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Recueil d"annales en Mathématiques
Terminale S - Enseignement obligatoire
Intégrales
Frédéric Demoulin
1Dernièrerévision : 3 juin 2010
Document diffusé via le site
www.bacamaths.netde Gilles Costantini21. frederic.demoulin (chez) voila.fr
2. gilles.costantini(chez) bacamaths.net
Annales Terminale SIntégrales
Tableaurécapitulatif desexercices
?indique que cette notion a été abordée dans l"exerciceF.I. : fonction définie par une intégrale; I.P.P. : intégration par parties; E.D. : équations différentielles
Session2010
1Libanjuin 2010???
2Indeavril 2010?????
Session2009
3Amérique du Nordjuin 2009???
4Centres étrangersjuin 2009??
5Francejuin 2009????
6France (sujet initial)juin 2009????
7La Réunionjuin 2009???
8Libanjuin 2009???
9Polynésiejuin 2009???
10Indeavril 2009???
11Nouvelle-Calédoniemars 2009????
Session2008
12Antilles-Guyanesept 2008???
13France / La Réunionsept 2008??
14Polynésiesept 2008???
15Centres étrangersjuin 2008?????
16Francejuin 2008???
17La Réunionjuin 2008????
18Libanjuin 2008????
19Polynésiejuin 2008???
20Amérique du Nordmai 2008???
21Indeavril 2008????
Session2007
22Antilles-Guyanesept 2007????
23Polynésiesept 2007?
24Amérique du Nordjuin 2007?????
25Antilles-Guyanejuin 2007???
26Asiejuin 2007????
27Francejuin 2007????
28Libanjuin 2007???
29Polynésiejuin 2007???
Session2005
30Asiejuin 2005???
31La Réunionjuin 2005?????
32Libanjuin 2005???
33Indeavril 2005???
Session2004
34Amérique du Sudnov 2004?????
35Francesept 2004??
36Polynésiesept 2004?????
37Antilles-Guyanejuin 2004????
38Polynésiejuin 2004??
F. DemoulinPage 1
Annales Terminale SIntégrales
Session2001
39Polynésiesept 2001???
40Indeavril 2001???
Années 90
41Francejuin 1999???
42Asiejuin 1998???
43La Réunion1997???
Années 80
44Bordeaux-Caen1986?
45Nancy-Metz1980?
F. DemoulinPage 2
Annales Terminale SIntégrales
Exercice 1 Liban, juin 2010 (5 points)
Partie A - Restitutionorganisée de connaissancesOn supposera connus les résultats suivants :
e0=1;
pour tous réelsxety, ex×ey=ex+y.
1. Démontrer que, pour tout réelx, e-x=1
ex.2. Démontrer que, pour tout réelxet pour tout entier natureln,?ex?n=enx.
PartieB
On considère la suite
(un)définie pour tout entier naturelnpar : u n= ?1 0e -nx1+e-xdx
1. a. Montrer queu0+u1=1.
b. Calculeru1. En déduireu0.2. Montrer que, pour tout entier natureln,un?0.
3. a. Montrer que, pour tout entier naturelnnon nul,un+1+un=1-e-n
n. b. En déduire, que pour tout entier naturelnnon nul,un?1-e-n n.4. Déterminer la limite de la suite
(un).F. DemoulinPage 3
Annales Terminale SIntégrales
Exercice 2 Inde, avril 2010 (6 points)
Partie A - Restitutionorganisée de connaissancesSoitaetbdeux réels tels quea c. À l"aide d"une intégration par parties, calculerI1et interpréter graphiquement le résultat. b. En déduire le signe degsur [0 ;+∞[. Montrer alors que, pour tout entier naturelnnon nul, et pour Démontrer que sifetgsont deux fonctions continues sur un intervalle [a;b] aveca On considère la fonctionfdéfinie sur l"intervalle [0 ; 1] parf(x)=e-x2et on définit la suite(un)par : b. Préciser les limites de la fonctionf0en-∞et+∞. Interpréter graphiquement ces limites. On noteCla courbe représentative de la fonctionfdans un repère orthogonal. La courbeCest représentée sur a. Représenter, sur le graphique ci-dessous, la partie du plan dont l"aire en unité d"aire, est égale àA(λ). Pour tout nombre réeltde l"intervalle [0 ; 1],Mtdésigne le point de la courbeCd"abscissetetNtle point de C. Ce domaine est représenté par la zone grisée du graphique ci-joint. SoitA(t) la mesure de son aire exprimée L"objectif de cette partie est de calculer, en unités d"aire, la mesure de l"aireAde la partie du plan comprise entresi, pour toutt?[a;b],f(t)?0, alors
?b a f(t)dt?0. Montrer que : si pour toutt?[a;b],f(t)?g(t), alors ?b a f(t)dt??b a g(t)dt. PartieB
Soitnun entier naturel non nul. On appellefnla fonction définie sur [0 ;+∞[ par : f n(x)=ln ?1+xn? et on poseIn= ?1 0 ln?1+xn?dx. On noteCnla courbe représentative defndans un repère orthononnal ?O;-→ı;-→??. 1. a. Déterminer la limite def1en+∞.
