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Chapitre 12 : Polynômes

PTSI B Lycée Eiffel

7 février 2014

Monsieur et Madame Ôme ont une fille, comment s"appelle-t-elle?

Il faut vraiment que je donne la réponse?

Il s"embrouillait dans les polynômes, se disculpa le professeur de mathématiques, et quand un élève s"embrouille dans les polynômes, que peut-on faire?

Antonio Lobo Antunes.

Introduction

Avant de s"attaquer vraiment à l"algèbre linéaire, ce chapître servira d"introduction par l"exemple

aux concepts plus généraux développés ensuite dans toute leur généralité sur les espaces vectoriels.

Les polynômes constituent en effet un excellent exemple d"objet mathématique formel, mais avec

lequel on peut faire des calculs, par le biais d"opérations simples comme la somme, le produit ou la

composition. C"est ce genre de notions (opérations " utiles » sur un ensemble) que nous essaierons de

généraliser ensuite. Ce chapître sera également l"occasion de croiser pour la première fois une formule

d"importance capitale en analyse, et que nous retrouverons sous d"autres formes à plusieurs reprises

ensuite : la formule de Taylor.

Objectifs du chapitre :

savoir factoriser ou effectuer une division euclidienne sur des polynômes à coefficients réels ou

complexes. comprendre ce que signifie la formule de Taylor d"un point de vue analytique.

1 L"ensembleK[X]

Dans toute ce chapître,Kdésigne soit l"ensembleRdes nombres réels ou l"ensembleCdes

nombres complexes. Pour les plus curieux, toute la construction effectuée ici peut être généralisée à

un corpsKquelconque, c"est-à-dire à un ensemble munis de deux opérations de somme et de produit

" sympathiques » (associatives, commutatives, distributibe l"une par rapport à l"autre, admettant

chacune un élément neutre et telles que tout élément ait un opposé et un inverse, sauf0en ce qui

concerne l"inverse). 1

Définition 1.Unpolynôme à coefficients dansKest un objet mathématique formel s"écrivant

P=k=nX

k=0a

kXk, où(a0;a1;:::;an)2Kn+1, etXest une indéterminée destinée à être remplacée par

n"importe quel objet pour lequel le calcul dePpeut avoir un sens (donc en gros des éléments qu"on

sait élever à une certaine puissance et multiplier par des éléments deK, par exemple des matrices,

des suites ou des fonctions). Définition 2.On noteK[X]l"ensemble de tous les polynômes à coefficients dansK.

Définition 3.SoitP=k=nX

k=0a kXkun polynôme, avecan6= 0. Les nombresaksont appeléscoef- ficientsdu polynômeP, l"entierndegrédeP(souvent notéd°(P)), le coefficient correspondant a nest lecoefficient dominantdeP. Si ce coefficient est égal à1, on dit quePest un polynôme unitaire. Remarque1.Par convention, le polynôme nul a pour degré1. C"est relativement cohérent avec les propriétés énoncées ci-dessous.

Définition 4.SoientP=nX

k=0a kXketQ=pX k=0b pXpdeux polynômes dansK[X], leursommeest le polynômeP+Q=max(n;p)X k=0(ak+bk)Xk. Proposition 1.Cette somme de polynômes est associative ((P+Q)+R=P+(Q+R)), commutative (P+Q=Q+P), admet pour élément neutre le polynôme nul (noté0) dont tous les coefficients sont nuls, et tout polynômeP=nX k=0a kXkadmet un opposé notéPdéfini parP=nX k=0(ak)Xk, et vérifiantP+ (P) = 0.

Démonstration.L"associativité découle trivialement de celle de l"addition des réels (ou des complexes)

en regardant ce qui se passe degré par degré. De même, la commutativité est évidente. À vrai dire,

le reste aussi!Définition 5.SoientP=nX k=0a kXketQ=pX k=0b pXpdeux polynômes dansK[X], leurproduitest le polynômePQ=n+pX k=0 kX i=0a ibki! X k. Proposition 2.Ce produit de polynômes est associatif, commutatif, admet pour élément neutre le polynôme constant1. De plus, le produit est distributif par rapport à la somme :P(Q+R) =

PQ+PR.

