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2nde.Cours - Géométrie plane rep érée

Les planisphères et les cartes géographiques maritimes sont construits dans un repère comprenant l"axe

vertical des latitudes et l"axe horizontal des longitudes. La position d"un bateau par exemple est définie par

ses coordonnées sur la cartes, c"est-à -dire la longitude et la latitude.

Lorsque l"on cherche une position sur un plan de ville, on se repère également à l"aide des axes verticaux et

horizontaux du plan. Nous allons donc poser les bases de ce repérage dans le plan.Repère et coordonnées1

Définir un repère du plan, c"est choisir 3 points non alignés, dans un ordre précis :O,I,J.

On note ce repère(O,I,J), et :

le p ointOest l"originedu repère; la droite (OI)est l"axe des abscisseset le pointIdonne l"unité de cet axe; la droite (OJ)est l"axe des ordonnéeset le pointJdonne l"unité de cet axe.Définition 1 :

Remarques.

OIJ

Repère quelconqueOIJ

Repère orthogonalOIJ

Repère orthonormé

L"axe des abscisses est souv enthorizon tal,mais ce n"est pas u neobligation

Si le triangle OIJest rectangle enO, le repère(O,I,J)est dit orthogonal. Les axes du repères sont

perpendiculaires.

Si le triangle OIJest rectangle et isocèle enO, le repère(O;I;J)est dit orthonormé. Les axes du

repère sont perpendiculaires et ont la même unité.On considère un repère(O,I,J )du plan et un pointMquelconque. En traçan tla parallèle à (OJ)passant parM, on obtient sur l"axe(OI)l"abscissexMdu pointM. En traçan tla parallèle à (OI)passant parM, on obtient sur l"axe(OJ)l"ordonnéeyMdeM.

Le couple de réels (xM;yM)est le couple decoordonnéesdu pointMdans le repère(O,I,J).Définition 2 :

Exemple.

OI AJMLe pointMa pour coordonnées(...;...)et le pointAa pour coordonnées(...;...)

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11Dis tancedans un r epèreor thonormé.

Exemple.

1.

Calculer les distance AB,ACetBC

en prenant comme unité le côté d"un carreau du quadrillage. 2.

On c hoisitun rep èreorthonormé (A,I,J)

d"origineAtel queB(4 ;-2). (a)

Placer le rep ère(A,I,J)sur la figure.

(b)

Comparer ABetx2B+y2B.

(c)

V érifierque l"on a une relation analogue

avec le pointC. 3.

Conjecturer une relation e ntrela distance BC

et les coordonnées des pointsBetC.A BC

Propriété 1 :

On considère un repère orthonormé(O,I,J)du plan et les pointsA(xA;yA)etB(xB;yB).

La distance entre les pointsAetBest :

AB=?(xB-xA)2+ (yB-yA)2

l"unité de longueur étant celle commune aux deux axes.Preuve.On suppose quexB> xAetyB> yA.Les autres cas se traitent de même.

On noteCle point tel quexC=xBetyC=yA.

Dans le triangleABCrectangle enC, on a d"après le théorème de Pythagore :AB2=AC2+BC2, ie : AB

2= (xB-xA)2+ (yB-yA)2

CommeABest positif on aAB=?(xB-xA)2+ (yB-yA)2.♣Attention! cette formule n"est valable que si le repère est orthonormé!

Exemple.A(-2 ; 0,5)etB(2,5 ; 3)xy

OIJ AB C AB=?(2,5-(-2))2+ (3-0,5)2=?4,52+ 2,52=⎷26,5?5,1 25

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12Milieu d"un segment

Au vidéo-projecteur, sur GeoGebra, créer 4 curseursa,b,cetdprenant des valeurs entières comprises

entre-5et5. Créer les pointsA(a;b),B(c;d)puis le milieu du segment[AB]. 1.

En utilisan tle scurseu rset en observ antles co ordonnéesdes p ointsA,BetCdans la fenêtre "algèbre»,

compléter le tableau de valeurs suivant :A(4 ; 2)(-3 ; 1)(0 ; 5)(1 ;-3)(3 ; 0)(-5 ; 4)(2 ;-2)(1 ; 1)

B(2 ; 0)(-5 ;-1)(1 ;-3)(3 ;-1)(-4 ; 2)(0 ; 0)(-2 ; 2)(-3 ; 5)C 2.

Conjecturer des relations en treles co ordonnéesdu milieu du segmen tet celles de ses extrémités.