b. Étudier les variations def1sur [0 ;+∞[. 2. a. Montrer que, pour tout entier naturel non nuln, on a 0?In?ln2.
b. Étudier les variations de la suite (In). c. En déduire que la suite (In)est convergente. 3. Soitgla fonction définie sur [0 ;+∞[ par :
g(x)=ln(1+x)-x a. Étudier le sens de variation degsur [0 ;+∞[. F. DemoulinPage 4
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Exercice 3 Amérique du Nord, juin 2009 (5 points) Partie A - Restitutionorganisée de connaissances On supposera connus les résultats suivants :
Soientuetvdeux fonctions continues sur un intervalle [a;b] avecapour tous réelsαetβ,
?b a [αu(x)+βv(x)]dx=α?b a u(x)dx+β?b a v(x)dx. PartieB
1. a. Démontrer que, pour tout réelxde l"intervalle [0 ; 1],1
e?f(x)?1. b. En déduire que 1 e?u0?1. 2. Calculeru1.
3. a. Démontrer que, pour tout entier natureln, 0?un.
b. Étudier les variations de la suite (un). c. En déduire que la suite (un)est convergente. 4. a. Démontrer que, pour tout entier natureln,un?1
n+1. b. En déduire la limite de la suite (un). F. DemoulinPage 5
Annales Terminale SIntégrales
Exercice 4 Centres étrangers, juin 2009 (6 points) Soitnun entier naturel.
On notefnla fonction définie sur l"ensemble
Rdes nombres réels par :
f n(x)=e-nx 1+e-x On noteCnla courbe représentative defndans un repère orthogonal ?O;-→ı;-→??. Les courbesC0,C1,C2etC3 sont représentées ci-dessous : 1xy 1 C 0C 1C 2C 3 Partie A - Quelquespropriétésdes fonctionsfnetdes courbesCn 1. Démontrer que, pour tout entier natureln, les courbesCnont un pointAen commun. On précisera ses
coordonnées. 2. Étude de la fonctionf0
a. Étudier le sens de variation def0. 3. Étude de la fonctionf1
a. Démontrer quef0(x)=f1(-x) pour tout nombre réelx. b. En déduire les limites de la fonctionf1en-∞et+∞, ainsi que son sens de variation. c. Donner une interprétation géométrique de 3.a. pour les courbesC0etC1. 4. Étude de la fonctionfnpourn?2
a. Vérifier que, pour tout entier natureln?2 et pour tout nombre réelx, on a : f n(x)=1 enx+e(n-1)x b. Étudier les limites de la fonctionfnen-∞et en+∞. c. Calculer la dérivéef?n(x) et dresser le tableau de variations de la fonctionfnsur R. F. DemoulinPage 6
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Partie B - Étude d"une suite liée auxfonctionsfn On pose, pour tout entier natureln,un=
?1 0 fn(x)dx. 1. Calculeru1puis montrer queu0+u1=1. En déduireu0.
2. Démontrer que, pour tout entier natureln:
0?un? ?1 0 e-nxdx 3. Calculer l"intégrale
?1 0 e-nxdx. En déduire que la suite(un)est convergente et préciser sa limite. F. DemoulinPage 7
Annales Terminale SIntégrales
Exercice 5 France, juin 2009 (6 points)
Soitfla fonction définie sur l"intervalle [0 ;+∞[ par : f(x)=ln ?1+xe-x? On notef?la fonction dérivée de la fonctionfsur l"intervalle [0 ;+∞[. Partie A
1. Justifier que lim
x→+∞f(x)=0. 2. Justifier que pour tout nombre réel positifx, le signe def?(x) est celui de 1-x.
