LIMITE DUNE SUITE
Etudier la limite d'une suite ( u n ) c'est examiner le comportement des termes u n Toute suite arithmétique de raison r non nulle est divergente.
Les suites - Partie II : Les limites
Les limites nulles se déduisent par passage à l'inverse. B. Limites des suites arithmétiques. Fondamental. Soit une suite arithmétique de raison.
LIMITES DE SUITES
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. 1. LIMITES DE SUITES. I. Limite d'une suite géométrique. 1) Suite (qn).
Limite dune suite
un=??. Mais la fonction f n'a pas de limite en +?. 3.2. Cas des suites arithmétiques. Soit un la suite arithmétique de premier terme u0 et de raison r
Convergence des suites numériques
Soit r un réel et soit (un) une suite arithmétique de raison r Une suite (un) converge vers une limite réelle finie l si un peut être aussi proche que ...
Terminale S - Limite dune suite géométrique
Limite d'une suite géométrique. ( ) est une suite géométrique de raison non nulle. Pas de limite. Converge vers.
Limite dune suite. Suites convergentes
Suites arithmétiques a) Rappel. (un) est la suite arithmétique de premier terme u0 et de raison r donc pour tout entier n : un+1=un+r et un=u0+nr b) Limite
Les suites numériques Croissance et limite
Il sera possible de déterminer n'importe quel terme d'une suite géométrique à partir d'une valeur de d'un rang quelconque en utilisant la forme suivante :
Convergence de suites
5 nov. 2010 Une suite réelle (un) converge vers une limite l ? R si ?? > 0 ... donc lnun = lnu0 + nlnq
[PDF] LIMITES DE SUITES - maths et tiques
Propriété : (un) est une suite géométrique positive de raison q et de premier terme non nul u0 - Si q >1 alors lim n?+? u n = +?
[PDF] SUITES ARITHMETIQUES ET SUITES GEOMETRIQUES
Propriété : (un) est une suite arithmétique de raison r et de premier terme u0 Pour tout entier naturel n on a : u n = u 0 + nr Démonstration
[PDF] Les suites - Partie II : Les limites
III - Limites ds suites arithmétiques et géométriques III Limites usuelles 11 Limites des suites arithmétiques 13 ROC : Limite de q^n avec q>1
[PDF] LIMITE DUNE SUITE
Etudier la limite d'une suite ( u n ) c'est examiner le comportement des termes u n lorsque n prend des valeurs de plus en plus grandes vers + ?
[PDF] Limite dune suite géométrique - Parfenoff org
Limite d'une suite géométrique ( ) est une suite géométrique de raison non nulle Pas de limite Converge vers
[PDF] Limites des Suites numériques I Limite finie ou infinie dune suite
Démontrer que la suite ( qn ) avec q >1 a pour limite + ? Déterminer la limite éventuelle d'une suite géométrique Utiliser le théorème de convergence
[PDF] 1 Limite dune suite géométrique - Free
Soit (un)n?N une suite géométrique de premier terme u0 > 0 de raison q = 1 On note Sn la somme des n + 1 termes de la suite • Si 0
[PDF] LIMITE DUNE SUITE - Christophe Bertault
Ceci ne veut pas dire qu'il y a deux sortes de suites ce sont là seulement deux manières de les définir Une suite géométrique par exemple peut être définie
[PDF] Convergence des suites numériques
Soit r un réel et soit (un) une suite arithmétique de raison r Une suite (un) converge vers une limite réelle finie l si un peut être aussi proche que
[PDF] Limite dune suite Suites convergentes - Meilleur En Maths
Remarque : Pour r=0 (un) est la suite constante égale à u0 Les seules suites arithmétiques convergentes sont les suites constantes (de raison 0) 4 2
Quelle est la limite d'une suite arithmétique ?
Sens de variation et convergence
Cependant elle admet une limite : si la raison est positive (r > 0), la limite est +? ; si la raison est négative (r < 0), la limite est –? ; si la raison est nulle (r = 0), la suite est constante et converge donc vers la constante.Quelle est la limite de la suite ?
Limite en ?? :
La limite d'une suite, si elle existe, est unique. Une suite n'a pas nécessairement de limite. C'est le cas pour les suites alternées, c'est-à-dire qui alternent entre deux valeurs, ou pour celles dont les valeurs oscillent.Comment trouver la limite d'une suite ?
