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Pierre-Jean Hormière

Exercices corrigés sur les séries numériques __________ " Il me faut beaucoup travailler pour rester médiocre. »

Woody Allen

De Cauchy à nos jours, les séries restent au coeur du cours de taupe et fournissent, année après

année, leur lot d"exercices et de problèmes de concours. Les exercices ici présentés ont été posés

récemment, et sont résolus dans un style moderne.

Il y a deux façons de traiter les exercices portant sur la convergence et le calcul d"une série : soit on

montre la convergence avant de calculer la somme, soit on mène les deux de front, mais cela oblige à

manipuler avce soin les sommes partielles. J"ai privilégié ici la première démarche.

Depuis le déclin des critères de convergence, aujourd"hui relégués au grenier des exercices, de

nombreux exercices sur la nature d"une série ne sont qu"un prétexte pour demander un équivalent, ou

un développement asymptotique, du terme général. Dans les solutions proposées, les encadrement intégraux de sommes du type =n kkf

1)( ou ∑

+=1)( nkkf,

lorsque f est monotone, sont invoqués sommairement. Il est demandé au lecteur de les justifier avec

soin, car ils ne donnent pas toujours d"équivalent.

Il s"agit d"un document de synthèse, certains exercices se référant à des chapitres vus après les

séries numériques : séries entières, séries de Fourier, etc.

Aussi souvent que possible, j"ai donné plusieurs méthodes, plusieurs voies d"approche, car

nombreux sont les chemins qui conduisent au Vrai et au Beau. Aussi curieux que cela paraisse, ce sont parfois les solutions les plus simples qui se sont imposées à mon esprit le plus tard. ____________ Louis Augustin Cauchy (1789-1857) Niels Henryk Abel (1802-1829) 2

Enoncés

Exercice 1

: Natures des séries ∑

2)1ln1(

nnnn , ∑

1))11((

nnne , ∑

1)1²exp(

nn , ∑ =2ln )(lnnnnnn

1)1²1²(

nnnnn , ∑ =1

²sin.1nnn , ∑

=12/3sin nnn , ∑ =1nnu où un = )12ln(+n - )2ln(n. =1nnu où un = ∫ ++nxxdx13 , un = an1∫ +nxdx671 , un = an1∫¥-++ n xxdx1² , u n = ∫+ ndxx x/ 03.1 sinp , un = ∫-- 1 /11 5 1 antdt ( a > 0 ) .

Exercice 2

: Discuter la nature de ∑ =3 lnln.ln.1ncbannn . Généraliser.

Exercice 3

: Discuter selon les valeurs des réels a, b et c la nature de la série ∑ =0nnu, où : u n = 1²++nn - 33²cbnann+++.

Exercice 4

: Discuter selon les valeurs des complexes a, b et c la nature de la série ∑

0nnu, où :

u n = a.ln(n + 3) + b.ln(n + 2) + c.ln(n + 1) . Calcul éventuel.

Exercice 5

: Discuter la nature des séries ∑

0nnnu et ∑

0nnnv, où n0 est assez grand et :

u n = sin(2pbann++² ) , vn = sin(pbann++² ) .

Exercice 6

: Discuter selon les valeurs de a la nature de la série ∑

2nnu, où

u n = ∑

££nkak

1

1 , resp. un = ∑

££nkakn

1²ln.

Exercice 7

: Soient P et Q deux polynômes complexes, Q ¹ 0.

Discuter la nature des séries

=an nQnP )()( et ∑ annnQnP )()(.)1(, où a est assez grand.

Exercice 8

: Convergence et calcul de ))2ln(.ln)1²(lnln(

2∑

++nnnn.

Exercice 9

: Convergence et calcul de S(p) = ∑ ++1))...(1(1npnnn, p entier ³ 1.

Exercice 10

: Convergence et calcul de ∑ +++0)34)(24)(14(1nnnn.

Exercice 11

: Convergence et calcul de +++1...211nn , ∑ +++-1...21)1(nnn , ∑ +++1²...²2²11nn , ∑

1²...²2²1)1(nnn.

3 Exercice 12 : Pour tout n Î N*, on pose an = ∑ +nknkk)(1. Existence de cette suite. Equivalent quand n ® +¥.

Exercice 13

: Soit (fn) la suite de Fibonacci f0 = 0 , f1 = 1 , fn+2 = fn+1 + fn.

Existence et calcul de

1 11 n nnn fff.

