LIMITE DUNE SUITE
Etudier la limite d'une suite ( u n ) c'est examiner le comportement des termes u n Toute suite arithmétique de raison r non nulle est divergente.
Les suites - Partie II : Les limites
Les limites nulles se déduisent par passage à l'inverse. B. Limites des suites arithmétiques. Fondamental. Soit une suite arithmétique de raison.
LIMITES DE SUITES
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. 1. LIMITES DE SUITES. I. Limite d'une suite géométrique. 1) Suite (qn).
Limite dune suite
un=??. Mais la fonction f n'a pas de limite en +?. 3.2. Cas des suites arithmétiques. Soit un la suite arithmétique de premier terme u0 et de raison r
Convergence des suites numériques
Soit r un réel et soit (un) une suite arithmétique de raison r Une suite (un) converge vers une limite réelle finie l si un peut être aussi proche que ...
Terminale S - Limite dune suite géométrique
Limite d'une suite géométrique. ( ) est une suite géométrique de raison non nulle. Pas de limite. Converge vers.
Limite dune suite. Suites convergentes
Suites arithmétiques a) Rappel. (un) est la suite arithmétique de premier terme u0 et de raison r donc pour tout entier n : un+1=un+r et un=u0+nr b) Limite
Les suites numériques Croissance et limite
Il sera possible de déterminer n'importe quel terme d'une suite géométrique à partir d'une valeur de d'un rang quelconque en utilisant la forme suivante :
Convergence de suites
5 nov. 2010 Une suite réelle (un) converge vers une limite l ? R si ?? > 0 ... donc lnun = lnu0 + nlnq
[PDF] LIMITES DE SUITES - maths et tiques
Propriété : (un) est une suite géométrique positive de raison q et de premier terme non nul u0 - Si q >1 alors lim n?+? u n = +?
[PDF] SUITES ARITHMETIQUES ET SUITES GEOMETRIQUES
Propriété : (un) est une suite arithmétique de raison r et de premier terme u0 Pour tout entier naturel n on a : u n = u 0 + nr Démonstration
[PDF] Les suites - Partie II : Les limites
III - Limites ds suites arithmétiques et géométriques III Limites usuelles 11 Limites des suites arithmétiques 13 ROC : Limite de q^n avec q>1
[PDF] LIMITE DUNE SUITE
Etudier la limite d'une suite ( u n ) c'est examiner le comportement des termes u n lorsque n prend des valeurs de plus en plus grandes vers + ?
[PDF] Limite dune suite géométrique - Parfenoff org
Limite d'une suite géométrique ( ) est une suite géométrique de raison non nulle Pas de limite Converge vers
[PDF] Limites des Suites numériques I Limite finie ou infinie dune suite
Démontrer que la suite ( qn ) avec q >1 a pour limite + ? Déterminer la limite éventuelle d'une suite géométrique Utiliser le théorème de convergence
[PDF] 1 Limite dune suite géométrique - Free
Soit (un)n?N une suite géométrique de premier terme u0 > 0 de raison q = 1 On note Sn la somme des n + 1 termes de la suite • Si 0
[PDF] LIMITE DUNE SUITE - Christophe Bertault
Ceci ne veut pas dire qu'il y a deux sortes de suites ce sont là seulement deux manières de les définir Une suite géométrique par exemple peut être définie
[PDF] Convergence des suites numériques
Soit r un réel et soit (un) une suite arithmétique de raison r Une suite (un) converge vers une limite réelle finie l si un peut être aussi proche que
[PDF] Limite dune suite Suites convergentes - Meilleur En Maths
Remarque : Pour r=0 (un) est la suite constante égale à u0 Les seules suites arithmétiques convergentes sont les suites constantes (de raison 0) 4 2
Quelle est la limite d'une suite arithmétique ?
Sens de variation et convergence
Cependant elle admet une limite : si la raison est positive (r > 0), la limite est +? ; si la raison est négative (r < 0), la limite est –? ; si la raison est nulle (r = 0), la suite est constante et converge donc vers la constante.Quelle est la limite de la suite ?
Limite en ?? :
La limite d'une suite, si elle existe, est unique. Une suite n'a pas nécessairement de limite. C'est le cas pour les suites alternées, c'est-à-dire qui alternent entre deux valeurs, ou pour celles dont les valeurs oscillent.Comment trouver la limite d'une suite ?
Calcul de limite
Si une suite u tend vers un nombre l et si une suite v tend vers un nombre l' alors la suite w=u+v tend vers l+l'. Si une suite u tend vers un nombre l et si une suite v tend vers l'infini (+? ou -?) alors la suite w=u+v tend vers cet infini.- 3/ Limite infinie d'une suite : définition
La suite (un) admet pour limite si : Tout intervalle ]a ; [ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. La suite (un) admet pour limite si : Tout intervalle ] ; a[ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.
