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:

EXERCICES12 mars 2020

Suite définie par une intégrale

EXERCICE1

La suite(In)est définie surNpar :In=?

1

0(1+tn)dt

1) Prouver que la suite(In)est décroissante.

2) Est-elle convergente?

EXERCICE2

Pour tout entier naturel non nuln, on pose :In=?

n+1 n1xdx

1) Démontrer que

1 n+1?In?1n

2) La suite(In)est-elle convergente?

3) On pose pour tout entier naturel non nul :un=1+1

2+13+···+1n.

Montrer que la suite(un)diverge vers+∞.

EXERCICE3

Centres étrangers juin 2012

Onconsidèrelasuite

(In)définiepournentiernaturelnonnulpar:In=? 1

0xnex2dx

1) a) Calculer la valeur deI1.

b) On admet que, pour tout entier natureln?1, on a :In+2=1

2e-n+12In

CalculerI3etI5.

2) On considère l"algorithme suivant :

Quel terme de la suite

(In)obtient-on en sortie de cet algorithme? Quelle est sa valeur?

Variables :nentier,uréel

Entrées et initialisation

1→n

1

2e-12→u

Traitement

tant quen<21faire 1

2e-n+12u→u

n+2→n fin

Sorties :Afficheru

3) a) Montrer que, pour tout entier naturel non nuln,In?0.

b) Montrer que la suite (In)est décroissante. c) En déduire que la suite (In)est convergente. On note?sa limite.

4) Déterminer la valeur de?. On pourra raisonner par l"absurde.

PAUL MILAN1 TERMINALES

EXERCICES

EXERCICE4

Métropole septembre 2017 (extrait)

Onconsidèrelasuite(un)définiepourtoutentiernaturelnpar:un=? n

0e-x2dx.

On ne cherchera pas à calculerunen fonction den.

1) Montrer que la suite(un)est croissante.

2) Démontrer que pour tout réelx?0, on a :e-x2?e-2x+1.

En déduire que pour tout entier natureln, on a :un3) Que peut-on dire sur la convergence de la suite(un)?

4) Onadmetquelasuiteestconvergentevers?.Onvoudraitconnaîtreunevaleur

approchée de?. Pour cela on découpe l"aire sous la courbe de la fonctionfdéfinie surR+par f(x) =e-x2en bande de largeurpdonné sur l"intervalle[0;n],nétant donné. On obtient deux séries de rectangles d"aires respectivesSnetTn.Snétant l"aire des rectangles inférieurs à(un)etTnl"aire supérieur comme le montre la figure suivante. On donne le programme suivant :

Entrées et initialisation

SaisirN,P

Affecter àSla valeur...

Affecter àTla valeur...

Traitement

pourIvariant de 0 à... faire

Affecter àSla valeur...

Affecter àTla valeur...fin

Sorties :AfficherS,T

pO Sn Tn Cf n Déterminer un encadrement de?en prenantn=5 etp=0.01. Comparer cet encadrement à⎷ 2

EXERCICE5

Liban mai 2015

On définit la suite(un)de la façon suivante :?n?N,un=? 1 0x n 1+xdx

1) Calculeru0=?

1 01

1+xdx.

2) a) Démontrer que, pour tout entier natureln,un+1+un=1

n+1. b) En déduire la valeur exacte deu1.

3) a) Recopier et compléter l"algorithme ci-dessous afin qu"il affiche en sortie le

terme de rangnde la suite(un)oùnest un entier naturel saisi en entrée par l"utilisateur.

PAUL MILAN2 TERMINALES

EXERCICES

Variables :i,nentiers naturels

u: réel

Entrées et initialisation

Saisirn

Affecter àula valeur...

Traitement

pourivariant de 1 à... faire

Affecter àula valeur... ...

fin

Sorties :Afficheru

b) Rentrer cet algorithme dans votre calculatrice et compléter le tableau de valeurs suivant : n0151050100 un0,693 10,306 9 Quelles conjectures concernant le comportement de la suite(un)peut-on

émettre?

4) a) Démontrer que la suite(un)est décroissante.

b) Démontrer que la suite(un)est convergente.

5) On appelle?la limite de la suite(un). Démontrer que?=0.

EXERCICE6

Liban mai 2018

On considère, pour tout entiern>0, les fonctionsfndéfinies sur [1; 5J par : f n(x) =lnx xn Pour toutn>0, on noteCnla courbe de la fonctionfndans un repère orthogonal. Surlegraphiqueci-dessoussontreprésentéeslescourbesCnpourn? {1; 2; 3; 4}.

