[PDF] Analyse numérique : Résolution de systèmes linéaires





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Systèmes linéaires

les seuls cas qui peuvent se présenter pour n'importe quel système d'équations linéaires. 1.2. Résolution par substitution.



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La rubrique d'aide qui suit s'attardera aux problèmes de résolution de systèmes de deux équations linéaires et deux variables.



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La rubrique d'aide qui suit s'attardera aux problèmes de résolution de systèmes de deux équations linéaires et deux variables

  • Comment résoudre un système d'équation linéaire ?

    La résolution d'un système d'équations linéaires consiste à déterminer les coordonnées du ou des points de rencontre entre les droites décrites par les équations. La résolution d'un système d'équations à deux variables consiste à trouver le point de rencontre entre les équations.

  • Comment résoudre des systèmes d'équations ?

    Pour résoudre un système de deux équations linéaires à deux inconnues par la méthode de substitution, il suffit d'isoler l'une des inconnues dans l'une des équations et de remplacer cette inconnue par sa valeur dans l'autre équation.

  • Comment calculer l'équation linéaire ?

    Une équation linéaire à une inconnue x est une équation de la forme ax + b = 0 où a et b sont des réels (ou des complexes). Les réels a et b sont appelés des coefficients, a est le coefficient devant x et b le coefficient constant. On appelle aussi cette équation, une équation du premier degré à une inconnue.
  • calcule L1+L2 puis L3+L4 => deux équations avec deux inconnues que tu résouds ; puis L1-L2 et L3-L4 => deux équations avec les deux autres inconnues que tu résouds. En fait, tu ramènes ton système de 4 équations à 4 inconnues, à deux fois deux équations à deux inconnues bien séparées. Ce n'est pas plus compliqué.

Analyse numérique :

Résolution de systèmes linéaires

Pagora 1A

Chapitre 5

18 mars 2013

Analyse numérique (Pagora 1A)Résolution de systèmes linéaires18 mars 2013 1 / 31 Plan

1Qu"est ce qu"un système linéaire?

2Existence et unicité des solutions

3Calcul de solution

Analyse numérique (Pagora 1A)Résolution de systèmes linéaires18 mars 2013 2 / 31

Qu"est ce qu"un système linéaire?

Plan

1Qu"est ce qu"un système linéaire?

2Existence et unicité des solutions

3Calcul de solution

Analyse numérique (Pagora 1A)Résolution de systèmes linéaires18 mars 2013 3 / 31

Qu"est ce qu"un système linéaire?

Système d"équations linéaires

Un système d"équations linéaires est un ensemble d"équations portant sur les mêmes inconnues. En général, un système deméquations linéaires àninconnues peut être

écrit sous la forme suivante :

8>>>>>><

>>>>>:a

1;1x1+a1;2x2+:::+a1;nxn=b1

a

2;1x1+a2;2x2+:::+a2;nxn=b2...

a m;1x1+am;2x2+:::+am;nxn=bm

oùx1,x2,:::,xnsont les inconnues.Analyse numérique (Pagora 1A)Résolution de systèmes linéaires18 mars 2013 4 / 31

Qu"est ce qu"un système linéaire?

Forme matricielle d"un système linéaire

Un système d"équations linéaires peut aussi s"écrire sous la forme matricielle Ax=b oùAest une matrice de taillemn,xest un vecteur de taillenetbest un vecteur de taillem. A=0 B BB@a

1;1a1;2:::a1;n

a

2;1a2;2:::a2;n............

a m;1am;2:::am;n1 C

CCAx=0

B BB@x 1 x 2... x n1 C

CCAb=0

B BB@b 1 b 2... b m1 C CCAAnalyse numérique (Pagora 1A)Résolution de systèmes linéaires18 mars 2013 5 / 31

Existence et unicité des solutions

Plan

1Qu"est ce qu"un système linéaire?

