VECTEURS ET REPÉRAGE
Repère orthonormé. ?. O ?. Repère quelconque Méthode : Calculer les coordonnées d'un point défini par une égalité vectorielle.
Coordonnées dun point du plan
Un repère quelconque (O ; I J) est Le point O est l'origine du repère. ... Exercice 2 : Lire les coordonnées des points A
I- Sur un axe droite graduée
Tout point quelconque M de la droite est repéré par un nombre x appelé abscisse Pour lire les coordonnées d'un point M dans le repère (O; I
Coordonnées dans un repère 1 Coordonnées dun point
Propriété 1 Dans un repère quelconque soit A et B deux points de coordonnées respectives (xA;yA) et (xB;yB). Alors les coordonnées du point K
Géométrie plane - Repérage / Activités - Correction GÉOMÉTRIE
C'est un repère orthogonal. Activité 3 : Et dans un repère quelconque ? 1) Dans le repère ci-contre lire les coordonnées des points : A
Repère et coordonnées
la droite (OJ) est l' axe des ordonnées et le point J donne l'unité de cet axe. Définition 1 : Remarques. O. I. J. Repère quelconque.
Mathématiques en lycée
Repère quelconque. Repère orthogonal. Repère orthonormé. 2) Coordonnées de points. Définition (Coordonnée dun point):. Dans un repère tout point M du plan
I- Sur un axe droite graduée
8 sept. 2011 II-1-2 Comment lire les coordonnées? Placer un point M quelconque dans le repère (O; I J). Lire ses coordonnées. Méthode:.
REPÈRES DU PLAN
Lire les coordonnées du point B'. 5. Marquer en rouge l'ensemble des points qui ont pour abscisse 4. Ils constituent ce qu'on appelle : ..
Calcul vectoriel – Produit scalaire
Déterminer les coordonnées du point M tel que AM = Calculer les produits scalaires suivants : ... 2 dans un repère quelconque est.
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Propriété 1 Dans un repère quelconque soit A et B deux points de coordonnées respectives (xA;yA) et (xB;yB) Alors les coordonnées du point K milieu du
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a) Dans le repère (O ? ?) placer les points = ?1 ?2 ? = ?2 3 ? = 1 ?4 ? = 4 ?2 ? b) Déterminer les coordonnées des vecteurs
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Exercice 1 : Dans un repère orthonormé d'unité 05 cm placer les points A(0 ; 35) B(-2 ; 2) C(15 ; -3) et D(-05 ; -2) Exercice 2 : Lire les coordonnées
Repères et coordonnées dun point - Maxicours
Pour lire les coordonnées d'un point M dans un repère on commence par tracer la parallèle à chacun des axes passant par M On lit la valeur de l'abscisse du
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On considère dans le plan muni d'un repère (OIJ) les points A(xA ; yA) et B(xB ; yB) Alors le milieu du segment [AB] a pour coordonnées (xA + xB 2 ; yA +
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Bien que l'axe des abscisses soit souvent horizontales ce n'est pas une obligation 2 Lorsque le triangle OIJ est rectangle en O le repère (O J I) est dit
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O i j u est un vecteur quelconque de coordonnées (x y) On note M le point du plan tel
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¬ sur le repère (OIJ) tracer les points des coordonnées suivants : A(23) ; B(02) et D(-3-2) Repère quelconque Les axes peuvent avoir n'importe quelle
[PDF] Coordonnées dans une base
Inversement étant donné un vecteur v quelconque de notre plan il existe un unique couple (xy) de nombres vérifiant l'équation (caractéristique des
[PDF] Géométrie dans un repère 1 Repères et coordonnées dans le plan
On considère un repère du plan et un point quelconque • En traçant la parallèle à passant par on obtient sur l'axe l'abscisse
Comment trouver les coordonnées d'un point dans un repère quelconque ?
Pour lire les coordonnées d'un point M dans un repère, on commence par tracer la parallèle à chacun des axes passant par M. On lit la valeur de l'abscisse du point M à l'intersection entre l'axe des abscisses et la parallèle à l'axe des ordonnées.Comment lire les coordonnées d'un point dans un repère ?
coordonnées d'un point
Dans un repère du plan, on a besoin de deux nombres pour indiquer la position d'un point : ce sont ses coordonnées. La première coordonnée, l' abscisse, se lit sur l'axe horizontal (l'axe des abscisses) ; la seconde, l' ordonnée, se lit sur l'axe vertical (l'axe des ordonnées).Comment donner les coordonnées d'un point sur un repère orthonormé ?
Méthode
1calculer l'abscisse du point N avec la formule : xN=2xA+xC;2calculer l'ordonnée du point N avec la formule : yN=2yA+yC;3conclure en donnant les coordonnées de N:(xN;yN)- Repérage dans l'espace
Un point A de l'espace a trois coordonnées : son abscisse a, son ordonnée b et son altitude c. On note A(a ; b, c). Les segments unités en abscisse, en ordonnée et en altitude forment un parallélépip? rectangle, ou un cube si les longueurs de ces trois segments unités sont les mêmes.
