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Exercice 4 Étudier la nature des séries suivantes : Exercice 6 (1) Montrer que la série de terme général un = n ?1 + ln n ? ln(n + 1) est convergente
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Exercice 7 : [énoncé] (a) Si ? ? 0 il y a divergence grossière Si ? > 0 alors n2un ? 0 et la série est absolument convergente
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Exercice 4 Calculer les sommes des séries suivantes après avoir vérifié leur convergence 1) (**) ?+? n=0 n+1 3n
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On en déduit que la série ?(un ? un?1) converge absolument si bien qu'elle converge La convergence de cette série télescopique permet de conclure que la
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5 jui 2014 · Exercice 1 (* à ***) • En écrivant n ? 1 3n = 1 3 × n 3n?1 ? 1 3n on reconnait une somme de deux séries
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Chapitre 02 : Séries numériques – Exercices A l'aide d'une série télescopique montrer la convergence et calculer la somme de la série ?
Séries
* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficileI : Incontournable
Exercice 1Nature de la série de terme général1) (*)lnn2+n+1n
2+n12) (*)1n+(1)npn
3) (**)n+32n+1
lnn4) (**)1ln(n)ln(chn)5) (**)arccos3q11n
26) (*)n2(n1)!7)
cos1pn n1pe8) (**)ln2p
arctann2+1n9) (*)
Rp=20cos2xn
2+cos2xdx10) (**)np2sin(p4
+1n )11) (**)e1+1n nNature de la série de terme général
1) (***)
4pn4+2n23pP(n)oùPest un polynôme.2) (**)1n
aS(n)oùS(n) =å+¥p=21p n.3) (**)unoù8n2N,un=1n
eun1.4) (****)un=1p
noùpnest len-ème nombre premier (indication : considéreråNn=1ln
111pn
åNn=1ln(1+pn+p2n+:::)).
5) (***)un=1n(c(n))aoùc(n)est le nombre de chiffres denen base 10.
6) (*)
(Õnk=2lnk)a(n!)ba>0 etb>0.7) (**)arctan1+1n a arctan11n a8) (**)
1n aånk=1k3=2.9) (***)Õnk=11+kn a1.Nature de la série de terme général
1) (***)sinpn2n+1
2) (**)(1)nn+(1)n13) (**)ln
1+(1)npn
4) (***)einan
,cos(na)n etsin(na)n5) (**)(1)nlnnn
(1)nP(n)Q(n)oùPetQsont deux polynômes non nuls7) (****)(sin(n!pe))ppentier naturel non nul.
Calculer les sommes des séries suivantes après avoir vérifié leur convergence.1) (**)
å+¥n=0n+13
n2) (**)å+¥n=32n1n34n3) (***)å+¥n=01(3n)!
4) (*)
å+¥n=21pn1+1pn+12pn
5) (**)
å+¥n=2ln
1+(1)nn
6) (***)
å+¥n=0lncosa2
na20;p2 textbf7)å+¥n=0th
a2 n2 n 1 converge. Montrer queun=n!+¥o1n . Trouver un exemple de suite(un)n2Nde réels strictement positifs telleque la série de terme généralunconverge mais telle que la suite de terme généralnunne tende pas vers 0.
2diverge.
u n)etRun0dx1+xesont de mêmes natures. terme généralpu nnconnaissant la nature de la série de terme généralunpuis en calculer la somme en cas de convergence.
Pourn2N, on poseSn=u0+:::+un. Etudier en fonction dea>0 la nature de la série de terme généralun(Sn)a.
2a,n>1.
+13 14 +:::=ln2.A partir de la série précédente, on construit une nouvelle série en prenantptermes positifs,qtermes négatifs,p
termes positifs ... (Par exemple pourp=3 etq=2, on s"intéresse à 1+13 +15 12 14 +17 +19 +11116 18 2
Convergence et somme de cette série.
Convergence et somme éventuelle de la série de terme général1) (**)un=2n33n2+1(n+3)!2) (***)un=n!(a+1)(a+2):::(a+n),n>1,a2R+donné.
n!(a+1)(a+2):::(a+n)quandntend vers l"infini (aréel positif donné).å+¥k=n+11k
2quandntend vers l"infini.
Partie principale quandntend vers+¥de
1) (***)
å+¥p=n+1(1)plnpp
2) (**)ånp=1pp.
n2N;n6=p1n 2p2 etån2N
p2N;p6=n1n 2p2 . Que peut-on en déduire ?å+¥n=0(1)n3n+1.
. Montrer que si la série de terme général(un)2converge alors la série de terme général(vn)2converge et queå+¥n=1(vn)264å+¥n=1(un)2(indication :
majorerv2n2unvn). 3ånk=0(1)k2k+1,n>0.
Correction del"exer cice1 N1.Pour n>1, on poseun=lnn2+n+1n 2+n1 .8n>1,unexiste u n=ln1+1n +1n2ln1+1n
1n2=n!+¥
1n +O1n 21n+O1n 2=O1n 2.
Comme la série de terme général
1n2,n>1, converge (série de RIEMANNd"exposanta>1), la série de
terme généralunconverge. 2.Pour n>2, on poseun=1n+(1)npn
.8n>2,unexiste et de plusunn!+¥1n . Comme la série de terme général 1n ,n>2, diverge et est positive, la série de terme généralundiverge. 3.Pour n>1, on poseun=n+32n+1
lnn. Pourn>1,un>0 et ln(un) =ln(n)lnn+32n+1 =ln(n) ln12 +ln 1+3n ln 1+12n n!+¥ln(n) ln2+O1n n!+¥ln2ln(n)+o(1):Doncun=eln(un)n!+¥eln2lnn=1n
ln2. Comme la série de terme général1n ln2,n>1, diverge (série de RIEMANNd"exposanta61) et est positive, la série de terme généralundiverge. 4. Pour n>2, on poseun=1ln(n)ln(chn).unexiste pourn>2. ln(chn)n!+¥lnen2 =nln2n!+¥net unn!+¥1nln(n)>0. Vérifions alors que la série de terme général1nlnn,n>2, diverge. La fonctionx!xlnxest continue,
sur]1;+¥[). Par suite, la fonctionx!1xlnxest continue et décroissante sur]1;+¥[et pour tout entierk
supérieur ou égal à 2,1klnk>Rk+1
k1xlnxdxPar suite, pourn>2,
nk=2klnk>ånk=2R
k+1 k1xlnxdx=Rn+1Doncunest positif et équivalent au terme général d"une série divergente. La série de terme généralun
diverge. 5.Pour n>1, on poseun=arccos3q11n
2.unexiste pourn>1. De plusun!n!+¥0. On en déduit que
u nn!+¥sin(un) =sin arccos 3r11n 2! =s1 11n 2 2=3 =n!+¥s11+23n2+o1n 2 n!+¥r2 3 1n >0terme général d"une série de RIEMANNdivergente. La série de terme général un diverge.
6. Pour n>1, on poseun=n2(n1)!.unexiste etun6=0 pourn>1. De plus, 5 un+1u n =(n+1)2n2(n1)!n!=(n+1)2n
3n!+¥1n
!n!+¥0<1. D"après la règle de d"ALEMBERT, la série de terme généralunconverge. 7.Pour n>1, on poseun=
cos1pn n1pe .unest défini pourn>1 car pourn>1,1pn 20;p2 et donc cosquotesdbs_dbs45.pdfusesText_45[PDF] somme telescopique convergence
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