3.Sixetysont deux nombres réels, la moyenne arithmétique dexetyest le réelx+y2

.Définition 3 :

Énoncer la conjecture précédente en utilisant la notion de moyenne arithmétique de deux nombres.

Propriété 2 :

On considère dans le plan muni d"un repère(O,I,J)les pointsA(xA;yA)etB(xB;yB). Alors le milieu du segment[AB]a pour coordonnées?xA+xB2 ;yA+yB2 ?Preuve.On se place dans un repère orthonormé du plan. 1 ercas :xA=xBouyA=yB.

Prenons par exempleyA=yBavecxB> xA.

Mest le milieu de[AB]doncM?[AB]

etMA=MB. On a donc clairementyM=yA(= y

B)et doncMA=xM-xAetMB=xB-xM. En

résolvantMA=MBon obtient2xM=xA+xB d"où le résultat.I J OA BM x AxBy A=yB2 ecas :xA?=xBetyA?=yB.

SoitCle point du plan de coordonnées(xB;yA).

Le repère étant orthonormé, le triangleABC est rectangle enC. On note respectivementP etQles milieux de[AC]et[CB]. En appli- quant le 1 ercas on obtientP?xA+xB2 ;yA? et Q x

B;yB+yA2

En utilisant deux fois la propriété de la droite des milieux, on obtient que(MP)est parallèle à(BC) et que(MQ)est parallèle à(AC)et donc les co- ordonnées deMsont(xP;yQ).I J OA BM x AxBy Ay BCPQ

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2nde.Cours - Géométrie plane rep érée

Exemples.

A(-1,5 ; 1,5)etB(3 ; 1,5)xy

OIJABM

M(0,75 ; 1,5)A(-2 ; 0,5)etB(2,5 ; 3)xy

OIJ AB M C

M(0,25 ; 1,75)13Quelq uesalgorithmes . ..

Exemple.L"algorithme5 p ermetde détermin ersi un p ointMest sur la médiatrice d"un segment[AB] lorsqu"on connaît les coordonnées de ces trois points dans un repère orthonormé.

1Entrées:Demand erles co ordonnées(xA;yA)deA;

2Demander les coordonnées(xB;yB)deB;

3Demander les coordonnées(x;y)deM;

4début5Calculerc1= (x-xA)2+ (y-yA)2;

6Calculerc2= (x-xB)2+ (y-yB)2;

7sic

1=c2alors8Afficher " Oui,Mappartient à la médiatrice de[AB]»

9fin

10sinon11Afficher " Non,Mn"est pas sur la médiatrice de[AB]»

12fin

13finAlgorithme 5:Un point appartient-il à la médiatrice d"un segment?

Exemple.Écrire l"algorithme permettant de déterminer la nature d"un triangle connaissant les coordonnées

des trois sommets dans un repère orthonormé. 27

2nde.exercices - Géométrie plane rep érée

Exercices et problèmes2

21R epérage- Longueur se tor thogonalité

1Dans un repère orthonormé(O,I,J)on donneA(3 ; 2)etB(-1 ; 6). Montrer queABIest un triangle

rectangle. Qu"en est-il du triangleABJ? Justifier.2Dans un repère orthonormé(O,I,J)on donneA(-2 ; 2),B(1 ; 1),C(-2 ;-2)etΩ(-1 ; 0)

(Ωest une lettre majuscule de l"alphabet grec qui se lit " omega »). Montrer queΩest le centre du cercle circonscrit àABC.

On se place dans un repère orthonormal(O,I,J).3Déterminer la nature du triangleABCdans les cas suivants :

1.A?1 ;⎷2

?,B?0 ; 2 +⎷2 ?etC?-3 ;⎷2-2?;

2.A(3 ; 4),B(-3 ;-2)etC?3⎷3 ; 1-3⎷3

3.A? -23 ;-5? ,B?13 ;-8? etC?73 ;-6? .4On considère les pointsA(4 ; 3),B(-1 ; 4)etC(3 ;-2). 1.

Calculer les co ordonnéesde milieu Kde[BC].

2.

Calculer KAetKB.

