[PDF] Second degré : Résumé de cours et méthodes 1 Définitions : 2





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Chapitre 3 - Racines dun polynôme

les polynômes de degré 2 sans racine dans R i.e. de la forme aX2 +bX+c avec b2. 4ac < 0. Tout polynôme non constant A 2 R[X] s'écrit donc comme produit de 



Second degré : Résumé de cours et méthodes 1 Définitions : 2

Racines : Une racine réelle dite "double" : x1 = ? b. 2a . Factorisation : Pour tout x ax2 +bx+c = a(x?x1)2. Signe : ax2 +bx+ 



Relations entre racines et coefficients dun polynôme du second degré

Trouver une racine évidente et en déduire l'autre. Soient u et v deux nombres dont le produit est P et la somme S : uv = P et u + v = S. Alors en 



Chapitre 12 : Polynômes

7 fév. 2014 Ce produit de polynômes est associatif commutatif



SECOND DEGRÉ (Partie 2)

Une solution de cette équation s'appelle une racine du trinôme Propriété : La somme S et le produit P des racines d'un polynôme du second degré.



Le second degré - Lycée dAdultes

3 Factorisation du trinôme somme et produit des racines. 7. 3.1 Factorisationdutrinôme . 7 Équation ou inéquation se ramenant au second degré.



Racines dun polynôme

Racines d'un polynôme. Isabelle GIL. Maître de Conférences Cnam Les racines complexes d'un trinôme du second degré ... produit des racines = r1r2 =.



ÉQUATIONS POLYNOMIALES

Propriété : La somme S et le produit P des racines d'un polynôme du second degré de la forme + + sont donnés par : =?. M et = . Exemple :.





POLYNÔMES

Ces trois racines sont distinctes et X3 + 27 est de degré 3 donc est scindé sur à racines simples — de coefficient dominant 1. Tout polynôme possède-t-il une 



Équations du second degré - Utiliser les propriétés sur la somme et

Démonstration : somme et produit des racines Soit un polynôme du second degré f(x) = ax2 + bx + c avec a ? 0 ; on note ? son discriminant



[PDF] Le second degré - Lycée dAdultes

Le nombre de racines du trinôme du second degré dépend du signe du discriminant ? = b2 ? 4ac 1 Si ? > 0 il existe deux racines : x = ?b + ? ?



[PDF] Relations entre racines et coefficients dun polynôme du second degré

Théorème : On considère une polynôme du second degré ax2 + bx + c si ? est positif ax2 ?aSx +aP où S est la somme et P le produit des deux racines



[PDF] 2 Factorisation racines et signe du trinôme - Xm1 Math

Dire que deux nombres réels ont pour somme S et pour produit P équivaut à dire qu'ils sont solutions dans R de l'équation du second degré : x2 ?Sx+P = 0



[PDF] Chapitre 3 - Racines dun polynôme

3 3 Racines et polynômes irréductibles Définition 3 10 Un polynôme est dit scindé s'il peut s'écrire comme produit de facteurs du premier degré



[PDF] Partie 1 : Résolution dune équation du second degré - maths et tiques

Propriété : La somme et le produit des racines d'un polynôme du second degré de la forme + + sont donnés par : =? et = Méthode : 



[PDF] SECOND DEGRÉ - maths et tiques

Propriété : La somme S et le produit P des racines d'un polynôme du second degré de la forme + + =0 sont donnés par : =? et =



[PDF] POLYNÔMES DU SECOND DEGRÉ - Maths91fr

Soit P une fonction polynôme du second degré définie sur R On appelle racine du polynôme P(x) tout nombre réel x0 tel que P(x0) = 0 DÉFINITION



[PDF] Racines dun polynôme - Fun MOOC

Théorème Un polynôme à coefficients complexes de degré n positif s'écrit de façon unique sous la forme P(x) = an(x - r1) m1 (x - r2) m2 (x - rk)



Somme et produit des racines - Mathematiques faciles

Somme et produit des racines Soit le polynôme du second degré P(x)= ax²+bx +c où a est différent de 0 et abc sont des réels SI P admet deux racines 

  • Comment calculer les racines d'un polynôme du second degré ?

    Recherche de racine(s) et signe d'un polynôme : Un polynôme du second degré P(x) = ax² + bx + c admet au plus deux racines. Le nombre exact de ses racines est déterminé par le signe d'un expression notée ? qu'on appelle le discriminant. ? = b² - 4ac.

