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Systèmes d"équations linéaires - 1 - ECS 1

SYSTEMES D"EQUATIONS LINEAIRES

Dans tout le chapitre, K=? ou K=?.

I - Définitions 1) E quations linéaires D

éfinition : On appelle équation linéaire à p inconnues 1x, 2x,..., px toute équation de la forme : bxaxaxapp=+++...2211. Les éléments 1a,

2a,..., pa et b appartiennent à K et sont les coefficients de

l"équation.

L"équation est homogène si

0=b . Une solution de cette équation est un p-uplet (ou p-liste) 1 2( , ,..., )p px x x K? q ui vérifie l"équation. Résoudre l"équation, c"est trouver l"ensemble S de toutes les solutions.

Définition : Deux équations sont équivalentes si elles ont le même ensemble de solutions.

Si tous les coefficients

ja sont nuls et si 0≠b , alors =S

Si tous les coefficients

ja sont nuls et si 0=b , alors S K=p. 2) S ystèmes d"équations linéaires U n système de n équations linéaires à p inconnues est un système de la forme : ? npnpnnpp pp bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa 2211

2222212111212111

On note

ija le coefficient de jx dans la ligne iL. Les solutions sont les p-uplets (ou p- l istes) 1 2( , ,..., )p

px x x K? q ui vérifient simultanément les n équations. Résoudre le système, c"est donc trouver l"ensemble S de toutes les solutions. C"est

l"intersection des ensembles de solutions de chaque ligne : nSSSS∩∩∩=...21.

Si tous les coefficients

ija de la ligne iL sont nuls et si 0≠ib, alors =iS∅, donc l"intersection est =S

Si tous les coefficients

ija de la ligne iL sont nuls et si 0=ib, alors iS K=p, donc S e st l"intersection de tous les autres ensembles de solutions, ce qui revient à dire que l"on peut supprimer la ligne iL sans changer l"ensemble de solutions.

Deux systèmes sont équivalents s"ils ont le même ensemble de solutions. II - Méthodes de résolution

1) M

éthode de substitution

L e principe est de choisir une équation, de calculer dans cette équation l"une des inconnues en fonction des autres, puis de la remplacer par cette expression dans toutes l

es autres équations, puis de recommencer. Cours de mathpmatiques - ECS1 - Catherine Laidebeure - Lycpe Albert Schweitzer, Le Raincy - 2011

Systèmes d"équations linéaires - 2 - ECS 1 Remarque : L"interversion des lignes ne change pas l"ensemble des solutions.

Exemple :

223
7334
72
)1( zyx zyxzyx

7 2(1) 4 3 3(7 2 ) 7

3 2(7 2 ) 2z x y

x y x y x y x y= - - donc : 7 2(1) 10 6 28

7 3 16z x y

x y x y= - -?

7 2(1) 5 3 14

7 3 16z x y

x y x y= - -? ??+ =? donc : 7 2 1

4 5(1)3 3

14 57 3163 3

zx y y x x x?

Donc : 7 2

14 5(1)3 3

2 2z x y

y x x= - -? ??=?? donc : 7 2

14 5(1)3 3

1z x y

y x x= - -? ??=?? donc : 1 (1) 3 2x y z=? Le système a un unique triplet solution )2,3,1( . Et {})2,3,1(=S.

Définition : Un système de Cramer d"ordre n est un système de n équations linéaires à n

i nconnues qui admet une unique solution. 2) M

é thode du pivot de Gauss

L "idée principale est de se dire que certains systèmes sont plus faciles à résoudre que d"autres : 223
7334
72
)1( zyx zyx zyx est moins facile à résoudre que 3 17772
)2( z zy zyx Plus le système a de coefficients nuls, plus il est facile à résoudre.

On détermine donc des opérations élémentaires sur les lignes qui transforment le

système en un système équivalent plus facile à résoudre.

On obtient un système équivalent : - e

n intervertissant deux lignes iL et jL (opération codée jiLL↔). - e n multipliant une ligne iL par un réel non nul k (opération codée iikLL←). - e

n ajoutant à une ligne iL une autre ligne jL (opération codée jiiLLL+←). La démonstration en est évidente.

C haque opération élémentaire doit être codée. La méthode du pivot de Gauss est simplement l"organisation d"une succession de ces

opérations élémentaires pour aboutir à un système triangulaire ou diagonal. Cette

méthode a l"avantage d"être souvent la plus économique et surtout de pouvoir être programmée sur ordinateur.

Exemple 1 :

223
7334
72
)1( zyx zyxzyx Cours de mathpmatiques - ECS1 - Catherine Laidebeure - Lycpe Albert Schweitzer, Le Raincy - 2011 Systèmes d"équations linéaires - 3 - ECS 1 On choisit une ligne de référence que l"on garde intacte (ici 1L) et on la combine avec les autres lignes pour éliminer une variable (ici x) dans les autres équations.

13312211

32
2

1777572

)1(

LLLLLLLL

zy zy zyx Ensuite, on garde toujours intacte la première ligne et on recommence le procédé avec le système formé par les autres équations. La nouvelle ligne de référence sera 2L e t la variable éliminée sera y (car c"est la variable dont les coefficients sont les plus simples).

2332211

2412
7572
)1(

LLLLLLL

z zy zyx Un tel système se résout aisément en commençant par la dernière équation.

On trouve 2=z, puis 375=-=zy,

puis 1)7(21 =--=zyx. Le système a un unique triplet solution )2,3,1( . Et {})2,3,1(=S. Parfois la résolution aboutit à l"un des cas particuliers cités au 1) :

Exemple 2 :

11

7231832332

)2( zyx zyx zyx . Donc

13312211

3 2

88452332

)2(

LLLLLLLL

zy zy zyx Donc

2332211

412052332

)2(

LLLLLLL

zy zyx La dernière équation n"a pas de solution. Donc =S

Exemple 3 :

1

4234242632

)3( zyx zyx zyx . Donc

13312211

4 2 10105

10105632

)3(

LLLLLLLL

zy zy zyx

2332211

51

0022632

)3(

LLLLLLL

zy zyx . La dernière équation est identiquement vérifiée pour tout ),,(zyx. Donc on peut la supprimer. Donc : =-=-+?22632)3(zyzyx. Il n"y a pas assez d"équations pour calculer x, y et z. Donc on exprime deux des inconnues en fonction de la troisième : +=+-=?222)3(zyzx. Tous les triplets de la forme ),22,2(zzz++- où z e st un réel quelconque sont solutions. Il y a donc une infinité de solutions et {}( 2,2 2, )/Sz z z z = - + + ??. 3) E criture matricielle O n constate en réalité que les manipulations sur les lignes ne sont guidées que par les coefficients du premier membre. De plus, est-il utile de réécrire x, y et z à toutes les lignes? On associe donc à tout système linéaire le tableau des coefficients des premiers

membres (matrice du système) éventuellement complété par les coefficients des Cours de mathpmatiques - ECS1 - Catherine Laidebeure - Lycpe Albert Schweitzer, Le Raincy - 2011

Systèmes d"équations linéaires - 4 - ECS 1 seconds membres (matrice complétée du système). On fera les transformations sur les matrices et seulement à la fin du calcul, on reviendra au système pour interpréter.

Exemple : La matrice est

213334112

et la matrice complétée est ) 277
213

334112

La résolution devient une série de transformations de la matrice complétée : 13312211 32
quotesdbs_dbs45.pdfusesText_45

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