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Chapitre4
Equationsdiff´erentielles
4.1G´en´eralit´es
Dansune´equationdiff´erentielled"ordren,l"inconnueestunefonctionnfois d´erivable.Laformeg´en´eraleest:F(t,y,y?,...,y(n))=0.
Iciyestlafonctioninconnue delavariablet.
Une´equationdiff´erentielled"ordre1delaforme: y ?=f(t,y) estditer´esolueparrapport`alad´eriv´ee.Pourchaquepoint (t,y),f(t,y) d´efinitunepente.Onpeutrepr´esenterl"´equationenassociantaupoint (t,y) levecteurv(t)=(1,f(t,y)).Lescourbesrepr´esentantlessolutions(courbes int´egrales)sonttangentes`acechampdevecteurs;pluspr´ecis´ementt?→y(t) estsolutionsietseulementsilavitessedumouvementt?→(t,y(t))est donn´eeparv(t). Remarque4.1.1.L"int´egrationpermetder´esoudreles´equations diff´erentielles:y?=f(t).4.2Equations`avariabless´eparables
Onappelle´equationdiff´erentielle`avariabless´eparablesune´equationqui peutsemettresouslaforme: y ?=g(t)h(y). Icionvasupposerquegestcontinuesurl"intervalleI,ethestcontinuesur l"intervalleJ. 15 Proposition4.2.1.Sih(a)=0,alorsy(t)=aestunesolutionconstante. Proposition4.2.2.Onsupposequehnes"annullepassurJ.SiWestune primitivede1 h,etsiGestuneprimitivedeg,alorsl"´equation:y?=g(t)h(y), t?Iety?Jest´equivalente`a:W(y)=G(t)+C,C?R.
Remarque:silafonctionWadmetunefonctionr´eciproque:onpourra exprimerycommefonction,det.Exemple4.2.3.L"´equationy?=2y
t,t>0admetlasolutiony(t)=0,etles solutionsdeln|y|=2lnt+C:y(t)=±et2+C=ket2.4.3Equationsdiff´erentielleslin´eairesd"ordre
1Ils"agitdes´equations:
y ?=a(t)y+b(t).LesfonctionsaetbsontcontinuessurunintervalleI.
Unetelle´equationestappel´eehomog`enelorsquebestnulle:y?=a(t)y.4.3.1Cas`acoefficientconstant
Th´eor`eme4.3.1.Lasolutiong´en´eraledel"´equationhomog`eney?=ayest: y(t)=Ceat,(C?R). (Elleestd´efiniesurR.) Th´eor`eme4.3.2.SibestunefonctioncontinuesurI,etsigestunesolu- tionparticuli`eredel"´equation y ?=ay+b(t), alorslasolutiong´en´eraleest:y(t)=Ceat+g(t),(C?R). Proposition4.3.3.SibestunefonctioncontinuesurI,unesolutionpar- ticuli`eredel"´equation y ?=ay+b(t), est:g(t)=G(t)eat,o`uGestprimitivesurIdet?→b(t)e-at. M´ethode devariationdelaconstante:utiliserlechangementdefonction inconnue:y(t)=C(t)eat. 164.3.2Caslin´eairehomog`ene
Th´eor`eme4.3.4.SiaestunefonctioncontinuesurI,etsiAestune primitivedea,alorslasolutiong´en´eraledel"´equationhomog`ene:y?=a(t)y est: y(t)=CeA(t),(C?R).Remarque:OnpeutprendreA(t)=?t
t0a(s)ds.
4.3.3Casavecsecondmembre
Th´eor`eme4.3.5.SiaetbsontdesfonctionscontinuessurI,siAestune primitivedea,etsigestunesolutionparticuli`eredel"´equation y ?=a(t)y+b(t), alorslasolutiong´en´eraleest:y(t)=CeA(t)+g(t),(C?R). Proposition4.3.6.SiaetbsontdesfonctionscontinuessurI,etsiAest uneprimitivedea,unesolutionparticuli`eredel"´equation y ?=a(t)y+b(t), est:g(t)=G(t)eA(t),o`uGestprimitivesurIdet?→b(t)e-A(t). M´ethode devariationdelaconstante:utiliserlechangementdefonction inconnue y(t)=C(t)eA(t). Exemple4.3.7.Equationv(t)=Ri+Li?(iestl"intensit´edansuncircuitavec r´esistance,inductance,ettensionvariable).Casv(t)=V:
i(t)=Ce-Rt L+VR.Casv(t)=Asinωt:
i(t)=Ce-RtL+RAω2L2+R2sinωt-ωLAω2L2+R2cosωt
Remarque4.3.8.Enfonctiondelaformedusecondmembre,ilpeutˆetre opportundechercherunesolutionparticuli`eredeformeanalogue.Ilconvient detraiterdesexemplesvari´espourreteniroudevinerlaformed"unesolution particuli`ere. 174.4Equationsdiff´erentielleslin´eairesd"ordre
2Ils"agitdes´equations:
y ??=a(t)y?+b(t)y+c(t).Lesfonctionsa,betcsontcontinuessurunintervalleI.
Lecashomog`ene:y??=a(t)y?+b(t)y.