  • Comment faire le produit de deux racines ?

    Si le trinôme ax2+bx+c admet deux racines distinctes ou confondues, alors leur somme S et leur produit P vérifient : S=a?b et P=ac.

  • Comment trouver une racine double ?

    Racines : Une racine réelle dite "double" : x1 = ? b 2a . Factorisation : Pour tout x, ax2 +bx+c = a(x?x1)2.

  • Règle : pour savoir si une expression est une somme ou un produit, on regarde la dernière opération à effectuer en respectant les règles de priorité :

    1si c'est une addition ou une soustraction, l'expression est une somme ;2si c'est une multiplication ou une division, l'expression est un produit.
Second degré : Résumé de cours et méthodes

1Définitions :

DÉFINITIONOn appelle trinôme du second degré toute fonctionfdéfinie surRparf(x) =ax2+bx+c(a,betcréels aveca6=0).Remarque :Par abus de langage, l"expressionax2+bx+cest aussi appelée trinôme du second degré.

DÉFINITIONOn appelle racine du trinômef, tout réel qui annulef.Exemple :1 est une racine du trinôme 2x2+3x5, car 2(1)2+3(1)5=0.

Remarque :Chercher les racines du trinômeax2+bx+c, revient à résoudre dansRl"équationax2+bx+c=0.

2Factorisation, racines et signe du trinôme :

DÉFINITIONOn appelle discriminant du trinômeax2+bx+c(a6=0), le réelD=b24ac.2-1SiD<0:

Racines :Pas de racines réelles.

Factorisation :Pas de factorisation dansR.

Signe :ax2+bx+cest toujours du signe dea.?

O?ı??a >0

a <01 reSérie Générale - Second degréc

P.Brachet -www .xm1math.net1

2-2SiD=0:

Racines :Une racine réelle dite "double" :x1=b2a.

Factorisation :Pour toutx,ax2+bx+c=a(xx1)2.

Signe :ax2+bx+cest toujours du signe deaet s"annule pourx=x1.?

O?ı??a >0

a <0x

12-3SiD>0:

Racines :Deux racines réelles :x1=bpD

2aetx2=b+pD

2aFactorisation :Pour toutx,ax2+bx+c=a(xx1)(xx2).

Signe :ax2+bx+cest du signe deaà l"extérieur des racines. (on suppose quex1O?ı??a >0 a <0x 1x2x 1x22 c P.Brachet -www .xm1math.net1reSérie Générale - Second degré

3Exemples de résolution d"équations et d"inéquations du second degré

3-1Equations du second degré

Résolution dansRde l"équationx2+2x3=0 :

(Par rapport aux formules, on a ici :a=1,b=2 etc=3 ).

Calcul du discriminant :D=b24ac= (2)24(1)(3) =16.

Le discriminant est strictement positif, donc le trinôme admet deux racines réelles qui sont en fait les solutions de l"équa-

tion :

Calcul des solutions :

x 1=bpD

2a=2p16

21=242

=3x2=b+pD

2a=2+p16

21=2+42

=1. L"ensemble solution est doncS=f3;1g.

Résolution dansRde l"équation 2x22p2x+1=0 :

(Par rapport aux formules, on a ici :a=2,b=2p2 etc=1 ). Calcul du discriminant :D=b24ac= (2p2)24(2)(1) =428=0.

Le discriminant est nul, donc le trinôme admet une seule racine réelle qui est en fait la solution de l"équation :

Calcul de la solution :

x

1=b2a=(2p2)22=p2

2 . L"ensemble solution est doncS=( p2 2

Résolution dansRde l"équation 3x2+4x+5=0 :

(Par rapport aux formules, on a ici :a=3,b=4 etc=5 ). Calcul du discriminant :D=b24ac=424(3)(5) =1660=44.

Le discriminant est strictement négatif, donc le trinôme n"admet aucune racine réelle. L"ensemble solution est doncS=/0

Résolution dansRde l"équationx2+4x=0 :

(Par rapport aux formules, on a ici :a=1,b=4 etc=0 ).

