[PDF] Chapitre 4 - Séries numériques - Cours

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Séries numériques

Plan du chapitreIC onvergenced "unesé rienumé rique............................2 A -

Génér alités

B -

S érieg éométrique

. .................................................3 II

Sé riesà t ermesp ositifs

A -

L esrègles de comp araisons

. .......................................3 B -

C omparaisonsér ies-intégrales

. ....................................4 III

Sé riesabsol umentconv ergentes

. ...............................4 IV

Dév eloppementdé cimald "unnombr erée l

. ....................4 V

M éthodes

A -

É tudierla con vergenced "unesér ie

.................................5 B -

E ncadreru nesomme av ecdes i ntégrales

. .........................6 Introduction L"objet de l"étude des séries numériques est de donner un sens à des sommes infi- nies de nombres réels ou de nombres complexes. Les premières traces d"utilisation d"une somme infinie remontent à l"antiquité lorsque Archimède a calculé l"aire de la surface comprise entre une parabole et une de ses cordes par la méthode d"ex- haustion. Ce dernier a implicitement démontré la relation Å1 X nAE114 nAE14

Å116

Å164

Å1256

Å¢¢¢AE13

Au cours du XIV

esiècle, Nicolas Oresme démontre que la série harmonique est di- vergente, ce que l"on peut reformuler intuitivement par Å1 X nAE11n

AE1Å12

Å13

Å14

Å¢¢¢AEÅ1.

mier à considérer des développements de fonctions trigonométriques sous forme de série. Par exemple, il a calculé les onze premières décimales du nombre¼en

établissant la formule

8x2[¡1,1], Arctan(x)AEx¡x33

Åx55

¡x77

Å¢¢¢AEÅ1X

nAE0(¡1)nx2nÅ12nÅ1.

Au XVII

esiècle, ces résultats sont redécouverts en Europe par James Gregory. Fi- nalement, en donnant la construction générale des séries portant son nom, Brook Taylor établit en 1715 un lien fructueux avec le calcul différentiel. En mathématiques, la notion de série nous permettra de définir de nouvelles fonc- tions en utilisant une somme infinie. Nous étudierons par exemple les séries en- tières et les séries de Fourier dans des chapitres ultérieurs. Ces dernières sont im- portantes en physique et en science de l"ingénieur : elles permettent de décompo- ser un signal périodique en une superposition de signaux sinusoïdaux. Dans ce chapitre, nous commencerons par donner un sens à la notion de somme infinie en définissant une série. Ensuite, nous étudierons quelques séries remar- quables et nous établirons des critères de convergences. 1/ 7 I -

C onvergenced "unesé rienu mérique

I.A -

Géné ralités

On fixe une suite (un)2KN.Définition(Sé rienumér ique): La série de terme généralun, notéeXun, est la

suite (Sn)2KNdéfinie par

8n2N,SnAEnX

kAE0u kAEu0Å¢¢¢Åun.

La suite (Sn) est appelée la suite des sommes partielles de la sérieXun.Définition(Sér ieco nvergenteet d ivergente): On dit que la sérieXunest

convergente si sa suite des sommes partielles (Sn) est convergente. Dans le cas

contraire, on dit que la série est divergente.Définition(Sommeetrested"unesérie):SiXunestunesérieconvergente,alors

(i) O nap pellesomm ed el asér iesa limite Set on noteSAEÅ1X nAE0u n. (ii) L er ested "ordren2Nde la série est le nombreRnAES¡SnAEÅ1X kAEnÅ1u k.Remarques 1 : a) S il asér iec ommenceà u ni ndicep2N, on noteraX n>pu n. b) S il asér ieest con vergente,sa somme est noté

Å1X

nAEpu n. c) L aconv ergenced "unes érien edépen dpas d espr emierst ermes.Exemples 1 : a)

L as érieX

n>0pnÅ1¡pnest divergente, car pour toutn2N, on a S nAEnX b)

L as érie

X n>014 nest convergente etÅ1X nAE014 nAE43 , car pour toutn2N, on a S nAEnX kAE014 kAEnX kAE0µ 14 k

.Proposition1 : Si la sérieXunconverge, alors la suite (un) converge vers 0.Définition( Divergencegr ossière): Si la suite (un) ne converge pas vers 0, on dit

que la sérieXundiverge grossièrement.Exemple 2 :Les sériesXnetX(¡1)ndivergent grossièrement.

