Chapitre 4: Croissance divergence et convergence des suites - 4.1
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Math 104: Improper Integrals (With Solutions)
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UNIT 2.4 - SERIES 4- FURTHER CONVERGENCE AND DIVERGENCE The series cannot converge unless the partial sums Sr and Sr?1 both tend to the same finite.
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2 Sequences: Convergence and Divergence. Theorem 2.3 (Uniqueness of limits). The limit of a convergent sequence is unique.
Sequences and Series
Since convergence depends only on what happens as n gets large adding a few terms at the beginning can't turn a convergent sequence into a divergent one.
EXAM QUESTIONS
divergent convergent
Series Convergence Tests Math 122 Calculus III
Math 122 Calculus III Question 1: given a series does it converge or diverge? ... test on this since we don't yet know any divergent series that it.
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Définition « rigoureuse » des notions de convergence et divergence pour une suite numérique. Manipulation des suites numériques convergentes et des suites
Math 1B Sections 108 and 110
October 14 Name
6.1 Sigma Notation & Convergence / Divergence
More generally for example we have. 1. Page 2. Math 123 - Shields. Infinite Series. Week 6. 1. ? n=7. 2an = a7 + a8 + a9 + a10 + a11 + a12. Notice that the
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Chapitre 4: Croissance divergence et convergence des suites 4 1 Quelques définitions Définitions : • Une suite est croissante si chaque terme est
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Définition
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Suites récursives : définitions convergence et divergence opérations sur les limites démonstrations ou preuves par récurrence
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Une suite (un) converge une limite finie l si et seulement si la suite d'indices pairs (u2n) et la suite d'indices impairs (u2n+1) convergent toutes les deux
Convergence et divergence de suites Limites de suites numériques
Commençons ce cours sur les limites de suites numériques par la convergence et la divergence Télécharger en PDF Télécharger la fiche
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Les deux situations convergence/divergence sont possibles : ?k?0 qk converge si 0 < q < 1 et diverge si q ? 1 2 2 Théorème de comparaison
Convergence et divergence
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Etudier la convergence de la série numérique de terme général : Montrer que la suite de terme général converge et calculer sa somme
[PDF] Chapitre 1 Suites réelles et complexes
On dit qu'une suite diverge si elle ne converge pas La proposition suivante fournit un autre crit`ere de divergence Proposition 1 2 5
Quelle est la différence entre la convergence et la divergence ?
La convergence signifie que deux moyennes mobiles se rejoignent, tandis que la divergence signifie qu'elles s'éloignent l'une de l'autre.Comment calculer la convergence ?
S'il existe une fonction f telle que : un = f (n) et si f admet une limite finie ou infinie en alors : On va donc gérer la recherche de la limite de (un) comme on gérerait la recherche de la limite de f en , mais en utilisant n comme variable. Donc (un) converge vers 0.Comment expliquer la convergence ?
? convergence
1Fait de converger, de tendre vers un même point : La convergence de deux lignes.2Fait de tendre vers un même but ou un même résultat : La convergence des efforts.3Fait de présenter des analogies, des points communs : Les convergences entre nous sont nombreuses.- Si une série est convergente, alors S = Sn + Rn (pour tout n ? 0) et limn?+? Rn = 0. uk = Sn + Rn. Donc Rn = S ? Sn ? S ? S = 0 lorsque n ? +?.
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Fiche n°2 - Suites et convergence
Suites et variations, limite et convergence, suites arithmétiques, géométriques, etc.J. Paquereau 1/14
Cours : fiche n°2 - Suites et convergences
Thème : suites et variations, limite et convergence, suites arithmétiques, géométriques, arithmético-géométriques, quelques théorèmes, etc.Notions abordées Page
1. Suites et variations : définition, suites croissantes, constantes et décroissantes, sommes des
2. Suites arithmétiques, géométriques et arithmético-géométriques : définitions et propriétés. 3
3. Suites récursives : définitions, convergence et divergence, opérations sur les limites,
démonstrations ou preuves par récurrence. 8 gendarmes, théorème du point fixe de Banach. 125. Suites homographiques : étude des suites homographiques. 13
1. Suites et variations
plusieurs nombres initiaux. Le nombre suivant va dépendre du ou des termes précédents, celui encore
Exemple : La succession de nombres : 0, 2, 4, 6, 8, etc. est une suite. Son terme initial est 0. Et la suite
évolue de 2 en 2.
suivants, est qualifié de terme initial. Si les termes suivants dépendent de plusieurs termes précédents,
on aura plusieurs termes initiaux. coefficients (indexes) sont les entiers naturels, i.e. : Ͳ, ͳ, ʹ, ͵, etc. de la suite !Terminale S/ES/STI
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terme quelconque ݑ (hors termes initiaux) en fonction du ou des termes initiaux de la suite.
Très logiquement, une suite est croissante si, de " terme en terme », elle augmente (ou au minimum
reste constante). Inversement, elle est dite décroissante si, de " terme en terme », elle diminue (du
moins si elle reste constante). La suite est finalement constante si, de " terme en terme », elle ne varie
pas. Dans la même veine, on parle de suite strictement croissante (resp. décroissante) si la suite est
suite de nombres réels : donc croissante si et seulement si ݊א donc décroissante si et seulement si ݊א donc constante si et seulement si ݊אOn ajoutera également que :
ݑൌͲ et ݊אԳכ
ݒൌͷ et ݊אԳכ
On constate que :
strictement croissante. même strictement décroissante.Les lignes ci-dessus, quoique le cas soit simple à traiter, donnent une méthode afin de répondre à la
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ainsi de suite.Par ailleurs, si tous les termes de la suite sont strictement positifs, un autre critère nous permet de
suite la somme suivante : ܵൌݑݑଵڮ On peut également calculer la somme des termes du ݅-ième au ݆-ième terme : ܵൌݑݑାଵڮ La somme des 5 premiers termes est égales à :2. Suites arithmétiques, géométriques et arithmético-géométriques
Nous allons à présent étudier quelques suites des plus communes.2.1. Suites arithmétiques
ݑ deux réels fixés.
