[PDF] [PDF] Partie 1 : Résolution dune équation du second degré - maths et tiques





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Chapitre 3 - Racines dun polynôme

les polynômes de degré 2 sans racine dans R i.e. de la forme aX2 +bX+c avec b2. 4ac < 0. Tout polynôme non constant A 2 R[X] s'écrit donc comme produit de 



Second degré : Résumé de cours et méthodes 1 Définitions : 2

Racines : Une racine réelle dite "double" : x1 = ? b. 2a . Factorisation : Pour tout x ax2 +bx+c = a(x?x1)2. Signe : ax2 +bx+ 



Relations entre racines et coefficients dun polynôme du second degré

Trouver une racine évidente et en déduire l'autre. Soient u et v deux nombres dont le produit est P et la somme S : uv = P et u + v = S. Alors en 



Chapitre 12 : Polynômes

7 fév. 2014 Ce produit de polynômes est associatif commutatif



SECOND DEGRÉ (Partie 2)

Une solution de cette équation s'appelle une racine du trinôme Propriété : La somme S et le produit P des racines d'un polynôme du second degré.



Le second degré - Lycée dAdultes

3 Factorisation du trinôme somme et produit des racines. 7. 3.1 Factorisationdutrinôme . 7 Équation ou inéquation se ramenant au second degré.



Racines dun polynôme

Racines d'un polynôme. Isabelle GIL. Maître de Conférences Cnam Les racines complexes d'un trinôme du second degré ... produit des racines = r1r2 =.



ÉQUATIONS POLYNOMIALES

Propriété : La somme S et le produit P des racines d'un polynôme du second degré de la forme + + sont donnés par : =?. M et = . Exemple :.





POLYNÔMES

Ces trois racines sont distinctes et X3 + 27 est de degré 3 donc est scindé sur à racines simples — de coefficient dominant 1. Tout polynôme possède-t-il une 



Équations du second degré - Utiliser les propriétés sur la somme et

Démonstration : somme et produit des racines Soit un polynôme du second degré f(x) = ax2 + bx + c avec a ? 0 ; on note ? son discriminant



[PDF] Le second degré - Lycée dAdultes

Le nombre de racines du trinôme du second degré dépend du signe du discriminant ? = b2 ? 4ac 1 Si ? > 0 il existe deux racines : x = ?b + ? ?



[PDF] Relations entre racines et coefficients dun polynôme du second degré

Théorème : On considère une polynôme du second degré ax2 + bx + c si ? est positif ax2 ?aSx +aP où S est la somme et P le produit des deux racines



[PDF] 2 Factorisation racines et signe du trinôme - Xm1 Math

Dire que deux nombres réels ont pour somme S et pour produit P équivaut à dire qu'ils sont solutions dans R de l'équation du second degré : x2 ?Sx+P = 0



[PDF] Chapitre 3 - Racines dun polynôme

3 3 Racines et polynômes irréductibles Définition 3 10 Un polynôme est dit scindé s'il peut s'écrire comme produit de facteurs du premier degré



[PDF] Partie 1 : Résolution dune équation du second degré - maths et tiques

Propriété : La somme et le produit des racines d'un polynôme du second degré de la forme + + sont donnés par : =? et = Méthode : 



[PDF] SECOND DEGRÉ - maths et tiques

Propriété : La somme S et le produit P des racines d'un polynôme du second degré de la forme + + =0 sont donnés par : =? et =



[PDF] POLYNÔMES DU SECOND DEGRÉ - Maths91fr

Soit P une fonction polynôme du second degré définie sur R On appelle racine du polynôme P(x) tout nombre réel x0 tel que P(x0) = 0 DÉFINITION



[PDF] Racines dun polynôme - Fun MOOC

Théorème Un polynôme à coefficients complexes de degré n positif s'écrit de façon unique sous la forme P(x) = an(x - r1) m1 (x - r2) m2 (x - rk)



Somme et produit des racines - Mathematiques faciles

Somme et produit des racines Soit le polynôme du second degré P(x)= ax²+bx +c où a est différent de 0 et abc sont des réels SI P admet deux racines 

  • Comment calculer les racines d'un polynôme du second degré ?

    Recherche de racine(s) et signe d'un polynôme : Un polynôme du second degré P(x) = ax² + bx + c admet au plus deux racines. Le nombre exact de ses racines est déterminé par le signe d'un expression notée ? qu'on appelle le discriminant. ? = b² - 4ac.

  • Comment faire le produit de deux racines ?