3. Quelle est la nature de ABC?5Déterminer la nature du quadrilatèreABCDdans les cas suivants :

1.A(-1 ;-1),B(2 ; 1),C?3 ; 1 + 2⎷3

?etD?0 ; 2⎷3-1?;

2.A(-6 ; 1),B(3 ;-5),C(9 ; 4)etD(0 ; 10);

3.A(1 ; 2),B?1 +⎷2 ; 3

?,C?1 + 2⎷2 ; 1 ?etD?1 +⎷2 ; 0 ?.6On appelleCle cercle de centreΩ(-1 ; 2)et de rayonr=⎷10. 1. P armiles p ointssuiv ants,déte rminerceu xqui appartiennen tà C:

A(4 ;-1),B(-1 ;-4),C(2 ; 1),D(0 ;-5)etE(-2 ;-3).

2.

Démon trerque Ωest le milieu de[CD].

3.

Calculer une v aleurde l"angle

\ECD, arrondie à0,1°près.7On considère les pointsA(-5 ; 9),B(-6 ; 1),C(6 ; 7)etH(-2 ; 3).

1.

Démon trerque AHBetAHCsont rectangles.

2.

Que p eut-onen déduire p ourH?

3. Calculer l"aire de ABC.8On considère les pointsA(-5 ;-1),B(11 ;-3),C(-1 ; 5)etD(7 ; 5). 1.

Démon trerque ABCetABDsont rectangles.

2. On app elleEle point d"intersection de(BC)et(AD)etFcelui de(AC)et(BD). Démontrer que (AB)et(EF)sont perpendiculaires.

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2nde.exercices - Géométrie plane rep érée

9On considère les pointsA(2 ;-1),B(8 ; 2)etC(-4 ; 5). On appelled1la médiatrice de[AB]etd2

la médiatrice de[AC]. 1. Le p ointE(7 ;-6)appartient-il àd1? et le pointF(4 ; 4)? 2. Soit Mun point de coordonnées(x;y). On suppose queM?d1. (a) Écrire une égalité v érifiéepar xety. (b)

Simplifier cette égalité.

3.

Reprendre la question précéden tea vecM?d2. Déterminer les coordonnées du centre du cercle circons-

crit àABC.10SoitABCDun carré. On appelleEle point tel queADBEsoit un parallélogramme etFle symétrique

deApar rapport àC. 1.

F aireune figure.

2.

On c hoisitcomme unité de longueur le côté du carré et on se place dans l erep ère(A,B,D).

(a) Déterminer les co ordonnéesde tous les p ointsde la figure. (b)

Démon trerque le triangle EDFest isocèle rectangle.11SoitABCDun carré de côté5. Soitaun réel de l"intervalle[0 ; 5]. On appellePle point de[AB]tel

queAP=a,Rle point de[AD]tel queDR=aetQle point tel queAPQRsoit un rectangle. On veut démontrer que les droites(PR)et(CQ)sont perpendiculaires. 1.

F aireune figure

2.

On se place dans le rep èreorthonormal d"origine A, d"axe des abscisses(AB)et d"axe des ordonnées

(AD). (a) Déterminer les co ordonnéesde tous l esp ointsde la figure. (b) Soit Sle point tel queCQPSsoit un parallélogramme. Calculer les coordonnées deS. (c)

Démon trerque PRSest un triangle rectangle.

(d) Conclure. 12Que fait l"algorithme ci-dessous? Compléter les pointillés.

1Variables2xAest un réel;yAest un réel;

3xBest un réel;yBest un réel;

4xCest un réel;yCest un réel;

5cest un réel;hest un réel;6début7Lire :xA;Lire :yA;Lire :xB;Lire :yB;

8Lire :xC;Lire :yC;

9c←(xB-xA)2+ (yB-yA)2+ (xC-xA)2+ (yC-yA)2;

10h←(xC-xB)2+ (yC-yB)2;

11sih=calors12Afficher:. ... ..;

13sinon14Afficher:. ... ..;

15fin

16finAlgorithme 6:Dans un repère orthonormé13Écrire un algorithme qui demande les coordonnées de trois points et vérifie si, dans un repère ortho-

normal, le triangle formé est isocèle. 29

2nde.exercices - Géométrie plane rep érée

22R epérage- Coor donnéese tmilieux

14Dans un repère, on donneA(2 ;-4),B(-4 ; 5)etI(-1 ;12

Montrer queAest le symétrique deBpar rapport àI.15On considère la figure ci-contre : Déterminer les coordonnées de tous les points de la figure 1. dans le rep ère(C,B,D); 2. dans le rep ère(E,H,I); 3. dans le rep ère(H,I,G).CH BJGA IEFD

16On se place dans un repère(O,I,J). On considère les pointsA(2;-1),B(-1 ; 3),C(1 ; 3)etD(-1 ; 4).