On a les propriétés suivantes, que nous allons tâcher de démontrer.Terminale S/ES/STI
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Si ݎͲ, la suite est strictement croissante.Si ݎൌͲ, la suite est constante.
Remarques :
du dernier terme.Afin de démontrer, les propriétés qui précédent, nous allons introduire la notion de raisonnement par
récurrence. On parle encore de preuve ou démonstration par récurrence. Principe :Etape Description
1 On montre que la proposition ܲ
݊ൌͲ. On dira que la propriété est vraie au rang Ͳ ou encore que ܲ2 On suppose la proposition ܲ
propriété ܲest vraie au rang ݊א 3 On montre que, si la proposition ܲ est vraie au rang ݊א4 On conclut que la propriété ܲ est vraie pour tout ݊א
Démonstrations : tâchons de démontrer les propriétés précédentes sur les suites arithmétiques. Soit
Supposons ܲ vraie au rang ݊א
Conclusion : ܲ vraie pour tout ݊א
Pour démontrer la relation entre les variations de la suite arithmétique et le signe de sa raison, nous
Par définition, nous savons que ݑାଵൌݑݎ. Il vient que ݑାଵെݑൌݑݎെݑൌݎ.
Soit la proposition ܲ
Supposons ܲ vraie au rang ݊א
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On remplace ݑାଵ par ݑାଵൌݑݎ, on bidouille, puis on factorise :
La proposition ܲ
Par conséquent, la propriété ܲ
6 à 12.
Le terme général de la suite est : ݊אSomme des termes à ͳʹ :
2.2. Suites géométriques
deux réels fixés. On a les propriétés suivantes, que nous allons tâcher de démontrer.Si ݍͳ :
Si ݑͲ, la suite est croissante et positive. Si ݑͲ, la suite est décroissante et négative.Si ݍൌͳ, la suite est constante.
Si ݑͲ, la suite est décroissante et positive. Si ݑͲ, la suite est décroissante et négative. décroissante). Elle est successivement positive puis négative. On parle de suite alternée.Terminale S/ES/STI
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Remarques :
ݑ est le premier terme.
݊ͳ est le nombre de termes.
Sans prouver formellement cette proposition par récurrence, on peut constater que : - Finalement, il vient que : ݑൌݑݍ pour tout entier ݊.Sens de variation de ݑ :
Une fois encore, sans apporter une preuve par récurrence, constatons que : donc bien constante.Autrement dit, les termes de la suite sont bien " rangés par ordre croissant ». La suite est bien
croissante. Au contraire, le fait que ݑͲ change le sens des inéquations et les termes sont " rangés
Soit la proposition ܲ
On peut prouver cette proposition par récurrence :Supposons ܲ au rang ݊א
Conclusion : ܲ
Calcule les termes ݑହ et ݑଵ. Calculer la somme des 10 premiers termes. Calculer la somme des termes
5 à 10.
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Le terme général de la suite est : ݊אSomme des termes ͷ à ͳͲ : il y a ͳͲെͷͳൌ termes à sommer. Le premier terme est ݑହ.
2.3. Suites arithmético-géométriques
La notion de suite arithmético-géométrique vient généraliser les notions de suites arithmétiques et
géométriques. Nous les étudions ici à titre informel.ݑ, ܽ et ܾ
On a les propriétés suivantes :
Si ܽ
range ݊ൌͳ.Si ܽ
Si ܾ
Si ܽ
ଵିͲ alors la suite est croissante.Si ܽ
ଵିͲ alors la suite est décroissante. ଵିͲ alors la suite est décroissante et tend vers ଵି quand ݊ tend vers λ. ଵିͲ alors la suite est croissante et tend vers ଵି quand ݊ tend vers λ. Important ! En terminale, il ne vous est clairement pas imposé de connaître ce type de suites,amenés à en étudier, bien guidés, sans que le terme " arithmético-géométrique » ne soit
sous la forme ݑାଵൌܽݑܾTerminale S/ES/STI
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Justification du terme général de la suite. On obtient récursivement :Justification des variations de la suite : en étudiant sereinement le signe de chacun des termes et
facteurs du terme général de la suite arithmético-géométrique, on obtient effectivement les
propriétés ci-avant présentées. ଵି, on a :3. Suites récursives, convergence et divergence
" fonction », ou plus exactement une application qui associe un nombre à un index. Formellement :
Le plus souvent ܫ
que ce début ne dépende pas des prédécesseurs. Si les termes dépendent uniquement du précédent, on
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affine, et plus exactement : ݂Թ՜Թݔհܽݔܾ Rien ne nous empêche désormais de définir des suites récursives quelconques. pour quelles valeurs de ܽ et ܾOn souhaite donc connaître le signe de ݒାଵെݒൌܽ݁௩െݒ selon les valeurs ܽǡאܾ
On pose alors la fonction ݃Թ՜Թݔհܽ dont Or, la fonction ݈݊ est strictement croissante et on a : strictement croissante pour toutܽǡאܾTerminale S/ES/STI
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