Démonstration.Ces résultats sont nettement moins évidents à prouver que pour la somme. La com-

mutativité s"obtient assez facilement en effectuant le changement d"indicej=kidans la somme

intérieure de la définition du produit. La distributivité est également assez facile en découpant sim-

plement la somme définissantP(Q+R)en deux morceaux. Le fait que1soit élément neutre est

facile. Par contre, l"associativité est franchement pénible, puisqu"il faut des triples sommes pour dé-

crire le produitP(QR). Contentons-nous d"écrire son coefficient de degrék(en notantai,bjetcp les coefficients respectifs des polynômesP,QetR) : il vautpX i=0a ikiX j=0b jckij. On peut l"écrire plus simplement sous la forme X i+j+p=ka ibjck. Cette formule est complètement symétrique par rapport 2

aux trois polynômes, on obtiendra exactement la même pour(PQ)R, ce qui prouve l"associativité

du produit.Remarque2.Les propriétés énoncées pour la somme de polynômes et pour le cas particulier du

produit que sont les produits de polynômes par des constantes font deK[X]ce qu"on appelle un

espace vectoriel surK. Vous aurez bien sûr droit à une définition complète (et affreuse) dans un

chapître ultérieur, mais l"idée est là : un produit par des constantes et une addition qui vérifient

quelques propriétés élémentaires naturelles. Proposition 3.SoientPetQdeux polynômes, alorsd°(P+Q)6max(d°(P);d°(Q)), etd°(PQ) = d°(P) +d°(Q).

Démonstration.Cela découle immédiatement des définitions données des deux opérations. L"inagalité

peut être stricte pour le degré de la somme, dans le cas oùPetQsont de même degré mais ont

un coefficient dominant opposé. Par contre, c"est toujours une égalité pour le produit, le coefficient

dominant du produit étant le produit des coefficients dominants dePetQ.Remarque3.Les seuls éléments inversibles deK[X]sont les polynômes constants (non nuls).

Définition 6.Pour tout entiern2N, on noteKn[X]l"ensemble des polynômes de degré inférieur

ou égal àn. Remarque4.Ces ensemblesKn[X]sont stables par somme (contrairement à l"ensemble des poly-

nômes de degré exactementn), ce qui est une des conditions pour en faire des sous-espaces vectoriels

deK[X].

Définition 7.SoitP=nX

k=0a kXketQdeux polynômes, lepolynôme composédePetQest le polynômePQ=nX k=0a kQk. Exemple :SiP=X2+ 1etQ= 2X+ 3, alorsPQ= (2X+ 3)2+ 1 = 4X2+ 12X+ 10, alors queQP= 2(X2+ 1) + 3 = 2X2+ 5. Proposition 4.SiPetQsont deux polynômes,d°(PQ) =d°(P)d°(Q).

Démonstration.En effet,PQ=nX

k=0a k(pX i=0b iXi)k, dont le terme dominant vaut (si on développe tout brutalement à coups de formules du binôme de Newton)anbnpXin.2 Arithmétique dansK[X].

2.1 Division euclidienne.

Définition 8.Un polynômePestdivisiblepar un polynômeQs"il existe un troisième polonôme

Atel queP=AR.

Remarque5.Cette relation n"est pas une relation d"ordre surK[X], elle est réflexive et transitive

mais pas antisymétrique. Deux polynômes qui se divisent l"un l"autre sont simplement égaux à une

constante multiplicative près. Dans ce cas, on dit que les deux polynômes sontassociés.

Théorème 1.Division euclidienne dansK[X].

