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Aix-Marseille Université Séries et applications

Anneé Universitaire 2016-2017 L2 SPIExercices pour réviser : séries, séries entières, séries de Fourier

Séries numériques

Exercice 1.

Déterminer la nature des séries suivantes

(1) n≥1n+ 1n 3(2)? n≥1cos(n)n 2(3)? n≥1(n+ 3)sin(n)n(n+ 1)2 (4) n≥1n+ 5n!(n+ 4)(5)? n≥1n

5n!(6)?

n≥1(n+ 2)5n! (7) n≥1ln(n)n 3(8)? n≥12-cos(n)⎷n (9)? n≥1(e-n+ 1) (10) n≥111 + 2 n(11)? n≥11n tan?1n (12)? n≥1ln? ????cos(2n (13) n≥12 -n3 n+ 2(14)? n≥11log(n2+n+ 1)(15)? n≥1(ln(n))-n

Correction

1. On a une série à termes p ositifs.Un équiv alentdu terme général est n+1n

3≂nn

3=1n 2.

Or la série?

n≥11n

2est une série de Riemann convergente car son paramètreα= 2>

1. Donc d"après le critère par équivalent?

n≥1n+ 1n

3converge.

2. Le terme général de cette série n"est plus toujours p ositif,mais on p eutétudier la convergence absolue. Or ?????cos(n)n 2? 2.

La série

n≥11n

2est une série de Riemann convergente car son paramètreα= 2>1.

Donc d"après le critère par comparaison

n≥1cos(n)n

2est absolument convergente

donc convergente. 3. de même que préc edemmento nétudie l"absolue con vergencede la série. ?????(n+ 3)sin(n)n(n+ 1)2? Or

?n+3n(n+1)2est une série à termes positifs et son terme général vérifien+3n(n+1)2≂

nn.n 2=1n

2Or la série?

n≥11n

2est une série de Riemann convergente car son paramètre

α= 2>1. Donc d"après le critère par équivalent?n+3n(n+1)2converge. Par le critère par comparaison, du fait que la série de terme général n+3n(n+1)2converge, n≥1(n+ 3)sin(n)n(n+ 1)2converge absolument, donc converge. 4. On a une série à terme p ositif.Du fait de la présence de la factorielle, on c hoisit d"appliquer le critère de d"Alembert pour les séries numériques. On noteun= n+5n!(n+4)et on calcule u n+1u n=n+ 1 + 5(n+ 1)!(n+ 1 + 4)×n!(n+ 4)n+ 5 (n+ 6)(n+ 4)(n+ 1)(n+ 5)2

On voit que

un+1u n=n2(1 +6n )(1 +4n )n

3(1 +1n

)(1 +5n )2=(1 +6n )(1 +4n )n(1 +1n )(1 +5n )2. Doncun+1u n→0<1.

Donc d"après le critère de d"Alembert

?unconverge. 5. On a une série à terme p ositif.Du fait de la présence de la factorielle, on c hoisit d"appliquer le critère de d"Alembert pour les séries numériques. On noteun=n5n!et on calcule u n+1u n=(n+ 1)5(n+ 1)!n!n

5=(n+ 1)5n

5(n+ 1)

(1 +1n )5n+ 1

On voit que

un+1u n=→0<1. Donc d"après le critère de d"Alembert?unconverge. 6. On applique une nouv ellefois le critère de d"Alem berten p osantun=(n+2)5n!on calcule u n+1u n=(n+ 1 + 2)5(n+ 1)!n!(n+ 2)5=(n+ 3)5(n+ 2)51n+ 1

Or comme précédemment on a

(n+3)5(n+2)5→1et doncun+1u n→0<1. Par le le critère de d"Alembert pour les séries numériques ?unconverge. 7. 3=1n

2. Or la série?

n≥11n

2est une

série de Riemann de paramètreα= 2>1, donc elle converge.

Donc par le critère par comparaison

n≥1ln(n)n

3converge.2

8.On a

1⎷n

On a donc le terme général de la série qu"on étudie qui est positif d"une part.

D"autre part

n≥11⎷n est une série de Riemann de paramètreα=12 <1, donc elle diverge. Donc par le critère par comparaison des séries à terme positif la série n≥12-cos(n)⎷n diverge. 9.

P ourn→+∞e-n+ 1→1care-n→0.

Donc le terme général de cette série ne tend pas vers0. Donc la série diverge. 10. n= 2-n. La série? n≥02-nest une série géométrique de paramètrer= 2-1=12 <1, donc elle converge. Par le critère par comparaison des séries à terme général positif,? n≥011+2 nconverge. 11. p ourxau voisinage de0on atan(x)≂x, donctan?1n ?≂1n et donc1n tan?1n ?≂1n 2.