4.4.1Cashomog`ene`acoefficientsconstants
Ils"agitdes´equations:
y ??=ay?+by. L"´equationduseconddegr´e:λ2-aλ-b=0s"appellel"´equationca- ract´eristique. Th´eor`eme4.4.1.LessolutionssurRdel"´equationhomog`ene:y??=ay+b formentunespacevectorieldedimension2. a)Sil"´equationcaract´eristiqueadeuxsolutionsr´eellesλ1etλ2,alors: y1(t)=eλ1t,ety2(t)=eλ2t
formentunebasedel"espacedessolutions;lasolutiong´en´eraleest: y(t)=C1eλ1t+C2eλ2t. b)Sil"´equationcaract´eristiqueaunesolutiondoubleλ,alors: y1(t)=eλt,ety2(t)=teλt
formentunebasedel"espacedessolutions;lasolutiong´en´eraleest: y(t)=C1eλt+C2teλt. b)Sil"´equationcaract´eristiqueadeuxsolutionscomplexesconjugu´eesλ=λ?+iλ??et
λ=λ?-iλ??,alors:
y1(t)=eλ?tcos(λ??t),ety2=eλ?tsin(λ??t)
formentunebasedel"espacedessolutions;lasolutiong´en´eraleest: y(t)=eλ?t(C1cos(λ??t)+C2sin(λ??t)). Th´eor`eme4.4.2.Pourt0fix´e,l"´equation:y??=ay?+byauneunique solutionquiv´erifielesconditionsinitialesy(t0)=y0,y?(t0)=v0. 184.4.2Cas`acoefficientsconstantsavecsecondmembre
Th´eor`eme4.4.3.Onsupposequecestunefonctioncontinuesurl"intervalleI.Sigestunesolutionparticuli`eredel"´equation
y ??=ay?+by+c(t), alorslasolutiong´en´eralesurIest:y(t)=C1y1(t)+C2y2(t)+g(t),(C?R), o`uy1ety2formentunebasedesolutionsdel"´equationhomog`ene. M´ethode devariationdelaconstante:utiliserlechangementdefonction inconnue y(t)=C1(t)y1(t)+C2(t)y2(t), o`uy1ety2formeunebasedesolutiondel"´equationhomog`ene;avecl"´equation additionnelle: C ?1(t)y1(t)+C?2(t)y2(t)=0, onobtientunsyst`emequid´etermineC?1etC?2. Proposition4.4.4.Aveclesnotationspr´ec´edentes,siona pourtoutt?I:®y1(t)C?1(t)+y2(t)C?2(t)=0
y ?1(t)C?1(t)+y?2(t)C?2(t)=c(t) alorsg(t)=C1(t)y1(t)+C2(t)y2(t),estunesolutionparticuli`ere.Remarque4.4.5.Led´eterminant
w(t)=? ?y1(t)y2(t)
y ?1(t)y?2(t)? s"appelle led´eterminantwronskien.Silessolutionsy1ety2sont ind´ependantes,ilnes"annullepas.Exemples4.4.6.a)y??+2y=x2et,
y(t)=C1cos⎷2t+C2sin⎷2t+(12t2-12t+14)et.
b)y??+2y=2t2+1,y(t)=C1cos⎷2t+C2sin⎷2t+32t2-1. c)y??-4y?+4y=e2t,y(t)=t22e2t+(k2t+k1)e2t
d)y??+4y=cos2t,y(t)=C1cos2t+C2sin2t+14tsin2t.
Remarque4.4.7.Lam´ethode devariationdesconstantespermetder´esoudre danschaquecas.Onpeutsouvents"attendre`aunesolutionparticuli`eredont laformeestdict´eeparlesecondmembre. 19 Exemple4.4.8.Dansl"exemplepr´ec´edentc),enremarquantquel"exponen- tielledusecondmembreauncoefficientquiestracinedouble,oncherche: g(t)=at2e2t, g ?(t)=(2at2+2at)e2t, g ??(t)=(4at2+8at+2a)e2t,Laconditionser´eduit`a:2a=1i.e.a=1
2.4.4.3R´esolutionformelleavecsage
from sage.calculus.desolversimportdesolve t=var("t") y=function("y",t) de=diff(y,t,2)-4*diff(y,t,1)+4*y==e^(2*t) desolve(de,y)4.5Exemplesd"´equationsdiff´erentielles
g´en´eralesetdem´ethodes Changementdefonctioninconnue,raccordementdesolutions:exemples.4.6R´esolutionnum´eriquedes´equations
diff´erentielles4.6.1M´ethoded"Euler
Onconsid`eresurl"intervalle[a,b] l"´equationdiff´erentielleavecconditionini- tiale: y ?=f(t,y),y(a)=y0. L"intervalle[a,b]estsubdivis´eennintervallesdetailleh=b-a n:tk=a+kh. Lam´ethoded"Eulerapproximelavaleurdelasolutionentk,par: y k=yk-1+hf(tk-1,yk-1). 204.6.2M´ethode deRunge-Kutta
Aveclesmˆemeshypoth`esesquepr´ec´edemment,oncalculed"abord: z k=yk-1+hf(tk-1,yk-1), puisl"approximation: y k=yk-1+hf(tk-1,yk-1)+f(tk,zk) 2. 21quotesdbs_dbs24.pdfusesText_30
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