ATTENTION :La réciproque est fausse! La suite (un) définie dans l"exemple 1a)

converge vers 0, mais nous avons montré queXunest divergente.Proposition (Linéarité de la somme): Soient (a,b)2K2et (vn)2KNune suite. Si

les sériesXunetXvnsont convergentes, alors la sérieX(aunÅbvn) est conver- gente et on a la relation Å1 X nAE0(aunÅbvn)AEaµ

Å1X

nAE0u

Åbµ

Å1X

nAE0v .Proposition2 : La suite (un) converge si et seulement si la sérieX(unÅ1¡un) converge.2/7

Définition

( Sériegé ométrique) : Pour toutq2C, la sérieXqns"appelle la série

géométrique de raisonq.Proposition3 : Soitq2C. La série géométriqueXqnconverge si et seulement si

on a l"inégalitéjqjÇ1. Dans ce cas, sa somme est Å1 X nAE0qnAE11¡q.Remarque 2 :Siq2CavecjqjÇ1 etp2N, on a plus généralementÅ1X nAEpqnAEqp1¡q.

Exemple 3 :Le sérieX

n>0µ 12 n est convergente et sa somme estÅ1X nAE0µ 12 n AE2. II -

Sé riesà t ermespositifs

II.A -

Le srè glesd eco mparaisonsLemme1 : Soit (un)2RNune suite positive. La sérieXunest convergente si et

seulement si sa suite des sommes partielles de la série est majoré.Théorème de comparaison N

o1: Soient (un),(vn)2RNdeux suites vérifiant l"in-

égalité 06un6vnpour toutn2N.

(i) S ila sér ieXvnconverge, alors la sérieXunconverge. (ii)

S ila sér ieXundiverge, alors la sérieXvndiverge.Remarque 3 :Dans le cas (i), on a en plus l"inégalitéÅ1X

nAE0u n6Å1X nAE0v n.Exemple 4 :On souhaite étudier la convergence de la sérieX n>0e

¡nnÅ1. Comme

etXe¡nconverge, on en déduit que la série X n>0e ¡nnÅ1est convergente par comparaison.Théorème de comparaison N o2: Soient (un),(vn)2RNdeux suites. On suppose que (un) est de signe constant au voisinage deÅ1et queun»Å1vn. On a alors

Xunconverge,Xvnconverge.Exemple 5 :On souhaite étudier la convergence de la sérieXsin¡2¡n¢. Comme

sin ¡2¡n¢»Å12¡n>0 etX2¡nconverge, on en déduit que la série

Xsin¡2¡n¢est convergente par comparaison.Proposition (Règle de d"Alembert): Soit (un)2RNune suite strictement positive

telle queunÅ1u (i)

S i`Ç1, alors la sérieXunconverge.

(ii)

S i`È1, alors la sérieXundiverge grossièrement.ATTENTION :Si`AE1, on ne peut pas dire si la série converge ou diverge.

Exemple 6 :On souhaite étudier la convergence de la sérieX1n!. En notantunle terme général de la sérieS, on aunÈ0 pour toutn2Net u nÅ1u donc la série X1n!est convergente par la règle de d"Alembert. 3/ 7 Théorème de comparaison séries-intégrales : Sif:[a,Å1[!Rest une fonction continue positive et décroissante, alors la sérieX n>af(n) et l"intégraleZ Å1 a f(t)dt sont de même nature.Remarques 4 : a) L ad émonstrationde ce th éorèmeest basé sur l "encadrementd "uneso mmepar des intégrales qui est expliqué dans la dernière partie du cours. b) C ommel acon vergenced "unesér ien edépen dpas de ses pr emierster mes,i l

suffit que les hypothèses surfsoit vérifiées au voisinage deÅ1.Définition(Sér ied eRiema nn): Poura2R, la sérieX

n>11n as"appelle une série de Riemann.Corollaire1 : Poura2R, la série de RiemannX n>11n aconverge si et seulement si on a l"inégalitéaÈ1.III -S ériesa bsolumentco nvergentes

