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On en déduit que la série ?(un ? un?1) converge absolument si bien qu'elle converge La convergence de cette série télescopique permet de conclure que la 



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Chapitre 02 : Séries numériques – Exercices A l'aide d'une série télescopique montrer la convergence et calculer la somme de la série ?

:

Chapitre11Séries numériques

11.1. Convergence et divergence d"une sérieQuestion 1Comment montrer qu"une série converge?

Soit(un)une suite réelle de premier termeun0.

•On dit que la série? n≥n0u nconverge si et seulement si la suite? N? n=n0u n?

N≥n0converge.

On note alors

n=n0u n= limN→+∞N n=n0u n •unest le terme général de la série. n=n0u nest la somme de la série. N? n=n0u nest une somme partielle de la série. •Une série qui ne converge pas est dite divergente. •La nature d"une série correspond à sa convergence ou sa divergence. •Si la série? n≥n0u nconverge, alors pourp≥n0,+∞? n=p+1u nest appelée reste d"ordrepde la série, et on alimp→+∞+∞? n=p+1u n= 0. •On dit que la série? n≥n0u nconverge absolument si et seulement si la série? n≥n0|un| converge. n≥n0u nconverge absolument?? n≥n0u nconverge Attention, la réciproque est fausse.RAPPEL DE COURS

Méthode 1En reconnaissant une série usuelle

1. Série exponentielle :

?x?R,? n≥0x nn!converge et+∞? n=0x nn!=ex

2. Séries de Riemann :

Soitα?R.?

n≥11n

αconverge??α >1.

3. Séries géométriques et séries géométriques dérivées :

Soitx?R.?

n≥0x n,? n≥1nx n-1,? n≥2n(n-1)xn-2convergent?? |x|<1RAPPEL DE COURS

Convergence et divergence d"une série1

Et dans ce cas, on a :

n=0q n=11-q?r?N,+∞? n=rq n=qr11-q n=1nq n-1=1(1-q)2+∞? n=2n(n-1)qn-2=2(1-q)3 n≥n0u nconverge?? ?c?R?,? n≥n0cu nconverge n≥n0u nconverge et? n≥n0v nconverge?? n≥n0u n+vnconverge

Attention, la réciproque est fausse.Il s"agit simplement ici de faire apparaître à l"aide d"opérations calculatoires simples une

série usuelle, permettant alors de conclure sur la convergence de la série en question.POINT MÉTHODOLOGIQUE

ExerciceMontrer que

n≥1x ln(n)converge pourx? 0,1e .CorrigéSoitx?? 0,1e , x -ln(x)

Or0< x <1e

doncln(x)1et on a une série de Riemann convergente.

Ainsi?x??

0,1e n≥1x ln(n)convergeMéthode 2Par calcul direct de la somme de la série Lorsque la question indique : " montrer la convergence de la série et en calculer sa somme », on montrera que la série converge en calculant directement sa somme. Nous vous invitons donc à vous référer àQuestion 3. Comment calculer la somme d"une série?pour cette méthode.POINT MÉTHODOLOGIQUE Méthode 3Par utilisation du critère d"encadrement (un)n≥n0et(vn)n≥n0sont deux suites de réels. Si? n≥n0v nconverge Alors n≥n0u nconverge.RAPPEL DE COURS

Convergence et divergence d"une série2

Comme rappelé ci-dessus, le critère de d"encadrement doit s"appliquer à deux suites positives

à partir d"un certain rang. Si l"on veut montrer la convergence d"une série dont le terme général est une suiteu, trois cas existent alors :

•Le cas oùuest à valeurs positives ou nulles. On peut alors appliquer le théorème directe-

ment en trouvant un encadrement avec une suitevà valeurs positives ou nulles.

•Le cas oùuest à valeurs négatives ou nulles. On applique alors le théorème à-upour

montrer la convergence de la série de terme général-u, puis on conclut que celle de terme généraluconverge.

