[PDF] Informatique en PCSI et MPSI Champollion 2013-2014 Méthodes d

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A. Hassan@ChampollionPCSI-MPSI - 1

Informatique en PCSI et MPSI

Champollion 2013-2014

Méthodes d"Analyse Numérique

Implémentation et Application en Python

Équations différentielles ordinaires

A. HASSAN

19 février 2014

Résolution des équation différentielles

ordinaires (EDO)

Résolution des équation

différentielles ordinaires

(EDO)Le ProblèmeLe Problème (suite)Problème de CauchyMéthodes de résolution:Ordres 1 et 2Méthode d"Euler ou RK1(Runge-Kutta d"ordre 1)Implémentation del"algorithme d"EulerImplémentation de laméthode d"Euler enPythonRunge Kutta d"ordre 4(RK4)Méthode de Runge-Kuttad"ordre 4 en PythonMéthode de Runge-Kuttad"ordre 4 en PythonUtilisation de lacommande

odeintdu module scipy.integrate

Commandeodeint(suite)

Exercice: L"équation de

Van Der Pol (1924)

Implémentation en Python

Exploitation graphique

Exploitation graphique:

Champs de vecteurs

Solution

A. Hassan@ChampollionPCSI-MPSI - 2

Le Problème

A. Hassan@ChampollionPCSI-MPSI - 3

SoitIun intervalle deR,Dun ouvert deRnetfune fonctionconnuede R n×I-→Rn. On cherchey:I→Rntelle que y ?(t) =f(y(t);t)oùf(y(t);t) =???f

1(y1(t),···,yn(t);t)

f n(y1(t),···,yn(t);t)??? ety(t) =???y 1(t) y n(t)??? Ce type d"équations s"appelleÉquation résolue eny?. Par contre sin(t.y?+cos(y?+y)) =t.y+y?n"est pas résolue eny?. I.e. Impossible d"écrirey?=f(t,y)(avoiry?explicitement en fonction detety) Ordinaire: la dérivation est effectuée par rapport àtuniquement. Équation aux dérivées partielles(EDP) :∂T ∂t=∂2T ∂x2+∂2T ∂y2, fonction inconnue T(t,x,y)(Équation de la chaleur ou de la diffusion)

Le Problème (suite)

A. Hassan@ChampollionPCSI-MPSI - 4

Problème de Cauchy(ou de la condition initiale) :

Trouvert?→y(t) =???y

1(t) y n(t)??? deI-→Rntelle que y(t0) =y0 y?(t) =f(y(t);t)

Problème des conditions aux limites:

Cas où l"on dispose d"informations suryà des valeurs différentes det.

Conditions initiales Conditions aux limites

?y ?1(t) =-y1(t) +y2(t) +sin(t) y ?2(t) =2y1(t)-3y2(t) (y1(0);y2(0)) = (0,3)???????y ?1(t) =-y1(t) +y2(t) +sin(t) y ?2(t) =2y1(t)-3y2(t) y

1(0) =2

y

2(π

4) =-1

Problème de Cauchy

Résolution des équation

différentielles ordinaires (EDO)

Le Problème

Le Problème (suite)Problème de CauchyMéthodes de résolution:Ordres 1 et 2Méthode d"Euler ou RK1(Runge-Kutta d"ordre 1)Implémentation del"algorithme d"EulerImplémentation de laméthode d"Euler enPythonRunge Kutta d"ordre 4(RK4)Méthode de Runge-Kuttad"ordre 4 en PythonMéthode de Runge-Kuttad"ordre 4 en PythonUtilisation de lacommande

odeintdu module scipy.integrate

Commandeodeint(suite)

Exercice: L"équation de

Van Der Pol (1924)

Implémentation en Python

Exploitation graphique

Exploitation graphique:

Champs de vecteurs

Solution

A. Hassan@ChampollionPCSI-MPSI - 5

Sauf quelques cas particuliers, il est presque impossible de trouver des solutions analytiques(i.e. se ramener à un calcul de primitives). On cherche des solutions approchées, donc Résolutions numériques. Principe: Si l"on connaîtyà l"instant (abscisse)t, comment obteniryà l"instantt+h,y(t+h), puis recommencer avec y(t+h)? Choisirhassez petit et utiliser les Développements limités y(t+h) =y(t) +hy?(t) +1

2h2y??(t) +···+o(hn)y?(t)=f(t,y(t)===========?

=y(t) +Φ(t,h,f(y,t)) +o(hn) On chercheΦ(t,h,f(y,t))de telle sorte l"ordre deo(hn)soit le plus élevé possible (en minimisant le coût et la complexité des calculs).

