B2,···Bn; on postule que la force qu"il subit est la somme vectorielle des forces qu"il subirait de chacun des pointsBisi celui-ci ´etait seul, soit :

FA=i=n?

i=1F

Bi→A

XI-2 Forces int´erieures et ext´erieures `a un syst`eme. Soit un syst`eme constitu´e des pointsA1, A2,···An, soumis `a l"interaction de pointsB1, B2,···Bpext´erieurs au syst`eme. Le pointA1(par exemple) est soumis `a l"action d"autres points du syst`eme, commeA2, et de points ext´erieurs au syst`eme, commeB1. Une force comme-→FA2→A1est diteforce int´erieureet une force comme-→FB1→A1est diteforce ext´erieure. La somme sur un syst`eme des forces int´erieures est nulle par sommation du th´eor`eme d"action et r´eaction sur les couples de points int´erieurs, soit : ?-→Fint=?

1?i

1?i

0 =-→0

Il en est de mˆeme pour la somme en un pointMdes moments dynamiques : ?-→Mint(M) =?

1?i

1?i

0 =-→0

2M´ECANIQUE DU SOLIDE.

Par contre, on ne peut rien direa prioride la somme des puissances int´erieures; mˆeme si les forces d´erivent d"un potentiel, on a : ?P int=?

1?i

1?i

1?i Le seul cas o`u l"on puisse affirmer quelque chose est celui o`utouslesrij= ?---→AiAj?sont constants (on dit qu"on a affaire `a un syst`emeind´eformable), alors :?P int=?

1?i

1?i Toutes ces d´emonstrations s"appuient sur les r´esultats du chapitre X.

XI-3 Th´eor`eme du centre de gravit´e.

XI-3.a Centre de gravit´e.

Soit un syst`eme de points mat´erielsAi, de massesmi. Par d´efinition, le centre de gravit´e, oubarycentre, est le pointGtel que : im i--→OAi= (? im i)--→OG=Mtot--→OG On rappelle que cette d´efinition est ind´ependante du choix du pointO. Dans le cas d"une description continue par une masse volumiqueμ(M), on d´efinit ainsi G :???

μ(M)--→OMdV=?

μ(M)dV?--→OG=Mtot--→OG

Par d´efinition, la quantit´e de mouvement du syst`eme est la somme des quantit´es de mouvement de ses points, soit : ptot=? i-→ pi=? im i-→vi soit ptot=? im iddt--→OAi=ddt? im i--→OAi? ddt? M tot--→OG? =Mtot-→vG

XI-3.b Le th´eor`eme.

Soit un syst`eme de points mat´erielsAi, de massesmi, soumis `a l"interaction de pointsB1, B2,···Bpext´erieurs au syst`eme. D´erivons par rapport au temps la quantit´e de mouvement : ptot=Mtot-→vG=? i-→ pi

SOLIDE EN ROTATION AUTOUR D"UN AXE FIXE.3

on tire : ddt-→ptot=Mtotddt-→vG=? iddt-→pi=? i-→ Fi d´etaillons M totddt-→vG=? i(? j?=iF

Aj→Ai+?

kF

Bk→Ai) =

1?i i? kF

Bk→Ai)

Le premier terme est nul (cf paragraphe XI-2); abr´egeons la notation du second :M

totddt-→vG=?-→Fextconnu sous le nom deth´eor`eme du centre de gravit´eou encoreth´eor`eme

de la r´esultante dynamique.

XI-3.c Cas du solide.

Le th´eor`eme du centre de gravit´e est tellement concis qu"on ne peut esp´erer une forme encore plus simple. Il est donc valable pour tout syst`eme, solide ou non.

XI-3.d Forces de pesanteur.

Soit un syst`eme de points mat´erielsAi, soumis `a un champ de pesanteur-→g uniforme (approximation l´egitime si la taille du syst`eme est n´egligeable devant le rayon de la terre), la somme des forces de pesanteur est bien ´evidemment : i(mi-→g) =?? im i?-→g=Mtot-→g XI-4 Champ des vitesses d"un solide en rotation au- tour d"un axe fixe. Un solide est un mod`ele id´eal; c"est un syst`eme dont les points restent `a distance constantes les uns des autres. Ce mod`ele est bien sur en d´efaut

lorsqu"on ´etudie les d´eformations sous l"effet de forces (th´eorie de l"´elasticit´e et

propagation d"ondes) ou l"agitation thermique autour d"une position moyenne fixe (thermodynamique); n´eanmoins les ´ecarts au mod`ele restent faibles, ce qui lui conserve une grande efficience. Soit un solide tournant autour d"un axe qu"on choisit comme axeOz; Le r´ef´erentiel du laboratoire sera nomm´eOxyzet on consid`ere un r´ef´erentiel tournantOXY zli´e au solide. On note?(t) l"angle entreOxetOX. Un point

4M´ECANIQUE DU SOLIDE.