Comme à chaque fois queb=0 ouc=0, il est inutile d"utiliser le discriminant et les formules associées. Les méthodes

traditionnelles vues en Seconde sont plus simples et plus rapides. Ici, il suffit de factoriser parx:

x

2+4x=0,x(x+4) =0,x=0 oux+4=0,x=0 oux=4. L"ensemble solution est doncS=f4;0g

Résolution dansRde l"équation 4x21=0 :

(Par rapport aux formules, on a ici :a=4,b=0 etc=1 ). Icib=0, il est donc inutile d"utiliser le discriminant et les formules associées.

4x21=0,4x2=1,x2=14

,x=12 oux=12 . L"ensemble solution est doncS=12 ;12

3-2Inéquations du second degréMéthode générale :on calcule la valeur du discriminant du trinôme associé à l"inéquation. On en déduit le signe du trinôme sur

R. On détermine alors l"ensemble solutionS, en cherchant les valeurs dexvérifiant l"inéquation.(Pour les bornes, on applique les

règles habituelles : les bornes sont toujours ouvertes aux infinis et pour les "doubles-barres", les autres bornes sont ouvertes si

l"inéquation est de la forme<0 ou>0 et sont fermées si l"inéquation est de la forme60 ou>0 .)

Remarque :Sib=0 ouc=0, il est inutile d"utiliser le discriminant et les formules associées. Les méthodes vues en Seconde

sont plus simples et plus rapides : il suffit en général de factoriser et de faire un tableau de signes.Exemples nécessitant le calcul du discriminant :

Résolution dansRde l"inéquationx2+4x560 :

(Par rapport aux formules, on a ici :a=1,b=4 etc=5 ).

Calcul du discriminant :D=b24ac= (4)24(1)(5) =36.

Le discriminant est strictement positif, la règle est donc "signe deaà l"extérieur des racines". Il faut donc commencer par

calculer les deux racines : x 1=bpD

2a=4p36

21=462

=5x2=b+pD

2a=4+p36

21=4+62

=1

Signe du trinôme surR: (icia=1 est positif, donc le trinôme est positif à l"extérieur des racines et négatif à l"intérieur)1

reSérie Générale - Second degréc

P.Brachet -www .xm1math.net3

x-∞ -51+∞x

2+ 4x-5+0-0+Ensemble solution :les solutions de l"inéquation sont lesxpour lesquelsx2+4x-5 est inférieur ou égal à 0. Cela

revient à déterminer lesxpour lesquels on a le signe-dans le tableau de signe. D"où,S= [-5;1]. Ce qui peut se vérifier

graphiquement :y x 1 -5ORésolution dansRde l"inéquation2x25x+3<0 : (Par rapport aux formules, on a ici :a=2,b=5 etc=3 ).

Calcul du discriminant :D=b24ac= (5)24(2)(3) =49.

Le discriminant est strictement positif, la règle est donc "signe deaà l"extérieur des racines". Il faut donc commencer par

calculer les deux racines : x 1=bpD

2a=(5)p49

2(2)=574=12

x

2=b+pD

2a=(5)+p49

2(2)=5+74=3

Signe du trinôme surR: (icia=2 est négatif, donc le trinôme est négatif à l"extérieur des racines et positif à l"intérieur)x-∞

-312

+∞-2x2-5x+ 3-0+0-Ensemble solution :les solutions de l"inéquation sont lesxpour lesquels-2x2-5x+3 est strictement inférieur à 0. Cela

revient à déterminer lesxpour lesquels on a le signe-dans le tableau de signe. D"où,S=]-¥;-3[[]12

;+¥[. Ce qui peut se vérifier graphiquement :y x

1/2-3+

-ORésolution dansRde l"inéquation2x2+5x4>0 : (Par rapport aux formules, on a ici :a=2,b=5 etc=4 ).

Calcul du discriminant :D=b24ac=524(2)(4) =7.

Le discriminant est strictement négatif, la règle est donc "toujours du signe dea" , c"est à dire toujours négatif cara=2.

Signe du trinôme surR:4

c P.Brachet -www .xm1math.net1reSérie Générale - Second degré

x-∞+∞-2x2+ 5x-4-Ensemble solution :les solutions de l"inéquation sont lesxpour lesquels-2x2+5x-4 est supérieur ou égal à 0, ce qui

est impossible vu le tableau de signe. D"où,S=/0.

Résolution dansRde l"inéquationx2+p2x+1>0 :

(Par rapport aux formules, on a ici :a=1,b=p2 etc=1 ). Calcul du discriminant :D=b2-4ac= (p2)2-4(1)(1) =-2.