Or la série

n≥11n

2est une série de Riemann de paramètreα= 2>1, donc elle

converge. Par le critère par équivalent des séries à terme général positif,? n≥11n tan?1n ?converge. 12. p ourxproche de0on acos(x)-1≂-x22 et on a aussiln(f(x)+1)≂f(x)sif(x) est proche de0.

Or on peut écrireln???cos(2n

)???= ln???cos(2n )-1 + 1???. Comme2n →0on a donc cos( 2n )-1≂-2n 2.

Pournassez grandcos(2n

)-1 + 1≂1-2n

2>0, donc on peut enlever les valeurs

absolues.

Donc vu que

-2n

2→0on a

ln ????cos(2n )????= ln????cos(2n )-1 + 1???? ≂cos(2n )-1≂ -2n 2

Or la série-2?

n≥11n

2est une série de Riemann de paramètreα= 2>1, donc elle

converge.3 Par le critère par équivalent des séries à terme général de signe constant (ici le terme général est négatif),? n≥1ln???cos(2n )-1 + 1???converge. 13.

On p eutma jorer

2-n3 n+2<2-n3 n= 2-n3-n= 6-n. Or la série? n≥06-nest une série géométrique de paramètrer= 6-1=16 <1. Donc elle converge. Par le critère par comparaison des séries à terme général positif la série n≥02 -n3 n+1 converge. 14. lim n→+∞ln(n2+n+1)n = 0car la puissance denl"emporte surln.

Donc on a

1ln(n2+n+1)≥1n

Or n≥11n diverge car c"est une série de Riemann de paramètreα= 1, donc par le critère par comparaison des séries à terme général positif, n≥11ln(n2+n+1)diverge. 15. On utilise ici le critère de Cauc hy.En effet en p osantun= (ln(n)-non au1/nn= ln(n)-1→0. Donc le critère de Cauchy pour les séries à terme général positif donne que n≥2ln(n)-n converge.

Exercice 2.

On fixeα?R.

Indiquer en fonction deαsi les séries suivantes convergent absolument en distinguant selon les valeurs du paramètreα. (1) n≥02-neinα(2)? n≥12 nn

2sin2n(α)(3)?

n≥1n1 +n3α (4) n≥1en(α-n)(5)? n≥1ne-nα(6)? n≥1α 2+nn 2 1. On regarde la con vergenceabsolue de la sér ie.On a |2-neinα|= 2-n. C"est le terme général d"une série géométrique de paramètrer= 2-1=12 <1, et donc elle converge. Donc? n≥02-neinαconverge absolument. Donc n≥02-neinαconverge pour toute valeur deα. 2. Si sin(α) = 0alors le terme général de la série n"est pas défini, donc siα=kπ pourk?Zle terme général n"est pas défini. D"autre part appliquons maintenant le critère de Cauchy et calculons en posant u n=2nn

2sin2n(α)>0la limite deu1/nn.4

On au1/nn=2n

2/nsin2(α). Orn2/n=e2ln(n)n

→e0= 1.

Donclimn→+∞u1/nn=2sin

2(α)≥2>1.

Par le critère de Cauchy la série diverge donc pour toute valeur deα. 3. P ourα= 0on a le terme général qui vautn1+n3α=n→+∞. Donc le terme général ne tend pas vers0et la série diverge.

P ourα?= 0on an1+n3α≂nαn

3=1α

1n 2.

Or la série

1α n≥11n

2est une série du type Riemann de paramètreα= 2>1,

donc elle converge. Donc par le critère par équivalent la série n≥1n1+n3αconverge. 4. On applique le critère de Cauc hysur le terme génér alde cette série en no tant u n=en(α-n). On obtientu1/nn=eα-n→0carα-n→ -∞.

Donc par le critère de Cauchy

?unconverge quelle que soit la valeur deα. 5. De même on applique le critère de Cauc hycette fois sur un=ne-nα. On au1/nn= n

1/ne-α. Or vu quen1/n=eln(n)n

→e0= 1on au1/nn→e-α.

On a donc

P ourα <0alorse-α>1et la série diverge d"après le critère de Cauchy. P ourα >0alorse-α>1et la série converge d"après le critère de Cauchy. P ourα= 0alorse-α= 1et on ne peut pas conclure avec le critère de Cauchy. Cependant on remarque que dans ce casun=ne-nα=n→+∞, donc la série diverge vu que son terme général ne tend pas vers0. 6.

On a l"é quivalent

α2+nn

2≂nn

2=1n . Or la série? n≥11n diverge car c"est une série de

Riemann de paramètreα= 1.

Donc par le critère par équivalent

n≥1α 2+nn

2diverge.

Séries entières

Exercice 3.