Mdu solide se projette enHsurOzet enPsur le planOxy. On d´efinit une

base locale enMpar-→er, vecteur unitaire de--→HM=--→OP,-→eθ=-→ez?-→eret-→ez. On noteαl"angle constant entreOXet--→OPetθ=?(t)+α, l"angle entre

Oxet--→OP. On note enfinω(t) = dθ/dt= d?/dt. Par d´efinition du solide la

cotezdeMet le modulerde--→HM(ainsi queα) sont constantes.Le pointMd´ecrit manifestement un cercle de centreHde rayonr, et y

est rep´er´e par l"angleθ, sa vitesse est donc classiquement : v(M) =rω-→eθ=rω-→ez?-→er= (ω-→ez)?(r-→er) = (ω-→ez)?(r-→er+z-→ez) = (ω-→ez)?--→OM en utilisant le fait que -→ez?-→ez=-→0 . On note-→ω=ω-→ezet on l"appelle vecteur rotation, sa direction est celle de l"axe, son sens donn´e par la r`egle du tire-bouchon et son module est la vitesse angulaire de rotation. On reconnaˆıt donc :-→v(M) =-→ω?--→OM Pour une g´en´eralisation ult´erieure et `a cause d"une ressemblance avec les formules de changement de point pour les moments cin´etique et dynamique, on va reformuler ainsi cette loi : Pour un pointM,-→v(M) =-→ω?--→OM. Pour un pointP,-→v(P) =-→ω?--→OP.

Soustrayons :

-→v(M)--→v(P) =-→ω?(--→OM---→OP) =-→ω?--→PM.

Apr`es un double changement de signe, on arrive donc `a :?M?P-→v(M) =-→v(P) +--→MP?-→ωBien sˆur, mˆeme si l"on apprend la formule

1sous cette forme, on l"utilise

en choisissant l"un des points sur l"axe pour que l"une des vitesses soit nulle.1 On appelle parfois cette formule, formule deVarignon; en fait la formule deVarignon n"est pas exactement celle-l`a.

SOLIDE EN ROTATION AUTOUR D"UN AXE FIXE.5

XI-5 Th´eor`eme du moment cin´etique.

XI-5.a Enonc´e du th´eor`eme pour un syst`eme. Soit un syst`eme de points mat´erielsAi, de massesmi, soumis `a l"interaction de pointsB1, B2,···Bpext´erieurs au syst`eme. D´erivons par rapport au temps le moment cin´etique, calcul´e en un point fixeO:

σtot(O) =?

i-→

σi(O)

on tire : ddt-→σtot(O) =? iddt-→σi(O) =? i-→ Mi(O) d´etaillons ddt-→σtot(O) =? i? j?=iM

Aj→Ai(O) +?

kM

Bk→Ai(O)?

ddt-→σtot(O) =?

1?i M

Aj→Ai(O) +MAi→Aj(O)?

i? kM

Bk→Ai(O)?

Le premier terme est nul (cf paragraphe XI-2); abr´egeons la notation du

second :si O est fixe,ddt-→σtot(O) =?-→Mext(O)connu sous le nom deth´eor`eme du moment cin´etique.

Remarque : par sommation les formules de changement de point pour les moments cin´etique et dynamique deviennent :

σ(M?) =-→σ(M) +---→M?M?-→p

M(M?) =-→M(M) +---→M?M?-→F

XI-5.b Moment cin´etique d"un solide.

Calculons le moment cin´etique du solide d´ecrit plus haut (paragraphe XI-

4)en un point de l"axe, disonsO. D´ecoupons-le en volumes ´el´ementaires

de masse dm, autour du point courantM, assimil´es `a des points mat´eriels. Pour un volume ´el´ementaire, la quantit´e de mouvement ´el´ementaire est : d -→p= dm-→v(M) = dmrω-→eθ Le moment cin´etique ´el´ementaire enOest : d

-→σ(O) =--→OM?d-→p= (r-→er+z-→ez)?dmrω-→eθ= dmω(r2-→ez-rz-→er)

6M´ECANIQUE DU SOLIDE.

La composante surOzs"av`ere, par exp´erience, la plus utile avec les limi- tations du programme, elle vaut : dσz(O) = dmr2ω Par int´egration sur tout le solide, on tire, puisqueωest ind´ependant du pointMpar sa d´efinition : z(O) =? dmr2? Retenons que pour un solide en rotation autour d"un axeOza la vitesse angulaireω, il existe une grandeur caract´eristique, not´eeJOz, appel´eemoment d"inertie