Limite d'une suite.
Suites convergentes
1. Limite d'une suite.............................................p24. Cas particuliers................................................p9
2. Limites et comparaison....................................p65. Suites monotones.............................................p11
3. Opérations sur les limites.................................p7
Limite d'une suite.
Suites convergentes.
1. Limite d'une suite
1.1. Limite infinie
a) Définitions On dit que la suite(un)admet pour limite + ¥ si et seulement si, pour tout nombre réel A, tous les termes de la suite sont supérieur à A à partir d'un certain rang.Il existe donc un entier
n0tel que, pour tout entier natureln, supérieur ou égal àn0, on aitun>A (un∈]A;+∞[).On note
limn→+∞ un=+∞On dit que la suite (un)admet pour limite - ¥ si et seulement si, pour tout nombre réel A, tous les termes de la suite sont inférieur à A à partir d'un certain rang.Il existe donc un entier
n0tel que, pour tout entier natureln, supérieur ou égal àn0, on aitunOn note limn→+∞ un=-∞b) Exemples un=3n+2. On veut démontrer quelimn→+∞un=+∞ SoitAun nombre réel.
un>AÛ3n+2>AÛn>A-2 3 A-23est un nombre réel donc compris entre 2 entiers consécutifs.
E (A-23)⩽A-2
3 3)+1 E (A-2 3)est la partie entière de
A-2 3. On choisitn0=E
(A-2 3)+1 Si, n⩾n0alors un>Aet donclimn→+∞ un=+∞. Limite d'une suite.
Suites convergentes.un=-n2. On veut démontrer quelimn→+∞ un=-∞ Soit Aun nombre réel.
-n2A<0alors A=-BavecB>0(B=∣A∣) [0;+∞[E( On choisit
n⩾n0alors unOn construit un algorithme permettant de résoudre ce programme. Programmer, puis déterminer le rang à partir duquel un⩾1000. Avec Algobox :
Limite d'une suite.
Suites convergentes.
Avec une calculatrice TI :un=-n2.
limn→+∞ un=-∞Pour un réel On construit un algorithme permettant de résoudre ce programme. Programmer, puis déterminer le rang à partir
Avec Algobox :
Avec une calculatrice TI :
1.2. Suites convergentes
a) Définitions lest un nombre réel. On dit que la suite
(un)admet pour limite l si et seulement si, pour tout intervalle ouvert I, contenant l, contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. Limite d'une suite.
Suites convergentes.
On notelimn→+∞un=l
On dit alors que la suite(un)converge vers l et que la suite(un)est une suite convergente. On nomme suite divergente toute suite non convergente. b) Interprétation graphique sur un exemple 1.3. Proposition
Si une suite admet une limite alors celle-ci est unique. Ce résultat est admis.
1.4. Remarques
a) Il existe des suites n'admettant pas de limite. Par exemple :un=(-1)n. Les termes de rangs pairs sont égaux à 1 et les termes de rangs impairs sont égaux à -1. Conséquence :
Une suite divergente est une suite admettant une limite infinie ou n'admettant pas de limite. b) Si un=f(n)(pour tout entier naturel n)et sifadmetlpour limite en+∞alors la suite(un)converge versl. Limite d'une suite.
Suites convergentes.
Exemple :un=3-1
n+1 f(x)=3-1 x+1. fest définie sur[0;+∞[et limx→+∞ f(x)=3Donc, la suite (un)converge vers 3. Siun=f(n)(pour tout entier naturel n)et si
fadmet+∞ou-∞pour limite en+∞alorslimn→+∞ un=+∞ou limn→+∞ un=-∞Exemple : un=4n2-2 f(x)=4x2-2 fest définie sur[0;+∞[et limx→+∞ Attention, si
fn'admet pas de limite en+∞alors on ne peut pas conclure pour la limite de la suite(un). Exemple :
f(x)=sin(πx) fest définie sur[0;+∞[etfn'admet pas de limite en+∞. un=f(n)=sin(πn)=0 (un)est la suite constante nulle :limn→+∞un=0 2. Limite et comparaison
2.1. Premier théorème de comparaison
(un)et(vn)deux suites. Si à partir d'un certain rang
vn⩾unet silimn→+∞un=+∞alorslimn→+∞ vn=+∞. Démonstration : La démonstration peut être l'objet d'une restitution organisée des connaissances au
baccalauréat. A partir d'un certain rang
vn⩾un, c'est à dire qu'il existe un entier naturel N tel que sin⩾Nalorsvn⩾un. Soit Aun nombre réel. On sait quelimn→+∞un=0, donc il existe un entiern0tel que : Limite d'une suite.
Suites convergentes.
Sin⩾n0alorsun>A.