    Si le trinôme ax2+bx+c admet deux racines distinctes ou confondues, alors leur somme S et leur produit P vérifient : S=a?b et P=ac.

  • Comment trouver une racine double ?

    Racines : Une racine réelle dite "double" : x1 = ? b 2a . Factorisation : Pour tout x, ax2 +bx+c = a(x?x1)2.

  • Règle : pour savoir si une expression est une somme ou un produit, on regarde la dernière opération à effectuer en respectant les règles de priorité :

    1si c'est une addition ou une soustraction, l'expression est une somme ;2si c'est une multiplication ou une division, l'expression est un produit.
1

SECOND DEGRÉ - Chapitre 2/2

Tout le cours en vidéo : https://youtu.be/tc9wvbYuZts Partie 1 : Résolution d'une équation du second degré Définition : Une équation du second degré est une équation de la forme ++=0 où , et sont des réels avec ≠0.

Exemple :

L'équation 3

-6-2=0 est une équation du second degré. Définition : On appelle discriminant du trinôme ++, le nombre D= -4. Propriété : Soit D le discriminant du trinôme - Si D < 0 : L'équation ++=0 n'a pas de solution réelle. - Si D = 0 : L'équation ++=0 a une unique solution : - Si D > 0 : L'équation ++=0 a deux solutions distinctes : et

Démonstration au programme :

Vidéo https://youtu.be/7VFpZ63Tgis

On a vu dans " Second degré - Chapitre 1/2 » que la fonction définie sur ℝ par ++ peut s'écrire sous sa forme canonique : + avec =- et = -

Donc :

++=0 peut s'écrire :

2

5 -4

4

=0

2

5

4

=0

2

5

4

2

5

4

car est non nul. 2 - Si D < 0 : Comme un carré ne peut être négatif 7

4

2 <09, l'équation ++=0 n'a pas de solution. - Si D = 0 : L'équation ++=0 peut s'écrire :

2

5 =0

L'équation n'a qu'une seule solution :

- Si D > 0 : L'équation ++=0 est équivalente à : ou + ou + ou = ou= L'équation a deux solutions distinctes : ou Méthode : Résoudre une équation du second degré

Vidéo https://youtu.be/youUIZ-wsYk

Vidéo https://youtu.be/RhHheS2Wpyk

Vidéo https://youtu.be/v6fI2RqCCiE

Résoudre les équations suivantes :

a) 2 --6=0 b) 2 -3+ 9 8 =0 c) +3+10=0

Correction

a) Calculons le discriminant de l'équation 2 --6=0 : =2, =-1 et =-6 donc D= -4= -1 -4×2×(-6)=49. Comme D > 0, l'équation possède deux solutions distinctes : !0 (2 4 !0 (2 =2 b) Calculons le discriminant de l'équation 2 -3+ 9 8 =0 : 3 =2, =-3 et = 9 8 donc D= -4= -3 -4×2×=0. Comme D=0, l'équation possède une unique solution : !4 4 c) Calculons le discriminant de l'équation +3+10=0 : =1, =3et =10donc D= -4=3 -4×1×10=-31. Comme D<0, l'équation ne possède pas de solution réelle.

Définition :

Pour une fonction polynôme du second degré de la forme ++, les solutions de l'équation ++=0s'appelle les racines de .

Remarque : Dans la pratique, une racine

de vérifie =0. La courbe de coupe l'axe des abscisses en

Propriété : La somme et le produit des racines d'un polynôme du second degré de la

forme ++ sont donnés par : =- et = Méthode : Utiliser les formules de somme et produit des racines

Vidéo A venir bientôt

Soit la fonction polynôme du second degré définie sur ℝ par : =-2 ++1.

1) Montrer que

=1 est une racine de .

2) Déterminer la deuxième racine.

Correction

1)

est une racine si elle vérifie =0. 1 =-2×1 +1+1=0.

Donc

une racine de .

2) En utilisant le produit des racines, on a :

=1×

Et =

1 -2 1 2

Donc

1 2

Et donc admet

1 2 comme deuxième racine. 9 8 4

Partie 2 : Factorisation et signe d'un trinôme

1) Factorisation

Propriété : Soit une fonction polynôme du second degré définie sur ℝ par :

- Si D = 0 : , avec racine de . - Si D > 0 : , avec et racines de . Remarque : Si D < 0, il n'existe pas de forme factorisée de . Méthode : Déterminer les fonctions du second degré, s'annulant en deux nombres réels distincts

Vidéo https://youtu.be/JiokX41_2nw

On considère la fonction polynôme du second degré s'annulant en -1 et 2 et tel que (3)=-2. Déterminer une expression factorisée de la fonction .

