[PDF] Fiche de cours Séries numériques (12 & 19 septembre)

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L2 - cursus prepa.Fiche de coursSeries numeriques(12 & 19 septembre)Unesuite numeriqueest unefonctiondeN(oufn2N;nn0gpourn02N) dansK=Rpour

unesuite reelleouK=Cpour unesuite complexe. On note (un)n2N(ou (un)nn0) la suite determe generalun. L'ensemble des suites reelles, noteRN, est naturellement muni d'une structure deR-espace vectoriel. De m^eme, l'ensemble des suites complexesCNest unC-espace vectoriel.P ourK=RouC l'application :KN!KN (un)n2N7!(Sn)n2N;8n2N; Sn=nX k=0u k; est un isomorphisme dont la reciproque est donnee par (Sn)n2N7!(un)n2N;8n2N; un=SnSn1; u0=S0: Etant donnee une suite numerique (un)n2N, son image (Sn)n2Npardenit uneserie numerique, que l'on notePun. (On denit de facon analogue la serieP nn0unassociee a (un)nn0.) BLes nombresSnsont appelessommes partiellesde la seriePun.

BLeterme general d'une seriePunestun.

On dit qu'une seriePunestconvergentesi la suite de ses sommes partielles (Sn)n2Nconverge. La sommed'une serie numerique convergentePunest le nombre +1X n=0u n:= limn!+1n X k=0u k ou+1X n=n0u n:= limn!+1n X k=n0u kpour la serieX nn0u n et lereste d'ordre nest le nombreRn=+1X p=n+1u p: La suite (Rn)n2Ndes restes d'une serie convergente converge vers zero. Le terme general d'une serie convergente tend vers zero.Le f aitque ( un)n2Ntende vers zero ne sut paspour que Punsoit convergente (voir par exemple la serie harmonique). Uneserie telescopiqueX(vn+1vn) converge si et seulement si la suite (vn)n2Nconverge. Si c'est le cas, +1X n=n0(vn+1vn) = lim(vn)vn0. L'ensemble des series convergentes forme un espace vectoriel.

Une serie non convergente est ditedivergente. Lanatured'une serie est sa convergence ou sa divergence.

La somme d'une serie convergente et d'une serie divergente est divergente.La nature de la somme de deux series divergentes est indeterminee. Series a termes reels positifsUne serie a termes positif converge si et seulement si la suite de ses

sommes partielles estbornee.Theoreme de comparaison.Soient (un)n2Net (vn)n2Ndeux suites de nombres reels positifs.

Si l'une des conditions des suivantes est satisfaite il existeN2Ntel que pour toutnN,unvn, ouun=O(vn), en particulier siun=o(vn), (comparaison logarithmique) il existeN2Ntel que pour toutnN,un>0,vn>0 et u n+1=unvn+1=vn, et siPvnconverge alorsPunconverge, tandis que siPundiverge alorsPvndiverge.

Siunvnalors les seriesPunetPvnsont de m^eme nature.NB:Il faut savoirdenirles notions enrougeetd emontrerles enoncesen bleu .

L2 - cursus prepa.Fiche de coursSeries numeriques(12 & 19 septembre)Regle de d'Alembert: soit (un)n2Nune suite reelle pour laquelle il existeN02Ntel que pour

toutnN0,un>0. S'il existea <1 etN2Ntel que pour toutnN,un+1=una, en particulier si la suite (un+1=un)n2Nconverge vers` <1, alors la seriePunconverge. S'il existea1 etN2Ntel que pour toutnN,un+1=una, en particulier si la suite (un+1=un)n2Nconverge vers` >1, alors la seriePundiverge.Series de referenceLaserie harmoniqueX n11n diverge.

Uneserie de RiemannX

n11n converge si et seulement si >1.

Uneserie de BertrandX

n21n (lnn)converge si et seulement si >1 ou (= 1 et >1). Uneserie geometriqueXanconverge si et seulement sijaj<1.

La serie

Xann!converge quel que soita2R+, et en fait pour touta2C. Critere de CauchyUne serie numeriquePunest convergente si et seulement si8" >0;9N2N;8nN ;8p2N; n+pX k=nu k

":Series absolument convergentesUne serie numeriquePunestabsolument convergentesi la seriePjunjconverge.T outes erieabsolumen tcon vergenteest con vergente.La r eciproqueest fausse .

Comparaison des sommes partielles ou des restesSoient (an)n2Nune suite de nombres reels positifset (un)n2N2CN. Si la seriePandivergeon compare les sommes partielles :

Siun=O(an) alorsnX

k=0u k=O nX k=0a k . Siun=o(an) alorsnX k=0u k=o nX k=0a k Siun2R+(a partir d'un certain rang), etunanalorsnX k=0u knX k=0a k.

Si la serie

Panconvergeon compare les restes :

Siun=O(an) alors+1X

k=n+1u k=O +1X k=n+1a k . Siun=o(an) alors+1X k=n+1u k=o +1X k=n+1a k Siun2R+(a partir d'un certain rang), etunanalors+1X k=n+1u k+1X k=n+1a k.Theoreme des series alternees.Soit (vn)n2Nune suite reellemonotoneet convergeant vers zero. On noteun= (1)nvn. Alors laserie alterneePunconverge. De plus, son resteRnest

du signe deun+1et veriejRnj un+1pour toutn.Theoreme d'Abel.Soient (an)n2Net (bn)n2Ndes suites numeriques telles que la suite (An) des

sommes partielles dePansoit bornee, la suite (bn)n2Nconverge vers zero, et la seriePjbnbn+1j

converge. Alors la seriePanbnconverge.NB:Il faut savoirdenirles notions enrougeetd emontrerles enoncesen bleu .

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