On poseN0le plus grand des entiers naturels
N0=max(N;n0)etn0(on note :N0=max(N;n0)ouN0=Sup(N;n0)) Si, n⩾N0alors vn⩾unetun>Adoncvn>Aetlimn→+∞vn=0. 2.2. Deuxième théorème de comparaison
(un)et(vn)deux suites. Si à partir d'un certain rang
vn⩽unet silimn→+∞un=-∞alorslimn→+∞ vn=-∞. La démonstration est analogue à la précédente. 2.3. Théorème des gendarmes
(un);(vn);(wn)sont trois suites. lest un nombre réel. Si à partir d'un certain rang,
un⩽vn⩽wnet silimn→+∞un=limn→+∞wn=lalors(vn)est une suite convergente et converge vers l . Démonstration :
A partir d'un certain rang
un⩽vn⩽wn, c'est à dire qu'il existe un entier naturel N tel que sin⩾Nalors un⩽vn⩽wn. Soit I un intervalle ouvert contenant l.
limn→+∞un=ldonc il existe un entier naturel n0tel que : sin⩾n0alorsun∈Ilimn→+∞wn=ldonc il existe un entier naturel n'0tel que : sin⩾n'0alorswn∈IOn pose N0le plus grand des entiers naturelsN;n0;n'0Si,
n⩾N0alors etun⩽vn⩽wn ;un∈I ;wn∈Idonc [un;wn]ÌI. Et vn∈Idonclimn→+∞vn=l. 3. Opérations sur les limites
Les règles opératoires sur les limites de suites sont les mêmes que celles pour les limites de fonctions.
3.1. Limite d'une somme de suites
Limite d'une suite.
Suites convergentes.
3.2. Limite d'un produit de suites
3.3. Limite de l'inverse d'une suite
3.3. Limite du quotient de deux suites
Limite d'une suite.
Suites convergentes.
4. Cas particuliers
4.1. Suites arithmétiques
a) Rappel(un)est la suite arithmétique de premier terme u0et de raisonrdonc pour tout entier n : un+1=un+ret un=u0+nrb) Limite d'une suite arithmétique Si r >0 alors
limn→+∞ un=+∞Si r< 0 alors limn→+∞ un=-∞Si r= 0 alors limn→+∞ un=u0Remarque : Pour r=0, (un)est la suite constante égale àu0. Les seules suites arithmétiques convergentes sont les suites constantes (de raison 0). 4.2. Suites géométriques
a) Rappel (un)est la suite géométrique de premier terme u0et de raisonqdonc pour tout entier n : un+1=qunet un=u0qnb) Théorème Si q >1 alors
limn→+∞ qn=+∞Démonstration : La démonstration peut être l'objet d'une restitution organisée des connaissances au baccalauréat.
Limite d'une suite.
Suites convergentes.
On posea=q-1>0
q=a+1avec a>0Nous avons démontré dans la leçon 1 (par un raisonnement par récurrence) que pour tout entier naturel n,
(1+a)n⩾1+na Or, limn→+∞(1+na)=+∞
En utilisant le théorème de comparaison, on peut conclure quelimn→+∞(1+a)n=+∞ soit
quotesdbs_dbs15.pdfusesText_21
3)est la partie entière de
A-2 3.On choisitn0=E
(A-2 3)+1 Si, n⩾n0alors un>Aet donclimn→+∞ un=+∞.Limite d'une suite.
Suites convergentes.un=-n2. On veut démontrer quelimn→+∞ un=-∞ SoitAun nombre réel.
-n2On choisit
n⩾n0alors unAvec Algobox :
Limite d'une suite.
Suites convergentes.
Avec une calculatrice TI :un=-n2.
limn→+∞ un=-∞Pour un réelOn construit un algorithme permettant de résoudre ce programme. Programmer, puis déterminer le rang à partir
Avec Algobox :
Avec une calculatrice TI :
1.2. Suites convergentes
a) Définitions lest un nombre réel.On dit que la suite
(un)admet pour limite l si et seulement si, pour tout intervalle ouvert I, contenant l, contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.Limite d'une suite.
Suites convergentes.
On notelimn→+∞un=l
On dit alors que la suite(un)converge vers l et que la suite(un)est une suite convergente. On nomme suite divergente toute suite non convergente. b) Interprétation graphique sur un exemple1.3. Proposition
Si une suite admet une limite alors celle-ci est unique.Ce résultat est admis.
1.4. Remarques
a) Il existe des suites n'admettant pas de limite. Par exemple :un=(-1)n. Les termes de rangs pairs sont égaux à 1 et les termes de rangs impairs sont égaux à -1.Conséquence :
Une suite divergente est une suite admettant une limite infinie ou n'admettant pas de limite. b) Si un=f(n)(pour tout entier naturel n)et sifadmetlpour limite en+∞alors la suite(un)converge versl.Limite d'une suite.