3. Étudier les variations de la fonctionfsur l"intervalle [0 ;+∞[.
PartieB
Soitλun nombre réel strictement positif. On poseA(λ)= 0 f(x)dx. On se propose de majorerA(λ) à l"aide de deux méthodes différentes. 1.Premièreméthode
2.Deuxième méthode
a. Calculer à l"aide d"une intégration par parties 0 xe-xdxen fonction deλ. b. On admet que pour tout nombre réel positifu, ln(1+u)?u. Démontrer alors que, pour tout nombre réelλstrictement positif, A(λ)?-λe-λ-e-λ+1.
3.ApplicationnumériqueAvec chacune des deux méthodes, trouver un majorant deA(5), arrondi au centième. Quelle méthode
donne le meilleur majorant dans le cas oùλ=5? 11 O C F. DemoulinPage 8
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Exercice 6 France (sujet initial), juin 2009 (6 points) Soitfla fonction définie sur l"intervalle [0 ;+∞[ par : f(x)=1+xe-x Sa courbe représentativeCdans le repère orthonormal ?O;-→ı;-→??et la droiteΔd"équationy=1 sont tracées ci-dessous. 11 ΔC O Partie A
1. Justifier les propriétés suivantes constatées sur la représentation graphique.
a. La droiteΔest asymptote à la courbeCen+∞. b. La fonctionfest décroissante sur l"intervalle [1 ;+∞[. 2. Soittun nombre réel positif. On considère l"intégrale
?t 0 f(x)dx. a. Interpréter graphiquement cette intégrale. b. Montrer que ?t 0 f(x)dx=t-te-1-e-t+1. F. DemoulinPage 9
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PartieB
On noteIle point de coordonnées (1 ; 0) etJle point de coordonnées (0 ; 1). 1. Interpréter graphiquementA(0) et donner sa valeur exacte.
2. Interpréter graphiquementA(1) et donner sa valeur exacte.
3. Calculer l"aire du triangleMtNtI.
4. En déduire que pour tout nombre réeltappartenant à l"intervalle [0 ; 1] :
A(t)=3
2+t2- ?t2 2+t2+1
e-t en compte dans l"évaluation. Existe-t-il un unique nombre réelαde l"intervalle [0 ; 1] tel queA(α)=1 2×A(1)?
Justifier la réponse.
F. DemoulinPage 10
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Exercice 7 LaRéunion, juin 2009 (6 points)
Soientfetgles fonctions définies sur l"intervalle [0 ;+∞[ par : f(x)=xe-xetg(x)=x2e-x On noteCfetCgles représentations graphiques des fonctionsfetgdans le plan muni d"un repère ?O;-→ı;-→??. Partie A
La courbe représentativeCfde la fonctionfdans un repère ?O;-→ı;-→??est donnée dans e graphique ci-dessous. 1. D"après le graphique, quelles semblent être les variations de la fonctionfet sa limite en+∞?
2. Valider ces conjectures à l"aide d"une démonstration.
3. Tracer sur le graphique ci-dessous la courbeCgreprésentative de la fonctiong.
4. Quelle semble être la position relative de la courbeCfpar rapport à la courbeCg?
Valider cette conjecture à l"aide d"une démonstration. PartieB
1. Hachurer sur le graphique cette partie du plan.
2. SoitI=
?1 0 f(x)dx. Démontrer queI=1-2
e. 3.Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète, ou d"initiative même non fructueuse, sera
prise en compte dans l"évaluation. SoitHla fonction définie sur l"intervalle [0 ;+∞[ par : H(x)=-
?x2+2x?e-x a. Calculer la dérivéeH?de la fonctionH. b. En déduire une primitive sur l"intervalle [0 ;+∞[ de la fonctiong. 4. Déterminer la valeur exacte de l"aireA.
F. DemoulinPage 11
Annales Terminale SIntégrales
O C f F. DemoulinPage 12
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Exercice 8 Liban, juin 2009 (8 points)
On considère la fonctionfdéfinie sur
Rpar :
f(x)=ln ?1+e-x?+13xquotesdbs_dbs32.pdfusesText_38
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