•Le cas oùun"est pas de signe constant. On applique alors le théorème à|u|, on montre

ainsi la convergence absolue de la série et on conclut alors sur la convergence de la série.POINT MÉTHODOLOGIQUE

ExerciceMontrer que

n≥1sin(n)n 2?

Ainsi,?

2? 2 n≥11n

2converge (série de Riemann avec2>1)

Donc n≥1sin(n)n

2converge absolument.

Ainsi,

n≥1sin(n)n

2convergeMéthode 4Par utilisation du critère d"équivalence

(un)n≥n0et(vn)n≥n0sont deux suites de réels.?• ?p?N,?n≥p, un≥0 ou?q?N,?n≥q, vn≥0

•un≂n→+∞vn

Alors?

n≥n0u net? n≥n0v nsont de même nature.RAPPEL DE COURS

Comme rappelé ci-dessus, le critère d"équivalence doit s"appliquer à deux suites dont l"une

au moins est positive à partir d"un certain rang. Si l"on veut montrer la convergence d"une série dont le terme général est une suiteu, trois cas existent alors : •Le cas oùu, ou sa suite équivalente, est à valeurs positives ou nulles. On peut alors appliquer directement le théorème.

•Le cas oùu, ou sa suite équivalente, est à valeurs négatives ou nulles. On applique alors le

théorème à-upour montrer la convergence de la série de terme général-u, puis on conclut

que celle de terme généraluconverge. •Le cas oùuet sa suite équivalente ne sont pas de signe constant. On applique alors le

théorème à|u|, on montre ainsi la convergence absolue de la série et on conclut alors sur la

convergence de la série.POINT MÉTHODOLOGIQUE

ExerciceExtrait d"ESSEC 2016

Convergence et divergence d"une série3

Soitx?R\Z. Montrer que?

n≥02xn

2-x2converge.Corrigéxn"est pas un entier relatif doncx2non plus.

Donc?n?N,n2?=x2i.e.n2-x2?= 0.

2xn

2-x2≂n→+∞2xn

2

Donc????2xn

2-x2? ???≂n→+∞? ???2xn 2? ???≂n→+∞2|x|n 2 ??????• ?n≥0,????2xn 2-x2? ???≥0 •????2xn 2-x2? ???≂n→+∞2|x|n 2 n≥12|x|n

2converge (série de Riemann, 2 > 1)

Donc n≥02xn

2-x2converge absolument.

Ainsi,

n≥02xn

2-x2convergeMéthode 5Par utilisation du critère de négligeabilité

(un)n≥n0et(vn)n≥n0sont deux suites de réels. Si? ???•un=◦n→+∞(vn) • ?p?Ntel que?n≥p, vn≥0 n≥n0v nconverge Alors n≥n0u nconverge.RAPPEL DE COURS Pour montrer la convergence d"une série dont le terme général est une suiteu, en utilisant la négligeabillité deupar rapport à une suitev, il est important de prendre une suitevqui respecte le critère de positivité. Sivest à valeurs négatives, il faut alors travailler avec-v. Sivchange de signe, il faut alors travailler avec|v|. La suitevest généralement le terme général d"une série de Riemann (on a souvent?n? N ?, vn=1n

2)POINT MÉTHODOLOGIQUE

ExerciceMontrer que

n≥1n

2ln(n)e-nconverge.Corrigélim

n→+∞n2×n2ln(n)e-n= 0par croissances comparées

Ainsi,

2? • ?n≥1,1n

2≥0

n≥11n

2converge (série de Riemann avec2>1)Convergence et divergence d"une série4

Ainsi n≥2n

2ln(n)e-nconvergeMéthode 6Par utilisation du théorème sur les séries télescopiques

(un)n≥n0converge??? n≥n0(un+1-un)convergeRAPPEL DE COURS

Dès qu"on identifie une série téléscopique (série dont le terme général est de la formeun+1-

u n), il faut penser à utiliser le point de cours ci-dessus. Ce critère est au programme, inutile de le redémontrer!POINT MÉTHODOLOGIQUE