Montrer que "n Î N f

n+12 - fn fn+2 = (-1)n et "n Î N* 1 )1( nnnff = nnff 1+ - 12 nnff.

Existence et calcul de

11 )1( nnnnff.

Exercice 14

: Soit (un) la suite définie par u0 > 1, un+1 = un2 - un + 1. Existence et calcul de ∑ =01 nnu.

Exercice 15

: Convergence et calcul de

12/)1(

)1( nnn .

Exercice 16

: Convergence et calcul de ∑ -+0))1(3(²kkk k et ∑ -+0)1(

3²kk

kk .

Exercice 17

: Existence et calcul de ∑ ∑ -++112

21)22)(12(1np

n n pppn.

Exercice 18

: Existence et calcul de ∑ +++-1)1)...(21)(11()!1(nnn.

Exercice 18 bis

: Soient (an) une suite à termes > 0, et un = )1)...(1)(1(10nnaaaa

1) Montrer que

=0nnu converge. Exemple : an = 11 +n.

2) Montrer que

=0nnu = 1 Û ∑ =0nna diverge, et que ∑ =0nnu < 1 Û ∑ =0nna converge.

Exercice 19

: Montrer, pour tout entier naturel k, la convergence de la série S(k) = ∑ =0 !nknn. Calculer S(k) pour 0 £ k £ 5. Montrer que pour tout k, S(k) est irrationnel.

Exercice 20

: Convergence et somme de la série ∑ +0)23(31nnn.

Exercice 21

: Soient m un entier ³ 2, x un complexe,

S(x) = 1 +

21 + ... + 11-m - mx + 11+m + ... + 121-m - mx2 + ...

Montrer qu"il y a une seule valeur de x pour laquelle la série converge. Calculer alors S(x).

Exercice 22

: Soit (pn)n³1 une suite complexe T-périodique (T Î N*).

Montrer que la série

=1nn np converge si et seulement si ∑ =T k kp

1 = 0.

Exercice 23

: Convergence et calcul de ∑ =11 nn([1+n] - [n]). 4 Exercice 24 : Soit a un entier fixé ³ 2. Convergence et calcul de ∑ +-1)1()/(nnnanaEn.

Exercice 25

: On note s(n) le nombre de chiffres dans le développement binaire de n, et b(n) le nombre de 1 dans ce développement. Convergence et calcul des séries +1)1()(nnnns et ∑ +1)1()(nnnnb.

Exercice 26

: Convergence et calcul de ∑ -11²91nn. [ On pourra utiliser ∫ 1

0.dtta = 11+a pour a > -1 ]

Exercice 27 : Pour p Î N*, soit S(p) = ∑

+0)8(161kkpk. Ecrire S(p) sous forme intégrale, puis calculer 4 S(1) - 2 S(4) - S(5) - S(6).

Exercice 28

: Soient q et x deux complexes, |q| ¹ 1. Convergence et calcul de ∑ ++01)1)(1(nnnnxqxqxq.

Exercice 29

: Natures des séries ∑ =1nnu et ∑ =1nnv, où un = ∑ =nk k²1 et vn = (∑ =nk k²1).exp(-∑ =n kk1 1) .

Exercice 30

: Nature de la série ∑

1nne. Equivalent du reste.

Exercice 31

: Nature de la série ∑ =2nnu, où un = n²ln...2²ln1²ln1+++. Equivalent du reste.

Exercice 32

: Nature de la série ∑ 1ln nne. Equivalent de la somme partielle.

Exercice 33

: Nature de la série ∑ 1)1( nnn. Equivalent de la somme partielle.

Exercice 34

: Nature de la série de terme général un = ∫ 2/

0ln².)(cos

pdxxnn.

Exercice 35

: 1) Développement à deux termes de la suite Sn = ∑ =n kkk1 ln.

2) Convergence et calcul de la série

2 ln)1( nnnn.

Exercice 36

: 1) Limite et équivalent de la suite sin(n!ep).

2) Nature de la série

=0nnu, où un = (∑ =n kk0!1).(∑ -n kk k0!)1() - 1 .

Exercice 37

: Soient x et y > 0. Discuter la nature de la série ∑ =1n )1)...(12)(1()1)...(12)(1( nyyynxxx .

Exercice 38

: 1) Equivalent de la suite Pn = ( a + 1 )( a + 2 ) ... ( a + n ), pour a ³ 0.