SoientA;B2K[X]2, alors il existe un unique couple(Q;R)2K[X]2tel queA=BQ+Ret d°(R)< d°(B). Le polynômeQest appeléquotientde la division deAparB, et le polynômeR restede cette même division. 3

Démonstration.La preuve de l"existence de la division peut se faire par récurrence sur le degré

deA, le polynômeBrestant fixé. L"existencce est triviale sid°(A)< d°(B)puisqu"on peut écrire

A= 0B+A, ce qui sert d"initialisation. Supposons désormais l"existence de la division prouvée pour

tout polynôme de degrén, et choisissonsAun polynôme de degrén+ 1. NotonsanXn+1son terme dominant, etbpXpcelui deB, alorsC=Aanb pXn+1pBest un polynôme de degrén(en effet,

on a soustrait àAun polynôme de même degré et de même coefficient dominant. Par hypothèse de

récurrence, il existe donc des polynômesQetRtels queC=BQ+R, avecd°(R)< d°(B). Mais alorsA= Q+anb pXn+1p B+R, et commeRn"a pas changé de degré, on vient d"écrire une division euclidienne deAparB. Pour l"unicité, on suppose évidemment qu"il y a deux couples possibles :BQ+R=BQ0+R0, alorsB(QQ0) =RR0, avec par hypothèse et règles de calculs sur le degré d"une somme d°(RR0)< d°(B). Or,d°(B(QQ0))>d°(B), sauf siQQ0= 0, soitQ=Q0. On en déduit que

RR0= 0, donc les deux couples sont égaux.Exemple :Pour effectuer en pratique une division euclidienne de polynômes, on procède comme

pour les entiers, par exemple pour diviserX43X3+ 5X2+X3parX22X+ 1: X

43X3+ 5X2+X3X

22X+ 1(X42X3+X2)X

2X+ 2

X3+ 4X2+X3(X3+ 2X2X)2X2+ 2X3(2X24X+ 2)6X5Conclusion :X43X3+ 5X2+X3 = (X2X+ 2)(X22X+ 1) + 6X5. Cette méthode de

calcul est une alternative à l"identification lorsqu"on cherche à factoriser un polynôme, par exemple

après en avoir trouvé une racine évidente.

2.2 Racines et factorisation.

Définition 9.SoitP2K[X]etx2K. On dit quexest uneracinedu polynômePsiP(x) = 0.

Remarque6.On identifie ici le polynôme et la fonction polynômiale associée, comme ce sera le cas

dans toute ce paragraphe. Il y a tout de même une certaine ambiguïté sur le terme racine dans le cas

d"un polynôme à coefficients réels, qui peut également être vu comme un cas particulier de polynôme

à coefficients complexes. Si le besoin s"en fait sortir, on explicitera en parlant de racines réelles ou

de racines complexes du polynôme. Proposition 5.Un réelaest racine du polynômePsi et seulement siXadiviseP.

Démonstration.C"est une conséquence de la division euclidienne. Si on effectue la division dePpar

Xa, on sait que le reste sera de degré strictement inférieur à celui deXa, donc sera une constante.

Autrement dit,9k2R,P=Q(Xa) +k. On a doncP(a) = 0,Q(a)(aa) +k= 0,k= 0. Autrement dit,aest une racine dePlorsque le reste de la division dePparXaest nul, donc

quandPest divisible parXa.Exemple :on a déjà fréquemment utilisé cette propriété pour factoriser des polynômes de degré

3possédant une récine " évidente ». Soit par exempleP= 2X33X2+ 5X4. On constate

que1est racine évidente deP:P(1) = 23 + 54 = 0, doncPest factorisable parX1: P= (X1)(aX2+bX+c) =aX3+(ba)X2+(cb)Xc. Par identification, on obtienta= 2; ba=3;cb= 5etc=4, donca= 2;b=1etc= 4, soitP= (X1)(2X2X+ 4). Ce dernier facteur ayant un discriminant négatif,Pn"admet pas d"autre racine réelle que1. 4 Corollaire 1.Un polynôme admeta1,a2, ...,akcomme racines distinctes si et seulement si il est divisible par kY i=1(Xai).

