[PDF] Calcul vectoriel Deux vecteurs v et w

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CALCUL VECTORIEL

DM - LCP - 2001

127

222444... CCCaaalllcccuuulll vvveeeccctttooorrriiieeelll

Prérequis : trigonométrieRequis pour : géométrie analytique

I. Les vecteurs

William Hamilton (1805-1865)

Notation

Les vecteurs seront écrits en gras (par

exemple v).

Une autre notation usuelle est r v .

L'Irlandais Sir William Hamilton (1805-1865) fut l'un des premiers à utiliser les vecteurs et il est probablement l'inventeur du mot (mot venant du latin vehere, qui signifie " porter »). L'Allemand Hermann Grassman (1809-1877) introduisit la notation vectorielle à l'occasion de problèmes de physique. L'Américain Gibbs (1839-1903) et l'Anglais Heaviside (1850-1925), disciples de Hamilton, donnent au calcul vectoriel sa forme quasi définitive, mais ce type de " calcul » met assez de temps à s'introduire en France. Michel Chasles (1793-1880), avait déjà pressenti l'importance du sens sur un axe sans aller jusqu'à la notion de vecteur. En termes simples, un vecteur est une grandeur qui a une intensité, une direction et un sens. Il est commode de le représenter par une flèche. Pour fixer les idées, on peut penser aux flèches indiquant la direction et la force du vent sur les cartes météorologiques. Les vecteurs sont particulièrement utilisés en physique, par exemple pour représenter la force, la vitesse, l'accélération, etc. Ils sont à différencier des scalaires (le temps, la température) qui ont une intensité mais pas de direction. P Q R ST U v =PQ ae AE ae =RS ae AE ae =TU ae AE ae Deux vecteurs v et w sont égaux s'ils ont la même intensité (longueur), la même direction et le même sens. Par exemple, les trois vecteurs de la figure ci-contre sont égaux, même s'ils ont des points initiaux et terminaux différents. Ces trois flèches représentent donc le même vecteur. On peut ainsi penser à un vecteur en terme de flèche, en gardant à l'esprit que cette flèche " flotte » dans le plan, c'est-à-dire qu'elle n'a pas de point fixe. Le vecteur qui a une longueur de 0 est appelé vecteur nul et est noté 0. Le vecteur nul n'a évidemment pas de direction, donc pas de sens. v wu=v+w

Point initial de v

Point terminal de w

v wu=v+w v w

Addition de vecteurs

La somme v+w de deux vecteurs est définie comme suit: on met les deux vecteurs bout à bout de sorte que le point terminal de v coïncide avec le point initial de w. Le vecteur u=v+w relie le point initial de v au point terminal de w.

Les quatre propriétés de d'addition

i.L'addition de vecteurs est commutative. Cela signifie que, si v et w sont des vecteurs, alors v + w = w + v Remarquez que la propriété de commutativité est une autre façon de dire que les côtés opposés d'un parallélogramme sont égaux et parallèles.

CHAPITRE 24

DM - LCP - 2001128

uv

u+vwv+wii.L'addition de vecteurs est aussi associative. Cela veut dire que, si u,v et w sont des vecteurs, alors(u + v) + w = u + (v + w)iii.L'addition a un élément neutre : le vecteur nul. En effet :v + 0 = 0 + v = vw-wv

v-w-wiv.Enfin, si v est un vecteur, alors Ðv est le vecteur ayant la mêmedirection et la même intensité que v, mais de sens opposé à v. Doncv + (Ðv) = 0La différence v-w de deux vecteurs est définie commev - w = v + (Ðw)v

2 v-1.5 vv

wv+wawav a(v+w)Multiplication d'un vecteur par un scalaire Quand on manipule des vecteurs, on utilise le mot " scalaire » à la place de " nombre réel ». Les scalaires sont souvent désignés par une lettre grecque. Si a est un scalaire et v un vecteur, alors le produit av est défini commesuit :

1.Si a > 0, alors le produit av est le vecteur dont l'intensité a a foisl'intensité de v et dont le sens est le même que v.2.Si a < 0, alors le produit av est le vecteur dont l'intensité a a foisl'intensité de v et dont le sens est l'opposé de celui de v.3.Si a = 0 ou si v = 0, alors le produit av est le vecteur nul.Propriétés du produit

0v = 0 1v = v -1v = -v(a+b)v = av + bv a(v+w) = av + awa(bv) = (ab)vExercice 1

@Utilisez les vecteurs de la figure ci-contre pour dessiner les vecteurs suivants : wu va.v + wb.u + vc.3vd.4we.v - wf.u - vg.3(v + u) - 2wh.2u - 3v + wwww.jura.ch/lcp/madimu

CALCUL VECTORIEL

DM - LCP - 2001129

Exercice 2

AB C KF G EH DUtilisez la figure ci-contre pour répondre aux questions ci-dessous :

a.Que vaut x, sachant que x+B=F ?b.Que vaut x, sachant que x+D=E ? Donnez trois possibilités.c.Exprimez C par rapport à E, D et F.d.Exprimez G par rapport à C, D, E et K.e.Exprimez E par rapport à G, H et D.f.Exprimez E par rapport à A, B, C et D.g.Que vaut x, sachant que x=A+B+K+G ?h.Que vaut x, sachant que x=A+B+C+H ?

Michel Chasles (1793-1880)Quels que soient les points A, B, C, O du plan, on a les trois relationssuivantes :

1.AB ae AE ae +BCae AE ae =ACae AE ae (Relation de Chasles)

2.-ABae AE ae =BAae AE ae 3.AB

ae AE ae =OBae AE ae -OAae AE ae La relation 3 se déduit des deux premières. Saurez-vous le faire ?