Suites convergentes.
Exemple :un=3-1
n+1 f(x)=3-1 x+1. fest définie sur[0;+∞[et limx→+∞ f(x)=3Donc, la suite (un)converge vers 3.Siun=f(n)(pour tout entier naturel n)et si
fadmet+∞ou-∞pour limite en+∞alorslimn→+∞ un=+∞ou limn→+∞ un=-∞Exemple : un=4n2-2 f(x)=4x2-2 fest définie sur[0;+∞[et limx→+∞Attention, si
fn'admet pas de limite en+∞alors on ne peut pas conclure pour la limite de la suite(un).Exemple :
f(x)=sin(πx) fest définie sur[0;+∞[etfn'admet pas de limite en+∞. un=f(n)=sin(πn)=0 (un)est la suite constante nulle :limn→+∞un=02. Limite et comparaison
2.1. Premier théorème de comparaison
(un)et(vn)deux suites.Si à partir d'un certain rang
vn⩾unet silimn→+∞un=+∞alorslimn→+∞ vn=+∞.Démonstration : La démonstration peut être l'objet d'une restitution organisée des connaissances au
baccalauréat.A partir d'un certain rang
vn⩾un, c'est à dire qu'il existe un entier naturel N tel que sin⩾Nalorsvn⩾un. Soit Aun nombre réel. On sait quelimn→+∞un=0, donc il existe un entiern0tel que :Limite d'une suite.
Suites convergentes.
Sin⩾n0alorsun>A.
On poseN0le plus grand des entiers naturels
N0=max(N;n0)etn0(on note :N0=max(N;n0)ouN0=Sup(N;n0)) Si, n⩾N0alors vn⩾unetun>Adoncvn>Aetlimn→+∞vn=0.2.2. Deuxième théorème de comparaison
(un)et(vn)deux suites.Si à partir d'un certain rang
vn⩽unet silimn→+∞un=-∞alorslimn→+∞ vn=-∞. La démonstration est analogue à la précédente.2.3. Théorème des gendarmes
(un);(vn);(wn)sont trois suites. lest un nombre réel.Si à partir d'un certain rang,
un⩽vn⩽wnet silimn→+∞un=limn→+∞wn=lalors(vn)est une suite convergente et converge vers l .Démonstration :
A partir d'un certain rang
un⩽vn⩽wn, c'est à dire qu'il existe un entier naturel N tel que sin⩾Nalors un⩽vn⩽wn.Soit I un intervalle ouvert contenant l.
limn→+∞un=ldonc il existe un entier naturel n0tel que : sin⩾n0alorsun∈Ilimn→+∞wn=ldonc il existe un entier naturel n'0tel que : sin⩾n'0alorswn∈IOn poseN0le plus grand des entiers naturelsN;n0;n'0Si,
n⩾N0alors etun⩽vn⩽wn ;un∈I ;wn∈Idonc [un;wn]ÌI. Et vn∈Idonclimn→+∞vn=l.3. Opérations sur les limites
Les règles opératoires sur les limites de suites sont les mêmes que celles pour les limites de fonctions.
3.1. Limite d'une somme de suites
Limite d'une suite.
Suites convergentes.
3.2. Limite d'un produit de suites
3.3. Limite de l'inverse d'une suite
3.3. Limite du quotient de deux suites
Limite d'une suite.
Suites convergentes.
4. Cas particuliers
4.1. Suites arithmétiques
a) Rappel(un)est la suite arithmétique de premier terme u0et de raisonrdonc pour tout entier n : un+1=un+ret un=u0+nrb) Limite d'une suite arithmétiqueSi r >0 alors
limn→+∞ un=+∞Si r< 0 alors limn→+∞ un=-∞Si r= 0 alors limn→+∞ un=u0Remarque : Pour r=0, (un)est la suite constante égale àu0. Les seules suites arithmétiques convergentes sont les suites constantes (de raison 0).4.2. Suites géométriques
a) Rappel (un)est la suite géométrique de premier terme u0et de raisonqdonc pour tout entier n : un+1=qunet un=u0qnb) ThéorèmeSi q >1 alors
limn→+∞ qn=+∞Démonstration :La démonstration peut être l'objet d'une restitution organisée des connaissances au baccalauréat.
Limite d'une suite.
Suites convergentes.
On posea=q-1>0
q=a+1avec a>0Nous avons démontré dans la leçon 1 (par un raisonnement par récurrence) que pour tout entier naturel n,
(1+a)n⩾1+naOr, limn→+∞(1+na)=+∞
En utilisant le théorème de comparaison, on peut conclure quelimn→+∞(1+a)n=+∞ soit
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