Démonstration.On peut procéder par récurrence sur le nombre de racines distinctes. L"initialisation

correspond à la propriété précédente. Si on suppose qu"on polynômePàkracines distinctes est

toujours factorisable comme décrit, en ajoutant une racineak+1, on pourra commencer par écrire P=kY i=1(Xai)Q, et commeP(ai+1) = 0, on a nécessairementQ(ai+1) = 0(en effet, les

facteurs précédentsai+1aine peuvent s"annuler puisque les racines sont supposées distinctes).

En appliquant à nouveau notre propriété, on peut donc écrireQ= (Xak+1)R, ce qui donne la

factorisation souhaitée pourP, et achève la récurrence.Corollaire 2.Un polynôme de degrénadmet au maximumnracines distinctes.

Démonstration.En effet, s"il en avait plus, on pourrait l"écrire sous la formen+1Y k=1(Xai)Q, qui

est de degré au moinsn+ 1. Il y a là une contradiction flagrante.Corollaire 3.Un polynôme admettant une infinité de racines est nécessairement le polynôme nul.

Démonstration.En effet, par contraposée, un polynôme non nul a un certain degrén, et ne peut

donc pas avoir plus denracines.Corollaire 4.Principe d"identification des coefficients. Si deux polynômesPetQcorrespondent à des fonctions polynômiales identiques, alorsP=Q.

Démonstration.Dans ce cas,PQest un polynôme admettant tous les réels (ou tous les complexes)

comme racines, ce qui en fait une grosse infinité, doncPQ= 0. C"est bien ce principe qu"on utilise

pour identifier les coefficients de deux polynômes correspondant à des expressions polynômiales

égales.Définition 10.SoitPun polynôme etaune racine deP. On dit queaest une racined"ordre de

multipliciték2Nsi(Xa)kdiviseP, mais(Xa)k+1ne divise pasP.

Définition 11.SoitP=k=nX

k=0a kXk2K[X]. Lepolynôme dérivé dePest le polynômeP0= k=nX k=1ka

kXk1. On notera égalementP00le polynôme de dérivé deP0, etP(n)le polynôme dérivén

fois du polynômeP.

Remarque7.Cette dérivation, bien que définie de façon formelle, coïncide évidemment avec la dé-

rivation usuelle sur les fonctions polynômiales, et de ce fait vérifie toutes les formules de dérivation

usuelle. En particulier celle rappelée ci-dessous :

Proposition 6.Formule de Leibniz.

SoientPetQdeux polynômes, alors8n2N,(PQ)(n)=k=nX k=0 n k P (k)Q(nk). Proposition 7.Une racineaest d"ordre de multiplicitékpourPsi et seulement siP(a) =P0(a) = =P(k1)(a) = 0etP(k)(a)6= 0. 5

Démonstration.Une façon de prouver ce résultat est de prouver le lemme suivant : siaest racine

d"ordrekdePalorsaest racine d"ordrek1deP0. En effet, siP= (Xa)kQ, avecQ(a)6= 0alors P

0=k(Xa)k1Q+(Xa)kQ0= (Xa)k1(kQ+(Xa)Q0), aveckQ(a)+(aa)Q0(a) =kQ(a)6= 0.

Par une récurrence facile, une racine d"ordreksera donc racine de tous les polynômes dérivés jusqu"au

k1-ème, mais pas duk-ème.Remarque8.On emploie souvent plus simplement le terme d"ordre ou celui de multiplicité à la place

d"ordre de multiplicité. Exemple :Considérons le polynômeP=X42X319X2+68X60et constatons ensemble que2 est une racine double deP. En effet, on aP(2) = 1628194+68260 = 161676+13660 =

0; de plus,P0= 4X36X238X+68, doncP0(2) = 4864382+68 = 322476+68 = 0.

on peut en déduire, via la proposition précédente, quePest factorisable par(X2)2. Effectuons

une petite division euclidienne pour obtenir cette factorisation : X

42X319X2+ 68X60X

24X+ 4(X44X3+ 4X2)X

2+ 2X15

2X323X2+ 68X60(2X38X2+ 8X)15X2+ 60X60(15X2+ 60X60)0

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