1 2 3 4 50,5O

C1 C2 C3C4

1) Conjecturer la limite de l"aire délimitée parCn, l"axe des abscisses et les droites

x=1 etx=5 lorsquentend vers+∞.

2) a) Montrer que, pour tout entiern>1 et tout réelxde l"intervalle [1; 5] :

0?ln(x)

xn?ln5xn b) Montrer que pour tout entiern>1 :? 5 11 xndx=1n-1?

1-15n-1?

c) Démontrer la conjecture de la question 1.

PAUL MILAN3 TERMINALES

EXERCICES

EXERCICE7

Nouvelle Calédonie 2018 (extrait)

On donne deux fonctionsfetgdéfinies

sur]0 ;+∞[par : f(x) =e-xetg(x) =1 x2e-1 x

On donne également les représenta-

tions des fonctionsfetg:

1 2 3 4 5 6 70.2

0.40.60.81.0

Cg Cf O

Partie A - Conjectures graphiques

Dans chacune des questions de cette partie, aucune explication n"est demandée.

1) Conjecturergraphiquementunesolutiondel"équationf(x) =g(x)sur]0;+∞[.

2) Conjecturer graphiquement une solution de l"équationg?(x) =0 sur]0 ;+∞[.

Partie B - Étude de la fonctiong

1) Calculer la limite deg(x)quandxtend vers+∞.

2) On admet que la fonctiongest strictement positive sur]0 ;∞[.

Soithla fonction définie sur]0 ;+∞[parh(x) =lng(x). a) Démontrerque,pourtoutnombreréelxstrictementpositif,h(x) =-1-2xlnx x. b) Calculer la limite deh(x)quandxtend vers 0. c) En déduire la limite deg(x)quandxtend vers 0.

3) Démontrerque,pourtoutnombreréelxstrictementpositif,g?(x) =e-1

x?1-2x? x4.

4) En déduire les variations de la fonctiongsur]0 ;+∞[.

Partie C - Aire des deux domaines compris entre les courbesCfetCg

1) Démontrer que le point A?1 ;e-1?est un point d"intersection deCfetCg.

On admet que ce point est l"unique point d"intersection deCfetCg, et queCf est au dessus deCgsur l"intervalle]0 ; 1[et en dessous sur l"intervalle]1 ;+∞[.

2)a,b?]0 ;+∞[. Démontrer que?

b a[f(x)-g(x)]dx=e-a+e-1 a-e-b-e-1b.

3) Démontrer que : lim

a→0? 1 a[f(x)-g(x)]dx=1-2e-1.

4) On admet que : lim

a→0? 1 a(f(x)-g(x))dx=limb→+∞? b

1?g(x)-f(x)?dx.

Interpréter graphiquement cette égalité.

PAUL MILAN4 TERMINALES

EXERCICES

EXERCICE8

Antilles-Guyane 2018

Un publicitaire souhaite imprimer le logo ci-dessous sur un T-shirt: Il dessine ce logo à l"aide des courbes de deux fonctionsfetgdéfinies surRpar : f(x) =e-x(-cosx+sinx+1)etg(x) =-e-xcosx. On admet que les fonctionsfetgsont dérivables surR.

Partie A - Étude de la fonctionf

1) Justifier que, pour toutx?R:-e-x?f(x)?3e-x.

2) En déduire la limite defen+∞.

3) Démontrer que, pour toutx?R,f?(x) =e-x(2cosx-1).

4) Dans cette question, on étudie la fonctionfsur l"intervalle[-π;π].

a) Déterminer le signe def?(x)pourxappartenant à l"intervalle[-π;π]. b) En déduire les variations defsur[-π;π].

Partie B - Aire du logo

On noteCfetCgles représentations graphiques des fonctionsfetgdans un repère orthonormé (O,?ı,??). L"unité graphique est de 2 centimètres. Ces deux courbes sont tracées ci-dessous.

1 2 3 4 5-1-2

-121 23
Cf C gO

1) Étudier la position relative deCfpar rapport àCgsurR.

PAUL MILAN5 TERMINALES

EXERCICES

2) SoitHla fonction définie surRpar :H(x) =?

-cosx2-sinx2-1?quotesdbs_dbs11.pdfusesText_17
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