On fixe une suite (un)2KN.Définition(C onvergenceabso lue): On dit que la sérieXunconverge absolu-

ment si la sérieXjunjconverge.Théorème1 : Si la sérieXunconverge absolument, alors elle converge.Exemple 7 :La sérieX

n>1(¡1)nn

2converge absolument, donc elle converge.ATTENTION :La réciproque du théorème précédent est fausse. Par exemple, on

peut montrer queX n>1(¡1)nn

converge, mais qu"elle ne converge pas absolument.Proposition (Inégalité triangulaire): SiXunest une série absolument conver-

gente, alors on a¯¯¯¯Å1 X nAE0u n¯

¯¯¯6Å1X

nAE0junj.IV -Dé veloppementd écimald "unnom breré el

Théorème

2 : Soitx2R. Il existe une unique suite (an)n2Nd"entiers vérifiant (ii)

L asu ite( an) n"est pas stationnaire en 9,

(iii)

O na xAEÅ1X

nAE0a n10¡n.Définition(Dév eloppementd écimald "unnom brer éel): La suite (an)n2Ns"ap- pelle le développement décimal du réelx.Remarques 5 : a) b) L ac ondition( ii) assure l"unicité du développement. En effet, on a la relation

0,999...AEÅ1X

nAE19¢10¡nAE9¢10¡11¡10¡1AE1,000....Théorème3:Soitx2R. Le nombrexest rationnel si et seulement si son dévelop-

pement décimal (an)n2Nest périodique à partir d"un certain rang.Exemple 8 :On a139108

AE1,28 703 703 703...

4/ 7 V.A -

É tudierla co nvergenced "unesé rie

On souhaite étudier le convergence d"une série

Xunoù (un)2KN.

Méthode : Étudier la convergence d"une série On essaye d"utiliser les différents résultats du cours dans l"ordre suivant. 1)

O nvér ifieq uel asu ite( un) converge vers 0.

Si ce n"est pas le cas, la série diverge grossièrement. 2)

U né quivalentde unou dejunj,

3)

U nein égalitéav ecunou avecjunj,

4)

La règle de d "Alembertav ecjunj,

5)

U nec omparaisons érie-intégrale.

des limites, on a limn!Å1e1/nAE1, donc la sérieXe1/ndiverge grossièrement. Exemple 10 :Nous allons étudier la convergence de la sérieX(¡1)nn

2Å1. On a

¯¯¯(¡1)nn

2Å1¯

¯¯¯»Å11n

2>0, or X1n

2est une série de Riemann convergente, donc la sérieX(¡1)nn

2Å1converge

absolument par comparaison, donc la série converge. Exemple 11 :Nous allons étudier la convergence de la sérieXsin(n)e¡n. On a

8n2N, 06¯¯sin(n)e¡n¯¯6e¡n

or

Xe¡nest une série géométrique convergente (car de raison¯¯e¡1¯¯Ç1), donc la

sérieXsin(n)e¡nconverge absolument par comparaison, donc la série converge.Exemple 12 :Nous allons étudier la convergence de la sérieXln(n)n

. On a

8n2N\{0,1}, 061n

6ln(n)n

or X1n divergeparcom- paraison. Exemple 13 :Nous allons étudier la convergence de la sérieXn2¡12 n. Si l"on noteunle terme général de la série, on aunÈ0 pour toutn>2 et u nÅ1u nAE(nÅ1)2¡12 nÅ1¢2nn

2¡1»2n2

nÅ1¡¡¡¡¡!n!Å112

Ç1,

donc

Xn2¡12

nconverge par la règle de d"Alembert. Exemple 14 :Nous allons étudier la convergence de la sérieX1nln(n). La fonction f:[2,Å1[!R,f(t)AE1tln(t) est continue, décroissante et positive. En appliquant le théorème de comparaison série-intégrale, on en déduit que X

1nln(n)converge,IAEZ

Å1

2dttln(t)converge.

Or pour tout réel¯È2, on a

Z

2dttln(t)AE[ln(ln(t))]¯

Ainsi l"intégraleIest divergente, donc la sérieX1nln(n)est divergente. 5/ 7 Méthode : Encadrer une somme (cas d"une fonction décroissante) Sif:[0,Å1[!Rest continue, positive et décroissante, on peut étudier la suite des sommespartiellesou lasuite desrestesde lasérieXf(n)enlesencadrantavecdes intégrales. On peut représenter la situation avec le graphique suivant.xy C Zquotesdbs_dbs32.pdfusesText_38

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