Méthodes de résolution : Ordres 1 et 2

Résolution des équation

différentielles ordinaires (EDO)

Le Problème

Le Problème (suite)

Problème de CauchyMéthodes de résolution:Ordres 1 et 2Méthode d"Euler ou RK1(Runge-Kutta d"ordre 1)Implémentation del"algorithme d"EulerImplémentation de laméthode d"Euler enPythonRunge Kutta d"ordre 4(RK4)Méthode de Runge-Kuttad"ordre 4 en PythonMéthode de Runge-Kuttad"ordre 4 en PythonUtilisation de lacommande

odeintdu module scipy.integrate

Commandeodeint(suite)

Exercice: L"équation de

Van Der Pol (1924)

Implémentation en Python

Exploitation graphique

Exploitation graphique:

Champs de vecteurs

Solution

A. Hassan@ChampollionPCSI-MPSI - 6

•Leplus souventh= (tf-t0)/Noù[t0;tf]désigne l"intervalle de résolution etNle nombre de sous-intervalles. •Sinon: On considèreT={t0;t1;···;tn-1;tn}et h i= (ti+1-ti) Ainsiy(t)est l"estimation courante entety(t+h)l"estimation au pas suivant Pourn=1?Méthode d"Euler (ou Runge Kutta d"ordre 1). y(t+h)≈y(t) +hf(t,y(t))

Pourn=2?Méthode de Runge Kutta d"ordre 2.

K

1=h.f(t,y(t))

K

2=h.f(t+1

2h;1

2K1+y(t))

y(t+h)≈y(t) +K2

Méthode d"Euler ou RK1 (Runge-Kutta d"ordre 1)

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Principe de la méthode:

Chercher une solution approchée de?y?=f(t;y)

y

0=y(t0)sur l"intervalleI= [t0;tf]

pas d"intégration :h= (tf-t0

N)où

h= (ti+1-ti)?y(ti+h)≈y(ti) +hi.f(y(ti),ti) Géométriquement: Remplacer la courbe sur[ti;ti+h]par la tangente. SiMn(tn;yn)est le point courant de la courbe "solution", le nouveau point : M n+1(tn+h;yn+hf(tn,yn)). hn δy erreur commise y n t ntn+1

Résolution des équationdifférentielles ordinaires(EDO)Le ProblèmeLe Problème (suite)Problème de CauchyMéthodes de résolution:Ordres 1 et 2Méthode d"Euler ou RK1(Runge-Kutta d"ordre 1)Implémentation del"algorithme d"EulerImplémentation de laméthode d"Euler enPythonRunge Kutta d"ordre 4(RK4)Méthode de Runge-Kuttad"ordre 4 en PythonMéthode de Runge-Kuttad"ordre 4 en PythonUtilisation de lacommande

odeintdu module scipy.integrate

Commandeodeint(suite)

Exercice: L"équation de

Van Der Pol (1924)

Implémentation en Python

Exploitation graphique

Exploitation graphique:

Champs de vecteurs

Solution

A. Hassan@ChampollionPCSI-MPSI - 8

Algorithme d"Euler(Runge Kutta d"ordre un)Euler(f,y0,t0,tf,N)

Entrées:ffonction données

(t0;y0)point initial t fabscisse final

Nnombre de points de[t0;tf]

Sorties:Lyliste des ordonnéesyk,k=0;1;···;N h←(tf-t0)

NLy←y0,Lt←t0

pourk de1à Nfaire y0←y0+h.f(t0,y0) t

0←t0+h

L y←Ly,y0; # stocker les solutions L t←Lt,t0# stocker les abscisses retournerLyet Lt

Implémentation de l"algorithme d"Euler

Résolution des équation

différentielles ordinaires (EDO)

Le Problème

Le Problème (suite)

Problème de Cauchy

Méthodes de résolution:

Ordres 1 et 2

Méthode d"Euler ou RK1

(Runge-Kutta d"ordre 1)Implémentation del"algorithme d"EulerImplémentation de laméthode d"Euler enPythonRunge Kutta d"ordre 4(RK4)Méthode de Runge-Kuttad"ordre 4 en PythonMéthode de Runge-Kuttad"ordre 4 en PythonUtilisation de lacommande

odeintdu module scipy.integrate

Commandeodeint(suite)

Exercice: L"équation de

Van Der Pol (1924)

Implémentation en Python

Exploitation graphique

Exploitation graphique:

Champs de vecteurs

Solution

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1. On charge les modules

numpy(ou scipy) pour les calculs numériques et matp?ot?ib.pyp?ot(ou py?ab) pour les graphiques.

2. La fonction(y;t)?→f(y;t)est définie au préalable.

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