1.

F aireune figure.

2. Déterminer les co ordonnéesde tous l esp ointsde la figure (a) dans le repère(B,C,D);(b) dans le rep ère(B,D,C). 3.

Placer le p ointKde coordonnées(2 ; 1)dans le repère(O,I,J). Déterminer les coordonnées de tous

les points de la figure dans le repère(I,K,J).17SoitABCDun parallélogramme. On appelleEle symétrique deApar rapport àB,Fle point tel que

BDEFsoit un parallélogramme etGle centre de gravité deAEC. 1.

F aireune figure.

2. Déterminer les co ordonnéesde tous l esp ointsde la figure

(a) dans le repère(A,B,D);(b) dans le rep ère(C,D,B).18SoitABCDun parallélogramme. Construire les points suivants :

1.Ede coordonnées?12

;12 dans(A,B,D);

2.Fde coordonnées(1 ; 1)dans(A,B,C);

3.Gde coordonnées(2 ;-1)dans(B,A,C);

4.Hde coordonnées?

-12 ; 1? dans(D,C,B).

Dans les exercices suivants, on se place dans un repère(O,I,J).19Calculer les coordonnées du milieuKde[AB]dans les cas suivants :

1.A(2 ; 3)etB(-1 ; 4);2. A(2 ;-3)etB(2 ;-7);

3.A?12

;-3? etB? -52 ; 3?

4. A?34

;-25 etB? -23 ; 0?

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2nde.exercices - Géométrie plane rep érée

20Déterminer siABCDest un parallélogramme dans les cas suivants :

1.A(-1 ;-2),B(3 ; 0),C(0 ; 1)etD(-4 ;-1);

2.A(2 ; 5),B(-1 ; 4),C(-2 ;-3)etD(-5 ;-3);21On considère les pointsA(3 ; 4),B(-1 ; 1),C(-5 ;-2),D(1 ;-6)etE(2 ;-1).

1.

F aireune figure.

2.

Démon trerque (BE)et(CD)sont parallèles.22On considère les pointsA(4 ;-2),B(2 ; 4),C(-1 ; 5)etD(-2 ; 0). On veut démontrer queABCD

est un trapèze. 1.

F aireune figure.

2. Soit Ele milieu de[AD]. Démontrer queABCEest un parallélogramme. 3.

Conclure quan tà la nature de ABCD.23On considère les pointsA(2 ;-3)etB(-1 ; 1). SoitCle symétrique deApar rapport àB.

1.

Préciser les p ositionsrelativ esde A,BetC.

2. On p oseC(xC;yC). Déterminer deux équations vérifiées parxCetyC. 3. Calculer les co ordonnéesde C.24On considère les pointsA(-1 ; 3),B(2 ;-2)etC(4 ;-1). 1. Déterminer les co ordonnéesdu milieu de [AC]. 2.

Déterminer les co ordonnéesde Dtel queABCDsoit un parallélogramme.25On considère les pointsA(-4 ;-3),B(2 ;-1)etC(0 ; 3).

1.

F aireune figure.

2. Déterminer les co ordonnéesde Dtel queABCDsoit un parallélogramme. 3. Soit Ele milieu de[CD]. Déterminer les coordonnées deE. 4. Soit Fle symétrique deApar rapport àE. Déterminer les coordonnées deF. 5.

Démon trerque ADFCest un parallélogramme.

6.

Démon trerque Cest le milieu de[BF].26SoitABCDun parallélogramme etIle milieu de[CD]. On appelleEle symétrique deIpar rapport

àC,Gle symétrique deIpar rapport àBetFle point tel queBICFsoit un parallélogramme. 1.

F aireune figure.

2. En se plaçan tdans le rep ère(A,B,D), démontrer queFest le milieu de[EG]. 31
Exercices du livre Déclic2deCoordonnées dans le plan

1Exercices20et21page 230;

QCM page 229 et exercices15à17page 230Utiliser des coordonnées pour le calcul de distances

2Exercices22à26page 231 et35page 232Utiliser les coordonnées du milieu d"un segment

3Exercices37à38page 232 et43page 233Étudier les configurations du plan

4Exercices44à45page 233Savoir faire

5Lire " Savoir faire » et " Points méthode »

pages 221 et 223 32
quotesdbs_dbs29.pdfusesText_35

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