Exercice 3

Réponses : a

AE=ACae AE ae +DCae AE ae b

AE=DCae AE ae r

c =r 0 Soient A, B, C, D et E cinq points quelconques du plan. Simplifiez aumaximum les expressions suivantes (sans faire de dessin) :

a AE=BCae AE ae +DEae AE ae +DCae AE ae +ADae AE ae +EBae AE ae b

AE=ACae AE ae -BDae AE ae -ABae AE ae c

AE=ECae AE ae -EDae AE ae +CBae AE ae -DBae AE ae Exercice 4Soient trois points A, B et C non alignés. Soit le point G défini par larelation GA

ae AE ae +GBae AE ae +GCae AE ae =r 0 . Démontrez que pour tout point M du plan,on a la relation MA

ae AE ae +MBae AE ae +MCae AE ae =3MGae AE ae .i j y x0

P(a,b)

v=ai+bj a b ai bjPour abréger la notation, on écrit : i=1 0Ê

¯ ˜ , j=0

1Ê

¯ ˜ et v=a

bÊ

¯ ˜ Exemple

v=5i+3j=51 0Ê

¯ ˜ +30

1Ê

¯ ˜ =5

3Ê ¯ ˜ Représentation des vecteurs dans le plan On utilise un système de coordonnées rectangulaires pour représenter les

vecteurs dans le plan. Appelons i un vecteur unité dont la direction estcelle de l'axe Ox et j un vecteur unité dont la direction est celle de l'axeOy.En deux dimensions, les deux vecteurs i et j forment ce que l'on appellela base canonique. Elle est orthonormée, c'est-à-dire que les deuxvecteurs sont orthogonaux et de norme 1.

Si v est un vecteur ayant son point initial à l'origine O et son pointterminal en P(a,b), alors on peut représenter v comme combinaison desvecteurs i et j :v = ai + bj = a

bÊ

¯ ˜ Les scalaires a et b sont appelés les composantes du vecteur v = ai + bj,avec a étant la composante dans la direction i et b la composante dans ladirection j.En n dimensions, les vecteurs ont n composantes.

CHAPITRE 24

DM - LCP - 2001130Théorème 1i

j y x0

P2(x2,y2)

(x2-x1) i(y2-y1) j v P1=(x1,y1)Supposons qu'un vecteur v a pour point initial P1 (x1,y1) et comme pointterminal P2(x2,y2). On a alors :v =P

1P2ae AE ae =(x2-x1)i + (y2-y1)j = x

2-x1y2-y1Ê

¯ ˜ o

Pour s'en convaincre, on peut comparer les deux figures ci-contre. Les deux triangles sont égaux ; on a simplement translaté le second vers la droite et en haut. Comme la base utilisée est la même, on a clairement

a = x2 - x1 et b = y2 - y1 (voir l'exemple en bas à gauche).Théorème 2Deux vecteurs v et w sont égaux si et seulement si leurs composantescorrespondantes sont égales.

Exercice 5

Réponses

a. v=3i+4j =3 4Ê

¯ ˜ b. v=2i+4j =2

4Ê

¯ ˜ c. v=8i-j =8

-1Ê

¯ ˜ d. v=3i-7j =3

-7Ê

¯ ˜ Soit le vecteur v ayant comme point initial P et comme point terminal Q.Écrivez v sous la forme v = ai + bj et sous la forme v=a

bÊ a.P(0; 0) ; Q(3; 4)b.P(3; 2) ; Q(5; 6)c.P(-2; -1) ; Q(6; -2)d.P(-3; 7) ; Q(0;0)Exemple i j y x0 w -w v v-w v+w 2vv=4 2Ê

¯ ˜ w=2

-2Ê

¯ ˜ v+w=4

2Ê

¯ ˜ +2

-2Ê

¯ ˜ =6

0Ê

¯ ˜ v-w=v+(-w)=4

2Ê

¯ ˜ +-2

2Ê

¯ ˜ =2

4Ê

¯ ˜ 2v=24

2Ê

¯ ˜ =8

4Ê

¯ ˜ v=42+22=20=25 2v=82+42=242+22=45w=22+(-2)2=8=22Nous pouvons à présent définir l'addition, la soustraction et le produit en

utilisant les composantes d'un vecteur.

Soient v = a1

i + b1j et w = a2i + b2j deux vecteurs et l un scalaire.Alors : v+w=(a1+a2)i+(b1+b2)j=a1+a2b1+b2Ê

¯ ˜ v-w=(a1-a2)i+(b1-b2)j=a1-a2b1-b2Ê

¯ ˜ lv=(la1)i+(lb1)j=la1lb1Ê

¯ ˜ Norme d'un vecteur

Si v est un vecteur, on utilise le symbole v pour représenter la norme de v. Puisque v est égale à la longueur du vecteur, il suit que v a les propriétés suivantes : Soit v un vecteur et l un scalaire, alors(a)v ≥ 0(b)v = 0 si et seulement si v = 0(c)-v=v (d)lv=l◊v(e)v+w£v+w (inégalité du triangle)

Un vecteur v pour lequel la norme v=1 est appelé un vecteur unité(ou unitaire).Les quatre termes suivants sont

synonymes : norme, intensité, longueur, module.Dans le plan muni d'un système orthonormé, on a : v=a12+b12

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DM - LCP - 2001131

Exercice 6

@Réponses a. 1 -2Ê

¯ ˜ b. -5

8Ê

¯ ˜ c. -15

25Ê

¯ ˜ d. 34 e. 0

-1Ê

¯ ˜ f. 13

-21Ê

¯ ˜ g. 89h. 2.2254i. 1

343
-5Ê ¯ ˜ Faites les calculs ci-dessous en utilisant v=3 -5Ê

¯ ˜ et w=-2

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