2par rapport `a l"axeOz, telle qu"en projection sur l"axe, le moment

cin´etique calcul´e en un pointOde l"axe estσz(O) =JOzω. Ce moment peut se calculer par int´egration (JOz=??? dmr2), mais ce genre de calcul ne fait pas partie de nos objectifs; la valeur num´erique ou l"expression deJOzsera donn´ee dans les ´enonc´es. On finira par retenir `a force de les rencontrer que le moment d"inertie d"une sph`ere de masseMde rayonRpar rapport `a un diam`etre est (2/5)M R2, d"un cylindre de masseM, de rayonRpar rapport `a son axe de r´evolution est (1/2)M R2, quelle que soit sa hauteur et que le moment d"une tige de masse Mde longueurL, de diam`etre n´egligeable, par rapport `a un axe qui lui est orthogonal en son milieu est (1/12)M L2. On insiste lourdement sur le fait que pour un point mat´eriel, -→σ(O) se calcule par--→OM?(m-→v) et pour un solide, en projection, parJ ω; ces deux d´emarches n"ontRIEN`a voir. On prendra garde aussi queJOzne d´epend pas uniquement du solide, mais aussi de l"axe autour duquel il tourne. On donnera une indication dans le prochain chapitre sur le lien qui existent pour un mˆeme solide pour les moments d"inertie par rapport `a deux axes diff´erents (pourvu qu"ils soient parall`eles). On se gardera de croire qu"on ne peut rien dire de la composante du moment cin´etique orthogonale `a l"axe de rotation, puisqu"on en a amorc´e le calcul; seulement avec les limitation du programme, on n"en aura pas besoin. Cela dit, si l"axe de rotation du solide est axe de sym´etrie de r´evolution ou s"il est intersection de deux plans de sym´etrie, on pourra affirmer que cette composante est nulle; alorset seulement alors, onpourra´ecrire-→σ(O) = J Oz-→ω. On pourra, mais je le d´econseillevivement.2 On prendra garde `a la terminologie : moments cin´etique et dynamique sont des champs qui d´ependent de la nature du mouvement; le moment d"inertie est un facteur constant, ind´ependant du mouvement, une fois l"axe de rotation d´efini. Ces deux types de grandeur n"ont rien `a voir les unes avec les autres, malgr´e la similitude de terminologie.

SOLIDE EN ROTATION AUTOUR D"UN AXE FIXE.7

XI-5.c Th´eor`eme du moment cin´etique par rapport `a un axe; application au solide. Le th´eor`eme du moment cin´etique enOs"´ecrit : ddt-→σ(O) =-→Mext(O) Projetons surOzen multipliant scalairement par le vecteur constant-→ez, on tire : ?ddt-→σ(O)? .-→ez=ddt(-→σ(O).-→ez) =-→Mext(O).-→ez On appelera moment cin´etique et moment dynamique par rapport `a l"axe

Ozrespectivement les expressions :

Oz=-→σ(O).-→ez

M ext,Oz=-→Mext(O).-→ez d"o`u le th´eor`eme du moment cin´etique par rapport `a un axe :d dtσOz=Mext,OzEt dans le cas d"un solide pour lequel, on a vu que :σOz=jOzωavecJOz constant :J Ozdωdt=Mext,OzTerminons par la remarque suivante : le choix du pointOsur l"axe importe peu, en effet siO?est un autre point de l"axe, on a :

σ(O?) =-→σ(O) +--→O?O?-→p

Multiplions scalairement par

-→ez:

σ(O?).-→ez=-→σ(O).-→ez+ (--→O?O?-→p).-→ez=-→σ(O).-→ez

le dernier terme´etant nul car --→O?O//-→ezce qui prouve l"assertion pr´ec´edente (et pour le moment dynamique, la d´emonstration est identique).

XI-5.d Moment des forces de pesanteur.

Le bilan des moments des forces de pesanteur, que le syst`eme soit solide ou non est : -→Mtot(O) =? i(--→OMi?mi-→g) =? i(mi--→OMi?-→g) = im

8M´ECANIQUE DU SOLIDE.

Ce qui signifie que plutˆot que faire ce mˆeme calcul `a chaque fois, il suffit de consid´erer le poids total comme une force uniqueMtot-→gappliqu´ee au centre de gravit´eG; c"est certes ce qu"on a tendance `a faire spontan´ement, mais en voil`a la d´emonstration rigoureuse, il fallait bien qu"elle fˆut faite un jour.

XI-6 Th´eor`eme de l"´energie cin´etique

XI-6.a Enonc´e du th´eor`eme pour un syst`eme. Soit un syst`eme de points mat´erielsAi, de massesmi, soumis `a l"interaction de pointsB1, B2,···Bpext´erieurs au syst`eme. D´erivons par rapport au temps l"´energie cin´etique : E cin,tot=? iE cin,i on tire : ddtEcin,tot=? iddtEcin,i=? iP i d´etaillons ddtEcin,tot=? i? j?=iP

Aj→Ai(O) +?

kP

Bk→Ai(O)?

Abr´egeons la notation :d

dtEcin,tot=?P int+?P extconnu sous le nom deth´eor`eme de l"energie cin´etique. XI-6.b Force d´erivant d"une ´energie potentielle.

Une force

-→F=Fx-→ex+Fy-→ey+Fz-→ez, int´erieure ou ext´erieure, appliqu´ee en un pointAdu syst`eme, de coordonn´ees (x,y,z), d´erive d"une ´energie po- tentielleUsi, par d´efinition,

P=-→F .-→vA=-dUdt

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