[PDF] CALCUL INTÉGRAL (Chapitre 2/2)

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CALCUL INTÉGRAL - Chapitre 2/2

Tout le cours en vidéo : https://youtu.be/pFKzXZrMVxs

Partie 1 : Intégration par parties

Théorème : Soit í µ et í µ deux fonctions dérivables sur . Alors, on a :

Démonstration au programme :

Vidéo https://youtu.be/v3TdIdu0sgk

í µí µ est dérivable sur et on a : Les fonctions í µí µâ€², í µâ€²í µ et ′ sont continues sur , donc :

D'où :

Méthode : Calculer une intégrale en intégrant par parties

Vidéo https://youtu.be/uNIpYeaNfsg

Vidéo https://youtu.be/vNQeSEb2mj8

Vidéo https://youtu.be/xbb3vnzF3EA

Calculer les intégrales suivantes :

í µ=)í µsin(í µ)í µí µ cos(í µ)í µí µ í µ=)ln(í µ)í µí µ

Correction

í µ=)í µsin(í µ)í µí µ í µ í µ' âž½ Ce choix n'est pas anodin ! L'idée est ici de ne plus laisser le facteur í µ dans l'expression qu'il restera à intégrer. Il faudrait donc dériver í µ. 2

On pose : í µ

=1 =sin(í µ)â†’í µ =-cos(í µ)

Ainsi, en intégrant par parties, on a :

-cos(í µ)Ã—í µ -)-cos(í µ)×1 -í µcos(í µ) +)cos(í µ) 2 cosB 2

C+0×cos(0)+

sin(í µ) =sinB 2

C-sin(0)=1

cos(í µ)í µí µ

On pose : í µ

=2í µ =cos(í µ)â†’í µ =sin(í µ)

Ainsi, en intégrant par parties, on a :

sin(í µ)Ã—í µ -)sin(í µ)×2í µ sin(í µ) -2)í µsin(í µ)

Or, dans le terme de droite, on reconnait l'intégrale í µ de la question précédente qui a été

calculée par parties. Il s'agit ici d'une double intégration par parties.

On a donc :

í µ=B 2 C sinB 2 C-0 sin(0)-2×1 4 -2 í µ=)1×ln(í µ)í µí µ 3

On pose : í µ

=ln(í µ)â†’í µ =1â†’í µ

Ainsi, en intégrant par parties, on a :

í µln(í µ) 1 ln -1ln(1)-)1

×2ln(í µ)-

×2-í µ

+1 +1

Partie 2 : Applications du calcul intégral

1) Aire délimitée par deux courbes

Méthode : Calculer l'aire délimitée par les courbes de deux fonctions continues et positives

Vidéo https://youtu.be/oRSAYNwUiHQ

On considère les fonctions í µ et í µ définies par í µ +1 et í µ +2í µ+5.

On admet que pour tout í µ de

-1;2 , on a í µ

Déterminer l'aire délimitée par les courbes représentatives de í µ et de í µ sur l'intervalle

-1;2

Correction

On calcule la différence de l'aire sous la

courbe représentative de í µ et de l'aire sous la courbe représentative de í µ.

Cela revient à calculer la différence des

intégrales : +2í µ+5 4 1 3 +5í µN 1 3 ×2 +2 +5×2-O- 1 3 -1 -1 +5× -1 P =15 +1 1 3 +í µN 1 3 ×2 +2-O 1 3 -1 -1 P =6

Donc : í µ=í µ

=15-6=9í µ.í µ.

Remarque : Une autre méthode, un peu plus rapide, consisterait à utiliser la linéarité de

l'intégrale. +2í µ+5 +1 +2í µ+5 -1í µí µ =)-2í µ +2í µ+4 í µí µ=⋯=9

2) Valeur moyenne d'une fonction

Définition : Soit í µ une fonction continue sur un intervalle [í µ;í µ] avec í µâ‰ í µ.

On appelle valeur moyenne de í µ sur [í µ;í µ] le nombre réel : 1

Interprétation géométrique :

L'aire sous la courbe représentative de í µ (en rouge ci-dessous) est égale à l'aire sous la

droite d'équation í µ=í µ (en bleu), entre a et b. 5

Exemple :

Calculons la valeur moyenne de la fonction í µ définie par í µ =3í µ -4í µ+5 sur l'intervalle [1 ; 10]. 1 10-1 )3í µ -4í µ+5 1 9 -2í µ +5í µ 1 9 10 -2×10 +5×10 1 -2×1 +5×1 X= 1 9 850-4
846
9 =94 Méthode : Calculer la valeur moyenne d'une fonction

Vidéo https://youtu.be/oVFHojz5y50

On modélise, à l'aide d'une fonction, le nombre de malades lors d'une épidémie.

Au í µ-ième jour après le signalement des premiers cas, le nombre de malades est égale à

=16í µ Déterminer le nombre moyen de malades chaque jour sur une période de 16 jours.

Correction

1 16-0 1 16 )16í µ 1 16 16 3 1 4 N 6 1 16 Z 16 3

×16

1 4

×16

1024
3 ≈341 Le nombre moyen de malades chaque jour est environ égal à 341.

3) Intégrales et suites

Méthode : Étudier une suite d'intégrales

Vidéo https://youtu.be/8I0jA4lClKM

On considère la suite d'intégrales

définie pour tout entier í µ, par : ln(í µ) a) Calculer í µ b) A l'aide d'une intégration par parties, démontrer que : í µ 2 2 í µ+1 2 c) A l'aide d'un programme écrit en Python, conjecturer la limite de la suite

Correction

a) Pour í µ=0, on a : 1 2 N 1 2 1 2 1 -1 2 b) L'objectif est d'exprimer í µ en fonction de í µ ln(í µ) 7

On pose : í µ

ln(í µ) í µ+1 1 ln(í µ) 1 2

Ainsi, en intégrant par parties, on a :

1 2 ln(í µ) N 1 2 í µ+1 1 ln(í µ) 1 2 ln(í µ) 1 2 ×1 ln(1) í µ+1 2 ln(í µ) 2 í µ+1 2

Donc :

2 í µ+1 2 c)

On conjecture que : lim

.→/1 Remarque : En fait cette conjecture n'est pas exacte ! Pour en savoir plus, regarder ceci : https://youtu.be/8I0jA4lClKM?t=831

Cela devrait démarrer à 13:56.

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