Calcul de limite
Si une suite u tend vers un nombre l et si une suite v tend vers un nombre l' alors la suite w=u+v tend vers l+l'. Si une suite u tend vers un nombre l et si une suite v tend vers l'infini (+? ou -?) alors la suite w=u+v tend vers cet infini.- 3/ Limite infinie d'une suite : définition
La suite (un) admet pour limite si : Tout intervalle ]a ; [ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. La suite (un) admet pour limite si : Tout intervalle ] ; a[ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.
Limite d'une suite
1. Limite d'une suitep14. Limite d'une suite géométrique P6
2. Pour démontrer qu'une suite a une limitep2
3. Limite d'une suite arithmétiquep5
Limite d'une suite
1. Limite d'une suite.
Étudier la convergence d'une suite un, c'est se demander ce que deviennent les termes un lorsque n prend
des valeurs de plus en plus grandes, c'est à dire lorsque n tend vers +∞. Plus précisément, on s'intéresse aux questions suivantes:1) Les nombres
un se dispersent-ils ? Finissent-ils par être de plus en plus grand ou petit?2) Les nombres un finissent-ils par s'accumuler prés d'un nombre fixe l ?
1.1. Notion de limite infinie.
Exemple:
Quand n devient grand,
n2 le devient aussi.Pour n'importe quel réel
M, aussi grand soit-il, il existe toujours une valeur de n à partir de laquelle n2 est plus grand que M.En effet, pour tout n
M, n2M. On traduit ceci en disant que la suite (n²) a pour limite +∞.De façon générale:
- Dire qu'une suite un a pour limite + ∞ signifie que tous ses termes sont aussi grands que l'on veut pour n suffisamment grand.On note limn∞un=∞.
- Dire qu'une suite una pour limite - ∞ signifie que tous ses termes sont aussi petits que l'on veut pour n suffisamment grand. On note limn∞un=-∞Exemples:
Les suites
nn0, 4nn0 ont pour limite +∞.Les suites
-n2n0, -n3n0 ont pour limite -∞.1.2. Suite convergente
Définition:
Soit un une suite numérique et l un nombre réel.La suite
unconverge vers l si tout intervalle ouvert contenant l contient tous les termes de la suite sauf un nombre fini d'entre eux.Dans ce cas, la suite
un est dite convergente.On note
limn∞ un=l. Les suites qui ne convergent pas sont dites divergentes.Interprétation graphique:
Limite d'une suite
Propriété:
Si une suite un converge vers l, l est unique.On l'appelle la limite de la suite.
Preuve:
La suite
un converge vers l. Supposons qu'elle converge aussi vers l' avec l≠l', par exemple ll'.
Considérons un intervalle ouvert I contenant
l' et un intervalle ouvert J contenant l qui soient disjoints. Comme un converge vers l', il existe un indice n0 tel que pour tout nn0,un∈I.De même,
un converge vers l donc il existe n1, tel que pour tout nn1, un∈J.Alors, pour
n à la fois supérieur à n0 et à n1, un∈I et un∈J. Ceci est impossible puisque I et J sont
disjoints.Il est donc impossible que
l≠l', ce qui prouve l'unicité de l.Exemple:
limn∞1 n=0 limn∞ 1 n=0Remarque :Toute suite n'a pas nécessairement de limite.
Contre-exemple: La suite
un définie par un=-1n pour n∈ℕ, n'a pas de limite.2. Pour démontrer qu'une suite a une limite
2.1. Théorème des gendaérmes
Théorème:
Soitun, vn et wn trois suites définies sur ℕ telles que pour tout n
appartenant à ℕ, unvnwn. Si les suites unet wn convergent vers la même limite l, alors la suite vn converge elle aussi vers l.Limite d'une suite
Les suites représentées par les points roses et bleues encadrent la suite représentée par les points violets. On
voit que la suite représentée par les points violets est contrainte de converger vers la même limite que les deux
autres suites.Preuve:
Soit I un intervalle de centre l.
La suite
un converge vers l donc il existe un indice n1 à partir duquel tous les termes de la suite un sont
dans l'intervalle I.La suite
wn converge vers l, donc il existe un indice n2 à partir duquel tous les termes de la suite wn sont
dans l'intervalle I. SoitN le plus grand des entiers n1 et n2.