Seconde Repères 2014-2015
Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. Euclide d'AlexandrieIndexI- Sur un axe, droite graduée ................................................................................................................................... 1
I-1- La droite graduée ........................................................................................................................................ 1
Exemple ..................................................................................................................................................... 1
I-2- Distance sur un axe gradué, distance entre deux nombres .......................................................................... 1
I-3- Abscisse du milieu sur un axe gradué. ......................................................................................................... 2
II- Repère dans un plan ........................................................................................................................................... 2
II-1- Un repère quelconque ................................................................................................................................. 2
II-1-1- Définitions .......................................................................................................................................... 2
II-1-1-1 axe des abscisses .......................................................................................................................... 2
II-1-1-2 axe des ordonnées ........................................................................................................................ 2
II-1-1-3 coordonnées ................................................................................................................................. 2
II-1-2 Comment lire les coordonnées? ........................................................................................................... 3
Méthode: .................................................................................................................................................... 3
II-1-3- Peut-on calculer les coordonnées du milieu? ..................................................................................... 3
Exercices (modèles) .................................................................................................................................. 4
Une question: Peut-on calculer la distance entre deux points dans un repère quelconque? .......................... 4
II-2- Un repère orthonormé ................................................................................................................................ 4
II-2-1- Définition ........................................................................................................................................... 4
II-2-2- Calculer la distance de deux points .................................................................................................... 4
II-2-3- Une formule générale pour calculer la distance de deux points ......................................................... 4
Exercices (modèles) .................................................................................................................................. 4
Quelques démonstrations : ...................................................................................................................................... 5
I- Sur un axe, droite graduée
Objectifs : comprendre comment on peut se repérer. définir le vocabulaire (mots à connaître) les premières formules ou relations .... et leurs démonstrations.I-1- La droite graduée
On trace une droite (d).
Sur cette droite, on place un point O (qui sera l'origine du repère) et un point I qui marque l'unité.
On attribue au point O le nombre 0 et au point I le nombre 1.Ainsi, la droite est munie du repère (O, I).
Tout point quelconque M de la droite est repéré par un nombre x, appelé abscisse du point M dans le repère
(O, I), et, tout nombre x est associé à un point de la droite. Si M appartient à la demi-droite [O, I), le nombre x est positif et on a : OM = x. Si M n'appartient pas à la demi-droite [O, I), le nombre x est négatif et OM = -x.Exemple
Tracer une droite graduée de repère (O, I).
Donner les longueurs OA, OB, OC, IA, IB, IC, AB, AC, BC, OE, DE. I-2- Distance sur un axe gradué, distance entre deux nombresTous les nombres appelés nombres réels sont représentés sur la droite graduée munie d'un repère.
Les méthodes sont les habitudes de l'esprit et les économies de la mémoire. Rivarol1/6 reperes.odt 11/09/14
Seconde Repères 2014-2015
Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. Euclide d'AlexandrieOn note ℝ l'ensemble de tous les nombres réels. (Tous les nombres que vous connaissez actuellement).
Pour cela, on dit aussi qu'on a tracé la droite numérique réelle. On considère deux nombres a et b tels que a b. On place les points A et B repérés respectivement par a et b. La distance entre les deux nombres a et b est définie par la longueur du segment [AB].On a : AB = b - a (Attention : b est supérieur à a). (b - a est un nombre réel positif).
I-3- Abscisse du milieu sur un axe gradué.
On reprend les points A et B du § I-2-
Placer le point M milieu de [AB].
Une démonstration :
Démontrer que l'abscisse du point M est le nombre c défini par c = a+b2. c est la moyenne
arithmétique des deux abscisses a et b. (Illustration : fichier GeoGebra)II- Repère dans un plan
Mêmes objectifs qu'au I-
II-1- Un repère quelconque
Placer sur votre feuille trois points O, I, J non alignés et tracer les droites (OI) et (OJ).II-1-1- Définitions
Un repère est défini par trois points non alignés (O; I, J).Le point O est l'origine du repère.
II-1-1-1 axe des abscisses
L'axe (O, I) est l'axe des abscisses.
L'axe est gradué: le point O est repéré par l'abscisse 0 et le point I est repéré par l'abscisse 1.
II-1-1-2 axe des ordonnées
L'axe (O, J) est l'axe des ordonnées.
L'axe est gradué: le point O est repéré par l'ordonnée 0 et le point J est repéré par l'ordonnée 1.
II-1-1-3 coordonnées
Un point M du plan est repéré par deux nombres réels x et y. La première coordonnée ou abscisse est lue sur l'axe des abscisses. La seconde coordonnée ou ordonnée est lue sur l'axe des ordonnées. Le couple (x; y) est le couple de coordonnées du point M dans le repère (O; I, J).On note: M(x; y)
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Seconde Repères 2014-2015
Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. Euclide d'AlexandrieII-1-2 Comment lire les coordonnées?
Placer un point M quelconque dans le repère (O; I, J).Lire ses coordonnées.