Déterminer le rayon de convergence des séries entières suivantes (1) n≥1z nn 2(2)? n≥1nnzn(3)? n≥1z2n (4) n≥1ln(n)⎷n zn(5)? n≥1n(n-1)zn(6)? n≥02 n-3n5 nzn5

Correction :

(1)

La série est du t ype

n≥0anznavecan=1n

2pourn≥1eta0= 0. Appliquons le

critère de d"Alembert pour le calcul du rayon de convergence.

Cela donne

???a n+1a n? ???=1(n+ 1)2×n21 =n2(n+ 1)2=n2n 2?1n + 1? 2=1? 1n + 1? 2 On a 1( 1n +1)2→1quandn→+∞. Donc an+1a n→1etR= 1. (2)

L asérie est du t ype

n≥0anznavecan=nnpourn≥1eta0= 0. Appliquons le critère de Cauchy pour le calcul du rayon de convergence. |an|1/n=n

Donclimn→+∞|an|1/n= +∞et doncR= 0.

(3)

La série est du t ype

k≥0akzkavecak= 1sik= 2nest pair et0sinon. Revenons à la définition du rayon de convergence et calculonsRtel que si|z|< Ralors? k≥0akzkconverge et tel que si|z|> Rla série diverge. Remarquons que àzfixé la série est du type? n≥1(z2)n. Il s"agit donc d"une série géométrique de paramètrez2. Elle converge si et seulement si|z|2<1c"est à dire si et seulement si|z|<1. Donc si|z|<1la série converge et si|z|>1la série diverge. DoncR= 1. (4)

L asérie est du t ype?

n≥0anznavecan=ln(n)⎷n pourn≥1eta0= 0. Appliquons le critère de d"Alembert pour le calcul du rayon de convergence. ???a n+1a n? ???=ln(n+ 1)⎷n+ 1⎷n ln(n) ln(n+ 1)ln(n)⎷n⎷n+ 1=ln(n(1 +1n+1))ln(n)⎷n⎷n ?1 + 1n ln(n) + ln?1 +1n+1?ln(n)1?1 + 1n

1 +ln?1 +1n+1?ln(n))

1?1 + 1n Or ln(1+1n+1)ln(n)→0quandn→+∞. Doncan+1a n→1quandn→+∞. DoncR= 1. (5)

La série est du t ype?

n≥0anznavecan=n(n-1)pourn≥1eta0= 0. Appliquons6 le critère de d"Alembert pour le calcul du rayon de convergence. ???a n+1a n? ???=(n+ 1)nn(n-1)=n+ 1n-1=n?1 +1n ?n ?1-1n =1 +1n 1-1n

Orlimn→+∞1+

1n 1-1n = 1. DoncR= 1. (6) Ici le plus s impleest de rev enirà la définition. Soit z?C. Examinons à quelle condition sur|z|la série converge. On a ???2n-3n5 nzn???=3n(1-2n3 n5 n|z|n≂3n5 n|z|nquandn→+∞.

La série

n≥13 n5 n|z|n=? n≥1? 35
|z|? nest une série géométrique de paramètre35 |z|qui converge si et seulement si 35
|z|<1c"est à dire si et seulement si|z|<53 . Donc R=53

Exercice 4.

Calculer le rayon de convergenceRde la série?

n≥0z

2n+12n+ 1. La série converge-t-elle

pourz=R?

Correction :

On remarque que la série qu"on examine est en fait la série primitive de? n≥0z2n. Cette série s"écrit aussi n≥0(z2)n. On reconnait une série géométrique de paramètrez2. Elle converge si et seulement si|z2|<1, c"est à dire|z|<1. DoncR= 1.

Comme les séries dérivée et séries primitives dans le cas des séries entières ont même

rayon de convergence on a doncR= 1.

Pourz=R= 1on examine donc?

n≥012n+ 1. C"est une série numérique du type? n≥0un avecun=12n+1. En particulier le terme général de la série est positif et toujours non nul. On voit bien que cette série ressemble à une série de Riemann de paramètreα= 1, donc surement divergente... D"après le critère par équivalent on a pourn→+∞12n+1≂12n. Or ?1n

diverge car c"est une série de Riemann de paramètreα= 1, et donc?12ndiverge, et par le critère par équivalent des séries à terme positif,?12n+1diverge.

Donc pourz=Rla série diverge.

Exercice 5.7

Calculer le rayon de convergenceRde la série?

n≥2nz nn

2-1. La série converge-t-elle pour

z=R?

Correction :

On remarque que la série est du type?

n≥2nz nn 2-1=? n≥2a nznavecan=nn

2-1etan?= 0.

Appliquons le critère de d"Alembert pour le calcul du rayon de convergence.

Cela donne

a n+1aquotesdbs_dbs30.pdfusesText_36

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