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Chapitre 5
Séries entières (résumé de cours)
Algèbre et analyse fondamentales - Paris 7 - O. Bokanowski - Octobre 20155.1 Généralités, Rayon d"une série entière
Soit(an)n0une suite deC.
Definition. 5.1.1.On appelle série entière toute série de la forme X n0a nzn(5.1) oùz2C.Lemme. 5.1.2.
(Lemme d"Ab el)Soitz0dansC. Si(anzn0)n0est une suite bornée alors pour toutz t.q.jzjOn note en fait queRvérifie
(i)jzj< R)PanznAC, (ii)jzj> R)PanznDIV. De plus sijzj> Ralors(anzn)est non bornée (par le Lemme d"Abel), et on montre aussiR= sup
0;(ann)n0bornée
Proposition. 5.1.4.
(Comparaison.) SoientPanznetPbnzndeux séries entières de rayonR1et R2respectivement. Sijanj jbnjpour toutnalorsR1R2.
Proposition. 5.1.5.
(F ormulede Cauc hy-Hadamard.)On suppose quelimn!1npjanj=`2[0;1].AlorsR= 1=`(avec la convention1=0 = +1,1=1= 0).
On a en fait une formule plus générale toujours valable,R= 1=limsupnpjanj.Proposition. 5.1.6.
(Règle de d"Alem bert.)On supposeun6= 0etlimn!1jan+1jjanj=`. AlorsR= 1=`.Exemple 1. Rayon et somme de la série
P n0zn? La règle de d"Alembert donne immédiatementR= 1. Pourjzj<1, on reconnait la série géométrique1 +z++zn= (1zn+1)=(1z), qui converge vers1=(1z). Noter que pour toute valeurzt.q.jzj= 1, la série diverge (pourz6= 1etjzj= 1, la somme
partielle1 +z++zn= (1zn+1)=(1z)ne converge pas). 1Exemple 2. Rayon de la série
P n0znn2? A nouveau posantan= 1=n2on obtientan+1=an!1et donc
R= 1. Ici pour toutzt.q.jzj= 1la série converge absolument.Exemple 3. Rayon de la série
P n0n!zn?an+1=an= (n+ 1)! 1doncR= 1=1= 0. La série ne converge en aucun pointz, sauf siz= 0.5.2 Somme, produit
Exemple (et propriétés) deez.Voir le cours sur les séries.Proposition. 5.2.1.
(Somme) SoientPanznetPbnzndeux séries entières de rayon au moinsR. AlorsP(an+bn)znest une série de rayon au moinsRet pour toutjzj< Ron peut écrire X n0(an+bn)zn=X n0a nzn+X n0b nzn:Proposition. 5.2.2.
(Pro duit)SoientPanznetPbnzndeux séries entières de rayon au moinsR. On considère la série produitc=ab, soitcn=Pn k=0akbnk. Alors la série entièrePcnznà un rayon au moins égal àRet pourjzj< Ron a X n0c nzn= (X n0a nzn)(X n0b nzn):5.3 Continuité, dérivation, intégration
Pour une fonctionf:C!Cdépendante de la variablezon dira que la fonction est dérivable (par rapport àz2C) si la limite suivante lim h!0; h6=0f(z+h)f(z)h existe et on note alorsf0(z)oudfdz (z)cette limite. On montre par exemple quez!znest dérivable de dérivée(zn)0=nzn1.On admettra les propriétés suivantes.
Théorème. 5.3.1.SoitP
n0anznune série entière de rayonR >0. (i)la fonctionf(z) =P n0anznest de classeC1dans la boule ouverteB(0;R). (ii)Pour toutjzj< R, la série dérivéeP n0nanzn1est de même rayonR, et dfdz (z) =X n0na nzn1: (iii)Pour toutjxj< R,xréel, on peut intégrer terme à terme la série : Z x 0 f(t)dt=X n0Z x 0 a ntndt=X n0a nn+ 1xn+1; et la série entière obtenue est encore de rayonR.On retiendra donc qu"à l"intérieur de la boule de rayonR, on peut dériver ou intégrer terme à terme
sans se poser de questions! Exemples : ln(1 +x) =P n0(1)n+1xnn pourjxj<1. arctan(x) =P n0(1)nx2n+12n+1pourjxj<1. 25.4 Fonctions développables en série entière
Definition. 5.4.1.dit qu"une fonctionfde la variablezà valeur dansC(ou de la variablex2Ret à valeurs dansR), est développable en série9(an)ndansC,9 >0, pour toutjzj< on af(z) =P n0anzn. On dira de même quefest D.S.E. au voisinage dez=z0siz!f(z0+z)est DSE au voisinage de V(0). Remarque 1. SifDSE au voisinage de0alors nécessairementan=f(n)(0)n!: cela veut bien dire quef(z) coincide avec son développement de Taylor à tout ordre. Remarque 2. Ceci implique l"unicité du DSE, s"il existe.Remarque 3. SifDSE au vois de0, avecf(z) =P