2Existence et unicité des solutions

3Calcul de solution

Analyse numérique (Pagora 1A)Résolution de systèmes linéaires18 mars 2013 6 / 31

Existence et unicité des solutions

Cas possibles pour un système linéaire

Soit le système linéaire

Ax=b

avec :xvecteur contenant lesnvariablesréellesrechérchées.Amatrice de taillemncontenant des coefficientsréels.bvecteur contenantmréels.

Seulement 3 cas sont possibles pour ce système linéaire :Le système n"a pas de solution

Le système a une solution unique

Le système a une infinité de solutions

Analyse numérique (Pagora 1A)Résolution de systèmes linéaires18 mars 2013 7 / 31

Existence et unicité des solutions

Exercice introductif

A votre avis, les systèmes suivants ont-ils une solution unique, une infinité de solution ou pas de solution?

2x1+6x2=4

4x112x2=8(1)

x1+3x2=7

2x1x2=0(2)

4x13x2=14

16x112x2=2(3)Analyse numérique (Pagora 1A)Résolution de systèmes linéaires18 mars 2013 8 / 31

Existence et unicité des solutions

Exercice introductif (correction)

A votre avis, les systèmes suivants ont-ils une solution unique, une infinité de solution ou pas de solution?

2x1+6x2=4

4x112x2=8

Le système précédent admet une infinité de solution. x1+3x2=7

2x1x2=0

Le système précédent admet une unique solution solution.

4x13x2=14

16x112x2=2

Le système précédent n"admet pas de solution. Analyse numérique (Pagora 1A)Résolution de systèmes linéaires18 mars 2013 9 / 31

Existence et unicité des solutions

Un peu de théorie (1)

Définition: Lerangd"une matriceA, noté rg(A)est le nombre maximal de vecteurs lignes (ou colonnes) linéairement indépendants. Remarque :SiAest de taillemn, alors rg(A)min(m;n).

Exercice: Quel est le rang de cette matrice?

A=0 B

B@1 4 6 5

2 7 3 1

4 10 7 2

0 5 8 91

C CAAnalyse numérique (Pagora 1A)Résolution de systèmes linéaires18 mars 2013 10 / 31

Existence et unicité des solutions

Correction

Analyse numérique (Pagora 1A)Résolution de systèmes linéaires18 mars 2013 11 / 31

Existence et unicité des solutions

Un peu de théorie (1)

Exercice: Quel est le rang de cette matrice?

A=0 B

B@1 4 6 5

2 7 3 1

4 10 7 2

0 5 8 91

C CA Correction: Notonsli,i=1;:::;4 les lignes de la matriceA. Au moins une des lignes est non nulle, donc rg(A)1. l

1etl2sont linéairement indépendants. En effet, il n"existe pas de réeltel

quel2=l1, donc rg(A)2. l

1,l2etl4sont linéairement indépendants. En effet, il n"existe pas de réels

ettel quel4=l1+l2, donc rg(A)3. l

3=2l1+l2l4,l3n"est pas linéairement indépendante del1,l2etl4d"où

rg(A) =3Analyse numérique (Pagora 1A)Résolution de systèmes linéaires18 mars 2013 12 / 31

Existence et unicité des solutions

Un peu de théorie (2)

Théorème de Rouché-Fontené:

Soit le système suivantAx=bavecxvecteur contenant lesnvariablesréellesrechérchées.Amatrice de taillemncontenant des coefficientsréels.bvecteur contenantmréels.

Ce système admet une solutionsi et seulement si rg(A) =rg([Ajb]) De plus, si rg(A) =n, alors le système admet une unique solution. Sinon, le système admet une infinité de solutions. Analyse numérique (Pagora 1A)Résolution de systèmes linéaires18 mars 2013 13 / 31

Existence et unicité des solutions

Un peu de théorie (3)

Décomposition en valeurs singulières:

SoitMune matrice de taillemndont les coefficients sont desréels.