Correction

Comme la fonction s'annule en -1 et 2, on peut affirmer que -1 et 2 sont les racines de

Et donc :

-(-1) -2 =(+1)(-2). De plus, (3)=-2

Donc :

3+1 3-2 =-2 ×4×1=-2 2 4 1 2 On en déduit que : 1 2 (+1)(-2).

Méthode : Factoriser un trinôme

Vidéo https://youtu.be/eKrZK1Iisc8

Factoriser les trinômes suivants : a) 4

+19-5 b) 9 -6+1

Correction

a) On cherche les racines du trinôme 4 +19-5:

Calcul du discriminant : D=19

-4×4×(-5)=441

Les racines sont :

!02! ((0 =-5 et !02' ((0 0 5

On a donc :

4

+19-5=4B- -5

C7-

1 4 9=4 +5

7-

1 4 9. b) On cherche les racines du trinôme 9 -6+1 :

Calcul du discriminant : D=

-6 -4×9×1=0

La racine unique est :

!9 #×2 0 4

On a donc :

9

-6+1=9- 1 3 5

2) Signe d'un trinôme

Propriété : Soit une fonction polynôme du second degré définie sur ℝ par - Si D < 0 : ne possède pas de racine. Donc ne s'annule pas. - Si D = 0 : possède une unique racine . Donc s'annule en - Si D > 0 : possède deux racines et . Donc s'annule en et 0 + O + 0 - O - 1 + O - O + 1 - O + O - a>0a<0a>0a<0 a>0a<0## 6 Méthode : Déterminer le signe d'un trinôme

Vidéo https://youtu.be/pT4xtI2Yg2Q

Vidéo https://youtu.be/sFNW9KVsTMY

Vidéo https://youtu.be/JCVotquzIIA

Démontrer que la fonction polynôme du second degré définie sur ℝ par ()=2 ++4 est positive.

Correction

Le discriminant de 2

++4 est D=1 -4×2×4=-31<0

La fonction ne possède pas de racine.

La parabole représentant se trouve donc soit au-dessus de l'axe des abscisses, soit en dessous. Comme =2>0, la parabole a les branches tournées vers le haut (en position " ») et donc elle se trouve au-dessus de l'axe des abscisses.

On en déduit que est toujours positive.

Méthode : Résoudre une inéquation du second degré

Vidéo https://youtu.be/AEL4qKKNvp8

Résoudre les inéquations : a)

-2-15<0 b) +3-5<-+2

Correction

a) Le discriminant de -2-15 est D= -2 -4×1×(-15)=64 et ses racines sont : 9( #×0 =-3 et 9( #×0 =5

On obtient le tableau de signes :

On lit dans le tableau de signes que

-2-15<0 pour -3<<5. L'ensemble des solutions de l'inéquation -2-15<0 est donc = -3;5 -∞-3 5+∞ -2-15 + O - O + a=1>0 7 b) On commence par rassembler tous les termes dans le membre de gauche afin de pouvoir

étudier le signe d'un trinôme :

+3-5<-+2 +3-5+-2<0 +4-7<0.

Le discriminant de

+4-7 est D=4 -4×1×(-7)=44 et ses racines sont : #×0 00 =-2-

11 et

#×0 =-2+ 11

On obtient le tableau de signes :

On lit dans le tableau de signes que

+4-7<0 pour -2-

11<<-2+

11. L'ensemble des solutions de l'inéquation +3-5<-+2 est donc : =J-2-

11;-2+

11K.

3) Application

Méthode : Étudier la position de deux courbes

Vidéo https://youtu.be/EyxP5HIfyF4

Soit et deux fonctions définies sur ℝ par : +8-11 et =-1. Étudier la position relative des courbes représentatives et

Correction

On va étudier le signe de la différence +8-11-+1=- +7-10.

Le discriminant du trinôme -

+7-10 est D=7 -4×(-1)×(-10)=9 Le trinôme possède deux racines distinctes : 2 !0 =5 et 2 !0 =2 On dresse le tableau de signes du trinôme - +7-10 :

On conclut :

pour tout de -∞;2

5;+∞

La courbe

est donc en-dessous de la courbe pour tout de -∞;2

5;+∞

De même, la courbe est au-dessus de la courbe pour tout de 2;5 8quotesdbs_dbs13.pdfusesText_19
[PDF] somme des racines d'un polynome

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