Le discriminant est strictement négatif, la règle est donc "toujours du signe dea", c"est à dire toujours positif cara=1.

Signe du trinôme surR:x-∞+∞x

2+⎷2x+ 1+Ensemble solution :les solutions de l"inéquation sont lesxpour lesquelsx2+⎷2x+1 est strictement supérieur à 0, ce

qui est toujours le cas vu le tableau de signe. D"où,S=R. Résolution dansRde l"inéquation 4x2-4⎷3x+3>0 : (Par rapport aux formules, on a ici :a=4,b=-4⎷3 etc=3 ). Calcul du discriminant :D=b2-4ac= (-4⎷3)2-4(4)(3) =0.

Le discriminant est nul, la règle est donc "toujours du signe dea(c"est à dire toujours positif cara=4) et s"annule pour

la racine doublex1=-b2a=-(-4⎷3)24=⎷3 2

Signe du trinôme surR:x-∞

⎷3 2

+∞4x2-4⎷3x+ 3+0+Ensemble solution :les solutions de l"inéquation sont lesxpour lesquels 4x2-4⎷3x+3 est strictement supérieur à 0, ce

qui est toujours le cas vu le tableau de signesaufpour⎷3 2 . D"où,S=R-( ⎷3 2

4Relations entre les coefficients et les racines d"un trinôme

PROPRIÉTÉSoit un trinômeax2+bx+c(a6=0) dont le discriminantDest strictement positif. Les deux racinesx1etx2sont telles que :

x

1+x2=-ba

etx1x2=ca

Application :Cela permet de déterminer rapidement une racine connaissant l"autre, en particulier lorsque le trinôme admet une

racine "évidente". Remarque : le fait de trouver une racine implique forcément que le discriminant est supérieur ou égal à 0. Il est

donc inutile de le calculer! Exemple :x1=1 est une racine "évidente" du trinôme 2x2-5x+3. On doit donc avoir :

1x2=ca

=32 . D"où la deuxième racinex2est forcément égale à32

Une conséquence de ces relations entre les coefficients et les racines d"un trinôme est la propriété suivante :1

reSérie Générale - Second degréc

P.Brachet -www .xm1math.net5

PROPRIÉTÉ

Dire que deux nombres réels ont pour sommeSet pour produitPéquivaut à dire qu"ils sont solutions dansRde l"équation du

second degré :x2Sx+P=0 .Exemple :Pour déterminer (s"ils existent) deux réels dont la sommeSest égale à 6 et dont le produitPest égal à 1, on résoud

dansRl"équationx2Sx+P=0,x26x+1=0. On aD= (6)24(1)(1) =32. Il ya donc deux solutions réelles : x

1=6p32

2 =64p2 2 =32p2 etx2=6+p32 2 =6+4p2 2 =3+2p2. Les deux réels cherchés sont donc 32p2 et

3+2p2.

5Equations bicarrées :ax4+bx2+c=0Méthode générale :Pour résoudre ce genre d"équations, on utilise un changement d"inconnue :

En posantX=x2, l"équationax4+bx2+c=0 est équivalente au système(X=x2 aX

2+bX+c=0Exemple :Résolution dansRde l"équationx47x2+12=0

On poseX=x2, l"équation est équivalente au système(X=x2 X

27X+12=0

On résoud l"équation du second degréX27X+12=0 :

D= (7)24(1)(12) =4948=1 ,X1=(7)p1

21=62
=3 ,X2=(7)+p1 21=82
=4 On a doncX=3 ouX=4, ce qui équivaut àx2=3 oux2=4.

D"où,x=p3 oux=p3 oux=2 oux=2.

Ainsi, l"ensemble solution estS=p3;p3;2;2.

6Equations irrationnelles avec des racines carréesMéthode générale :On isole la racine carrée et on utilise le fait quesiA=BalorsA2=B2. On obtient une deuxiéme équation du

de l"équation initiale. (En effet, on ne procéde pas par équivalence mais par implication. La vérification est donc indispensable.)Exemple :Résolution dansRde l"équationp4x19=x4.p4x19=x4)4x19= (x4)2)4x19=x28x+16)0=x28x+164x+19)x212x+35=0

Résolution de l"équation du second degré obtenue :

D= (12)24(1)(35) =4 ,x1=(12)p4

21=102

=5 ,x2=(12)+p4

21=142

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