Alors, il existe une factorisation de la forme :

M=UVT

avec :Umatriceorthogonalede taillemm(UUT=UTU=Im)Vmatriceorthogonalede taillenn(VVT=VTV=In)matrice de taillemndont les termes diagnonaux (appelés

valeurs singulières) sont positifs ou nuls et tous les autres sont nuls. Remarque: La décomposition en valeur singulière de la matriceMn"est pas forcément unique. Analyse numérique (Pagora 1A)Résolution de systèmes linéaires18 mars 2013 14 / 31

Existence et unicité des solutions

Un peu de théorie (4)

La matriceest de la forme

0 B BBB@

10:::0 0:::0

02...............

.........0.........

0:::0m0:::01

C

CCCAou0

B

BBBBBBBBBB@

10:::0

02......

.........0

0:::0n

0::: :::0

0::: :::01

C

CCCCCCCCCCA

En général, on range lesi0 (i=1;:::;min(m;n)) par ordre décroissant.

Proposition :

rg(M) =nombre de valeurs singulières>0Analyse numérique (Pagora 1A)Résolution de systèmes linéaires18 mars 2013 15 / 31

Calcul de solution

Plan

1Qu"est ce qu"un système linéaire?

2Existence et unicité des solutions

3Calcul de solution

Analyse numérique (Pagora 1A)Résolution de systèmes linéaires18 mars 2013 16 / 31

Calcul de solution

Avec la décomposition en valeurs singulières Dans toute la suite, on admet que le système linéaire Ax=b admet une unique solution. Cela implique que :rg(A) =navecAmatrice de taillemnmn La décomposition en valeurs singulière deAn"est pas toujours unique, les matricesUetVpeuvent ne pas être uniques mais la matriceavec les valeurs singulières triées dans l"ordre décroissant sur la diagonale est elle unique. Cependant, elle permet de résoudre le système linéaire.

Si on a la décompositionA=UVT

on ax=V1UTbAnalyse numérique (Pagora 1A)Résolution de systèmes linéaires18 mars 2013 17 / 31

Calcul de solution

"Inverse" de la matrice Dans le cas où le système linéaireAx=badmet une unique solution. Les valeurs singulièresisont strictement positives (i=1;:::;n) et =0 B

BBBBBBBBBB@

10:::0

02......

.........0

0:::0n

0::: :::0

0::: :::01

C

CCCCCCCCCCA

1=0 B BBB@1

10:::0 0:::0

0 1

2...............

.........0.........

0:::01

n0:::01 C CCCAAnalyse numérique (Pagora 1A)Résolution de systèmes linéaires18 mars 2013 18 / 31

Calcul de solution

Exercice

Soit le système à résoudre suivant

8< :3x1+2x2=12

2x1+3x2=13

2x12x2=2

On a l"égalité suivante

0 @3 2 2 3 221
A =0 B B@ p2 2 p2 6 23
p2 2 p2 6 23
0 2p2 3 13 1 C CA0 @5 0 0 3 0 01 A p2 2 p2 2 p2 2 p2 2 Vérifier que l"égalité précédente est une décomposition en valeurs singulières et l"utiliser pour montrer que2 3 est l"unique solution du système décrit plus haut. Analyse numérique (Pagora 1A)Résolution de systèmes linéaires18 mars 2013 19 / 31

Calcul de solution

Exercice (correction)

Analyse numérique (Pagora 1A)Résolution de systèmes linéaires18 mars 2013 20 / 31

Calcul de solution

Exercice (correction)

Analyse numérique (Pagora 1A)Résolution de systèmes linéaires18 mars 2013 21 / 31

Calcul de solution

Exercice (correction)

On considère comme acquis la validité de l"égalité précédente et on a UU T=0 B B@ p2 2 p2 6 23
p2 2 p2 6 23
0 2p2 3 13 1 C CA0 B @p2 2 p2 2 0p2 6 p2quotesdbs_dbs45.pdfusesText_45
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