Méthode:
Pour lire les coordonnées d'un point M dans le repère (O; I, J), on ...................................................
(Illustration : fichier GeoGebra) II-1-3- Peut-on calculer les coordonnées du milieu? Dans un repère quelconque (O; I, J) placer deux points A et B. Les coordonnées de ces points sont supposées connues. On note A(xA; yA) et B(xB; yB)On appelle M le milieu de [AB].
L'objectif est de calculer les coordonnées de M en fonction de celles de A et B.Une démonstration :
Démontrer que dans un repère (O; I, J), les coordonnées du milieu M d'un segment [AB] sont données par:
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Seconde Repères 2014-2015
Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. Euclide d'Alexandrie {xM=xAxB
2 yM=yAyB2 Penser à : moyenne arithmétique
(Illustration : fichier GeoGebra)Exercices (modèles)
1) On sait que dans un repère (O; I, J), le point A a pour coordonnées (2; -4) et que le point K a pour
coordonnées (1; 1). Calculer les coordonnées du point B symétrique de A par rapport à K.2) Dans un repère (O; I, J), on place les points A(2; 1), B(-1; 3), C(0; -3).
Calculer les coordonnées du point D tel que ABCD est un parallélogramme. Une question: Peut-on calculer la distance entre deux points dans un repère quelconque?II-2- Un repère orthonormé
La réponse à la question précédente étant non, il est nécessaire d'avoir les bonnes conditions pour calculer des
distances. Les mesures de longueur sur chaque axe doivent être dans la même unité.On doit pouvoir appliquer le théorème de ..................................................................., il faut alors des axes
II-2-1- Définition
On dit que le repère (O; I, J) est un repère orthonormé lorsque les deux conditions suivantes sont vérifiées:
* les droites (OI) et (OJ) sont perpendiculaires ** OI = OJ = 1 (unité du repère)Autrement dit:
Le triangle OIJ est un triangle rectangle et isocèle de sommet O.II-2-2- Calculer la distance de deux points
Placer dans un repère orthonormé (O; I, J) deux points A et B. On suppose que les coordonnées des points A et B sont connues. Calculer la distance de A à B (ou encore la longueur AB du segment [AB]).Le calcul :
II-2-3- Une formule générale pour calculer la distance de deux points Retenir: Dans un repère orthonormé (O; I, J), on donne A(xA; yA) et B(xB; yB)AB² = (xB - xA)² + (yB - yA)²
Exercices (modèles)
1) Dans un repère orthonormé (O; I, J), on donne A(2; 1), B(-2; 4)
a) Déterminer la nature du triangle OAB. b) Soit M(x; y) un point qui se déplace sur le cercle circonscrit au triangle OAB. Déterminer une relation entre les coordonnées x et y de M.2) Dans un repère orthonormé (O; I, J), on donne A(3; -2), B(5; 4), C(-2; 3)
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Seconde Repères 2014-2015
Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. Euclide d'Alexandrie a) Déterminer la nature du triangle ABC. b) Soit M(x; y) un point qui se déplace sur la médiatrice de [AB] Déterminer une relation entre les coordonnées x et y de M.Retenir :
**** Pour calculer une distance dans un repère orthonormé, on applique le théorème de Pythagore.
On a les quatre nombres coordonnées (deux abscisses et deux ordonnées). On calcule les écarts en abscisses et les écarts en ordonnées.On applique le théorème de Pythagore.
En entrée : quatre
nombres coordonnées des points En sortie : un nombre positif (distance entre les points) **** Pour calculer les coordonnées du milieu d'un segment : On a les quatre nombres coordonnées (deux abscisses et deux ordonnées). On calcule la moyenne arithmétique des abscisses et des ordonnées. En entrée : quatre nombres coordonnées de pointsEn sortie : deux nombres coordonnées du milieu
Quelques démonstrations :
Démonstration de la formule d e l'abscisse du milieu sur un axe: On nomme a, b, c les abscisses des points A, B et M. On suppose a b (on peut toujours choisir de façon à avoir cet ordre ....)On sait que M est le milieu de [AB],
d'où AM = MB et a c b. D'après le paragraphe précédent : c - a = b - c, soit 2c = a + b. conclusion : c = a+b2Les méthodes sont les habitudes de l'esprit et les économies de la mémoire. Rivarol5/6 reperes.odt 11/09/14 Calculs
Calculs
Seconde Repères 2014-2015
Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. Euclide d'Alexandrie Démonstration de la formule d es coordonnées d u milieu dans un repère :Penser à utiliser le théorème de Thalès pour chercher l'abscisse du milieu sur l'axe (O, I), puis l'ordonnée sur
l'axe (O, J) en appliquant le résultat démontré pour un axe. Calculer la distance entre deux points dans un repère orthonormal .Faire apparaître le triangle rectangle d'hypoténuse [AB] et .... appliquer le théorème de Pythagore puisque
d'après la distance sur un axe on connaît la longueur des côtés perpendiculaires.Les méthodes sont les habitudes de l'esprit et les économies de la mémoire. Rivarol6/6 reperes.odt 11/09/14
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