ExerciceExtrait d"EDHEC 2013

Montrer que

n≥11n(n+ 1)converge.CorrigéOn remarque que?n≥1,1n(n+ 1)=1n -1n+ 1 Or?1n n≥1converge et tend vers0. Donc par le théorème des séries télescopiques, n≥1? 1n -1n+ 1? converge,

Ainsi,

n≥11n(n+ 1)convergeMéthode 7Par étude de la suite des sommes partielles de la série

Pour montrer qu"une série

n≥n0u nconverge, on peut montrer que la suite des sommes partielles de la série converge. Pour cela, on pose?N≥n0,SN=N? n=n0u net on cherche à montrer que la suite(SN)N≥n0converge. Toutes les méthodes pour montrer la convergence d"une suite sont alors à notre disposition (théorème d"encadrement, théorème de la limite monotone, ...).POINT MÉTHODOLOGIQUE

ExerciceMontrons que

n≥1(-1)n⎷n+nconverge. On admettra que si les sous-suites extraites de rangs pairs et impairs d"une suiteu convergent et ont même limite, alorsuconverge.CorrigéNotons?N?N?, SN=N? n=1(-1)n⎷n+n • ?N?N?,Convergence et divergence d"une série5 S

2N+2-S2N=2N+2?

n=1(-1)n⎷n+n-2N? n=1(-1)n⎷n+n ⎷2N+ 2 + 2N+ 2≥⎷2N+ 1 + 2N+ 1

Donc(S2N)N≥1est décroissante (1).

• ?N?N?, S

2N+3-S2N+1=2N+3?

n=1(-1)n⎷n+n-2N+1? n=1(-1)n⎷n+n =-1⎷2N+ 3 + 2N+ 3+1⎷2N+ 2 + 2N+ 2≥0

Donc(S2N+1)N≥1est croissante (2).

• ?N?N?, S

2N+1-S2N=2N+1?

n=1(-1)n⎷n+n-2N? n=1(-1)n⎷n+n =-1⎷2N+ 1 + 2N+ 1→N→+∞0 (3). D"après (1), (2) et (3),(S2N)N≥1et(S2N+1)N≥1sont adjacentes donc convergent et ont même limite. Les sous-suites extraites de rangs pairs et impairs convergent et ont même limite. Donc (SN)N≥1converge.

Ainsi,

n≥1(-1)n⎷n+nconvergeQuestion 2Comment montrer qu"une série diverge?

Remarque

La divergence absolue n"entraîne pas la divergence. Ainsi montrer qu"une série diverge absolument ne permet pas de conclure que la série diverge.

C"est une erreur fréquente à ne surtout pas faire.Méthode 1En montrant que la limite du terme général est différente de 0

n≥n0u nconverge?limn→+∞un= 0

Si la suite de terme généralunne converge pas vers 0 alors la série de terme généralundiverge.RAPPEL DE COURS

Lorsque l"énoncé demande si une série converge ou non, il faut toujours avoir le réflexe de vérifier si la limite du terme général vaut 0. Si ce n"est pas le cas, on peut conclure directement en évitant une démonstration. Attention,si la limite de la suite vaut 0 cela ne veut pas dire que la série converge. C"est une condition nécessaire de convergence mais non suffisante!POINT MÉTHODOLOGIQUE

ExerciceMontrer que

n≥1ln?? 1-1n n? diverge.Corrigéln 1-1n n? =nln? 1-1n n→+∞-n×1n ≂n→+∞-1

Ainsilimn→+∞ln??

1-1n n? =-1?= 0Convergence et divergence d"une série6 Donc n≥1ln?? 1-1n n? divergeRemarque Attention à ne pas faire l"erreur de direlimn→+∞1-1n = 1donclimn→+∞? 1-1n n = 1quotesdbs_dbs45.pdfusesText_45
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