A partir de l'indice
N, les réels un et wn sont dans l'intervalle I, et donc aussi les réels vn. Donc la suite vnconverge vers
l.Application :
Déterminons la limite de la suite
vn définie par vn=sinn n pour tout n∈ℕ*. On sait que pour tout n appartenant à ℕ*, on a -1sinn1.Donc par suite, on a -1
nsinn n1 n.Soit les suites
un et wn définies sur ℕ* par un=-1 n et wn=1 n. limn∞-1 n=0 et limn∞1 n=0 donc,d'après le théorème des gendarmes, limn∞ vn=0.2.2. Limites et opérations.
On admettra le théorème suivant:
Limite d'une suite
Théorème:
Soit un une suite convergeant vers un réel l, vn une suite convergeant vers
un réel l'.La suite
wn ,définie par wn=unvn pour tout n, converge vers ll'.La suite
sn, définie par sn=un×vn pour tout n, converge vers l×l'. Si de plus vn est une suite dont tous les termes sont non nuls et convergeant vers un réel non nul l', alors la suite tn, définie par tn=un vn converge vers le réel l l'.Exemple:
Soit la suite
un définie par un=n2-3n3n24 pour n appartenant à ℕ.
un=n2-3n3n24=
n2 1-3 nn2 34 n2.Donc pour n0, un=1-3
n34
n2.Or limn∞1-3
n=1 et limn∞34 n2=3.D'où limn∞un=1
3.2.3. Cas d'une suite définie par une fonction.
Théorème:
Si une fonction f a une limite finie l en +∞, alors la suite fnn ∈ℕconverge vers l. Autrement dit, si limx∞fx=l et si la suite un est définie par un=fn pour tout n∈ℕ, alors limn∞ un=l.Attention: la réciproque est fausse.
Voici un contre-exemple:
Soit la fonction
f définie sur ℝ par fx=cos2x. Soit un la suite définie par un=fn pour tout n∈ℕ.Limite d'une suite
Pour tout n∈ℕ, un=cos2n=1. Donc la suite un est une suite constante et donc limn∞un=1
Mais la fonction f n'a pas de limite en +∞.
3. Limite d'une suite arithmétique.
3;1. Théorèmes.
Théorème:
Si une fonction
f a pour limite +∞ en +∞, alors la suite fnn∈ℕ a pour limite +∞. Autrement dit, si limx∞fx=∞ et si la suite un est définie par un=fn pour tout n∈ℕ, alors limn∞un=∞.Théorème:
Si une fonction
f a pour limite -∞ en +∞, alors la suite fnn∈ℕ a pour limite -∞. Autrement dit, si limx∞fx=-∞ et si la suite un est définie par un=fn pour tout n∈ℕ, alors limn∞un=-∞.Attention: les réciproques sont fausses.
Voici deux contre-exemples:
Soit la fonction
f1 définie sur ℝ par f1x=xcos2xSoit un la suite définie par un=f1n pour tout n∈ℕ.Pour tout n∈ℕ, un=ncos2n=n. Donc limn∞un=∞ Mais la fonction f n'a pas de limite en +∞.
Soit la fonction
f2 définie sur ℝ par f2x=xcos2x1Soit un la suite définie par un=f2n pour tout n∈ℕ.Pour tout n∈ℕ,
un=ncos2n1=-n. Donc limn∞un=-∞ Mais la fonction f n'a pas de limite en +∞.
3.2. Cas des suites arithmétiques.
Soit unla suite arithmétique de premier terme u0et de raison r. On a pour tout n: un=u0nr
On considère la fonction
fdéfinie sur ℝ par fx=u0rxSi r>0, limx∞Si r<0,
limx∞Si r=0, la suite
unest une suite constante égale à u0Limite d'une suite
Conclusion:
La limite d'une suite arithmétique de raison strictement négative est -¥. La limite d'une suite arithmétique de raison strictement positive est +¥.4. Limite d'une suite géométrique.
On admettra le théorème suivant.
Théorème:
Si -1q1, alors limn∞qn=0.Si q=1, alors limn∞qn=1.
Si q1, alors limn∞qn=∞.Exemple:
La suite géométrique de terme un=3×
12n
a pour limite 0 car la raison q appartient à l'intervalle ]-1; 1[.quotesdbs_dbs7.pdfusesText_13[PDF] convergence et divergence maths
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