2) Soient a et b > 0. Discuter la nature de la série

++++0))...(1())...(1(nnbbbnaaa. Somme éventuelle.

Exercice 39

: Soient a et b > 0. Trouver lim n®+¥ n1Õ n k nbka

1/1)(.

5

Application : Soient An et Gn les moyennes arithmétique et géométrique de a + b, a + 2b, ..., a + nb.

Trouver la limite de la suite (G

n/An) quand n ® +¥.

Exercice 40

: Equivalents et développements à deux termes des suites : A n = ∑ +=n nkk 2

11 , Bn = ∑

+=n nkk 2

11 et Cn = ∑

+=n nkk 2 1

²1.

Exercice 41

: Limite de la suite Sn = n1∑

£<£njiij1

1.

Exercice 42

: Equivalent de la suite Sn = ∑∑ n pn q qppq1 1.

Exercice 43

: 1) On admet que, si (pk) est la suite des nombres premiers rangés dans l"ordre croissant, p k ~ k.ln k. Nature de la série ∑ =11 kkp. Equivalent de ∑ =n i ip1 1.

2) On admet que p(x)

~ xxln quand x ® +¥, où p(x) est le nombre des nombres premiers £ x.

Démontrer que p

k ~ k.ln k.

Exercice 44

: Nature de ∑ =1nnu, où un = ∫ 1.dxe nx.

Exercice 45

: Natures des séries ∑ +++++0)!1(!...!2!1!0nnn et ∑ +-+++-0)!1(!)1(...!2!1!0nnnn.

Exercice 46

: Nature de ∑ =2nnu, où un = ))1(1( 2Õ -+n kk k.

Exercice 47

: Pour quelles valeurs de a > 0 la série )2)...(2)(2(/ 12/n neeeaaa---∑ = converge-t-elle ?

Exercice 48

: Soit f Î C(R+, R). On suppose que "k $(a

0, a1, ..., ak) Î Rk+1 f(x) = a0 + xa

1+ ... + kkxa + o(11

+kx) quand x ® +¥.

A quelles conditions : a) La série

³1)(

nnf converge ? b) Le produit infini Õ

³1)(

nnf converge ? c) La série de terme général u n = Õ

££nkkf

1)( converge ? Retrouver l"ex. précédent.

Exercice 49

: Soit (un) une suite de réels ³ 0. Montrer que les séries ∑nu et ∑+)1ln(nu sont de

même nature. Montrer qu"il n"en est plus de même si (u n) n"est plus à termes ³ 0. [ Considérer u1 = 0 , un = n n)1(- pour n ³ 2 , puis un = -1 + exp n n)1(- pour n ³ 1. ]

Exercice 50 : Prouver que :

i) ln n! =

££nkk

1ln = ( n + 21) ln n - n + C + o(1)

ii)

££nkkk

1ln. = ( n2 + n + 61) 2lnn - 41n2 + C1 + o(1)

iii)

££nkk

1)!ln( = ( n2 + 2n + 21) 2lnn - 43n2 + ( C - 1) n + C2 + o(1)

6 Exercice 51 : Equivalent de la suite un = ( 11 ´ 22 ´ 33 ´ ... ´ nn )1/n .

Exercice 52

: Equivalent de la suite Sn = ∑ =n k kk 1ln2.

Exercice 53

: Etude des suites A n = 1 + 21 + ... + n1 - 2n Bn = 1 + a21+ ... + an1 - an a 1 1 (0 < a < 1) S n = th 1 + th 2 + ... + th n - ln ch n Tn = 2ln21 + 3ln31 + ... + nnln1 - ln(ln n) .

Exercice 54

: constantes de Stieltjes.

Montrer que pour tout entier p Î N, la suite U

n = ∑ =n kpkk1 ln - 1ln 1 pn p converge. Sa limite est dite constante de Stieltjes d"indice p, et notée g p . Équivalent de Un - gp ? Cas où p = 0 ?

Exercice 55

: suites récurrentes linéaires. Soit (an) une suite à termes > 0, tendant vers +¥. Montrer que les suites récurrentes vérifiant ("n) u n+2 = nn nnauau++ +1.

1 forment un plan vectoriel, et sont

toutes convergentes.

Exercice 56

: règles de d"Alembert et de Cauchy.

1) Complément à la règle de d"Alembert

Soit =0nnu une série à termes > 0 . Soient L = limsupnquotesdbs_dbs19.pdfusesText_25

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