n0anznalors le rayon de la série vérifie au moins R.Remarque 4. Attention il existe des fonctions régulìeres, de classeC1surR, mais non DSE. Par exemple :
f(x) =e1=x2pourx6= 0prolongé parf(0) = 0enx= 0. On peut montrer que la fonction estC1 mais quef(n)(0) = 0pour toutn(admis). Par conséquent sifétait DSE en0, on auraitan= 0et donc f(x) =P n0anxn= 0pour toutjxj< , ce qui est clairement faux pourx6= 0. Exemple. Le DSE def(x) =11+xau voisinage dex= 1est obtenu comme suit : On posex= 1 +yavecypetit et on cherche à écriref(x) =f(1 +y)comme une série en la variabley, c"est à dire
f(1 +y) =P n0bnyn. On a :11 +x=12 +y=12
11 + y2 (5.2) 12 X n0(y2 )n(pourjy=2j<1)(5.3) X n0(1)n2 n+1yn(pourjyj<2)(5.4) Le rayon de la série obtenue est clairementR= 2.5.5 Quelques exemples
Exemple. 5.5.1.Calcul des séries de la formeP
n0P(n)zn, oùP2C[X]. La règle de d"Alembert donne que siPest non nul alorsR= 1.Pourjzj<1on dérivef(z) =11z=P
n0znune première fois :1(1z)2=X
n0nz n1=X n1nz n1(5.5) n=p+1=X p0(p+ 1)zp:(5.6)En utilisant à nouveau l"indicen:
1(1z)2=X
n0(n+ 1)zn:(5.7) De même, en dérivant deux fois on obtient pourjzj<1: f (2)(z) =2(1z)3=X n0n(n1)zn2=X n2n(n1)zn2 X n0(n+ 2)(n+ 1)zn: 3En dérivantpfois, pourjzj<1:
f (p)(z) =p!(1z)p+1=X n0n(n1)(np+ 1)znp=X npn(n1)(np+ 1)znp X n0(n+p)(n+p1)(n+ 2)(n+ 1)znSiP(X)est un polynome de dégrép, on peut montrer qu"il se décompose dans la base desp+1polynomes
Q0(X) = 1,Q1(X) = (X+ 1),Q2(X) = (X+ 1)(X+ 2),:::,Qp(X) = (X+ 1)(X+ 2)(X+p1),
et obtenir ainsi un calcul simplifié deP n0P(n)zn.Exemple. 5.5.2.Etude des séries de la formeP
n0P(n)n!znoùP2C[X].On utilise le fait queez=P
n0znn!En dérivantpfois on obtient e z=X n0n(n1):::(np+ 1)n!znp:On multiplie parzppour obtenir, pour toutp0etz2C:
X n0n(n1):::(np+ 1)n!zn=zpez Ainsi en décomposantP(X)dans la base desp+1polynomesR0(X) = 1,R1(X) =X,R2(X) =X(X+1), :::,Rp(X) =X(X1):::(Xp+ 1)(X+p1)(base des polynomes de degrép), on obtient un calcul deP n0P(n)znn!.Exemple. 5.5.3.CalculerS=P
n1(2n)!.On peut combiner
e 1=X n01n!=X n=2k1n!+X n=2k+11n!=S+S0 (S0étant la somme sur les termes impairs), et par un raisonnement analoguee1=SS0. D"où S=12 (e1+e1). On retrouve la formule du "cosinus hyperbolique"cosh(x) =12 (ex+ex) =P n0x2n(2n)!. Exemple. 5.5.4.Soit2R. Déterminer un DSE def(z) = (1 +z)au voisinage de0. On calculef(n)(z) =(1)(n+1)zn. On est donc conduit à poseran:=1n!(1)( n+ 1). Démontrons le résultat suivant : pour toutz2Cavecjzj<1, on a (1 +z)=X n0(1)(n+ 1)n!zn:(5.8) Pour cela, notonsg(z)le terme de droite (la série entière). Un calcul donnean+1a n=nn+1donca n+1a n1et le rayon de la série vautR= 1.
Pour montrer l"égalité une méthode générale consiste à montrer que le reste dans le développement
de Taylor def(z)au voisinage dez= 0converge vers0. Cela peut se faire ici en utilisant la formule de Taylor avec reste intégral, mais c"est un peu calculatoire.On va montrer l"égalité pourxréel en passant par les équations différentielles. On note quef0(x) =
1+xf(x)pourx2(1;1), etf(0) = 1. On montre (après calculs et en utilisant la relationan+1=an=
(n)=(n+ 1)) quegest solution de la même équation différentielle. Par un résultat d"unicité des
solutions de cette équation différentielle (problème de Cauchy - cf prochain cours), on en déduit que
f(x) =g(x)pour toutxréel dans(1;1). Calcul particulier (pour montrer le type de formule qu"on peut voir apparaître). Si=12 , on obtient1p1+x=P
n0(1)n(2n)!2 n(n!)2xnpour toutjxj<1. 4quotesdbs_dbs20.pdfusesText_26[PDF] etudier la convergence d'une suite prepa
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