[PDF] Feuille dexercices n?21 : corrigé - Normale Sup
5 jui 2014 · La série est à termes positifs et son terme général est Exercice 3 (*) La somme partielle va également être télescopique :
[PDF] L2 - Math4 Exercices corrigés sur les séries numériques
Montrer par comparaison avec une intégrale que la série converge (d) Étudier le cas ? < 1 Exercice 3 Calculer la somme des séries ? n?1
[PDF] Séries - Exo7 - Exercices de mathématiques
Séries Exercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur qui est le terme général d'une série télescopique convergente puisque 1
[PDF] Séries numériques - Xiffr
n?0 u2 n diverge Application à l'étude de suites Exercice 56 [ 01070 ] [Correction] Calculer la limite
[PDF] 02 - Séries numériques Exercices Corrigés (indispensables)
Séries télescopiques 1 La série proposée est clairement télescopique construite avec la suite (an) donnée par : ? n ?
[PDF] Chapitre 1 : Séries numériques Exercice 11 - Université de Rennes 1
Chapitre 1 : Séries numériques Exercice 1 1 convergence d'une série numérique si la série ? De telles séries sont dites téléscopiques
[PDF] Exercices corrigés séries numériques
Exercice 6 : Discuter selon les valeurs de a la nature de la série ? La somme se calcule alors : elle est télescopique Posant vn = ln(n + 1) – ln(n +
[PDF] MATHS SÉRIES NUMÉRIQUES ECS - MyPrepa
Exercice Extrait d'ESSEC 2016 Convergence et divergence d'une série Dès qu'on identifie une série téléscopique (série dont le terme général est de la
[PDF] Feuille dexercices 2 : Séries numériques - SENEPIXEL
Exercice 2 : Etudier la nature des séries de terme général un en calculant la valeur des sommes partielles : 1 Série téléscopique :
[PDF] Séries numériques - Licence de mathématiques Lyon 1
Exercice 23 On considère la série numérique de terme général pour et : ( ( )) 1 Montrer que si cette série est convergente pour une valeur donnée
[PDF] Exercice : Séries télescopiques - Donner du sens aux Sciences
Exercice : Séries télescopiques Justifier la convergence et donner la somme de rang et le case échéant la somme de la série dont le terme général est le
[PDF] L2 - Math4 Exercices corrigés sur les séries numériques
Exercice 4 Étudier la nature des séries suivantes : Exercice 6 (1) Montrer que la série de terme général un = n ?1 + ln n ? ln(n + 1) est convergente
[PDF] Séries numériques - Xiffr
Exercice 7 : [énoncé] (a) Si ? ? 0 il y a divergence grossière Si ? > 0 alors n2un ? 0 et la série est absolument convergente
Exercices corrigés -Séries numériques - calcul de sommes
Exercices corrigés - Séries numériques - calcul de sommes estimation du reste développements asymptotiques Calcul de sommes Exercice 1 - Somme télescopique
[PDF] Séries - Exo7 - Exercices de mathématiques
Exercice 4 Calculer les sommes des séries suivantes après avoir vérifié leur convergence 1) (**) ?+? n=0 n+1 3n
[PDF] Chapitre 3 — séries numériques — exercices corrigés page 1
On en déduit que la série ?(un ? un?1) converge absolument si bien qu'elle converge La convergence de cette série télescopique permet de conclure que la
[PDF] Feuille dexercices n?21 : corrigé - Normale Sup
5 jui 2014 · Exercice 1 (* à ***) • En écrivant n ? 1 3n = 1 3 × n 3n?1 ? 1 3n on reconnait une somme de deux séries
[PDF] 02 - Séries numériques Exercices - cpgedupuydelomefr
Chapitre 02 : Séries numériques – Exercices A l'aide d'une série télescopique montrer la convergence et calculer la somme de la série ?
Chapitre11Séries numériques
11.1. Convergence et divergence d"une sérieQuestion 1Comment montrer qu"une série converge?
Soit(un)une suite réelle de premier termeun0.
•On dit que la série? n≥n0u nconverge si et seulement si la suite? N? n=n0u n?N≥n0converge.
On note alors
n=n0u n= limN→+∞N n=n0u n •unest le terme général de la série. n=n0u nest la somme de la série. N? n=n0u nest une somme partielle de la série. •Une série qui ne converge pas est dite divergente. •La nature d"une série correspond à sa convergence ou sa divergence. •Si la série? n≥n0u nconverge, alors pourp≥n0,+∞? n=p+1u nest appelée reste d"ordrepde la série, et on alimp→+∞+∞? n=p+1u n= 0. •On dit que la série? n≥n0u nconverge absolument si et seulement si la série? n≥n0|un| converge. n≥n0u nconverge absolument?? n≥n0u nconverge Attention, la réciproque est fausse.RAPPEL DE COURSMéthode 1En reconnaissant une série usuelle
1. Série exponentielle :
?x?R,? n≥0x nn!converge et+∞? n=0x nn!=ex2. Séries de Riemann :
Soitα?R.?
n≥11nαconverge??α >1.
3. Séries géométriques et séries géométriques dérivées :
Soitx?R.?
n≥0x n,? n≥1nx n-1,? n≥2n(n-1)xn-2convergent?? |x|<1RAPPEL DE COURSConvergence et divergence d"une série1
Et dans ce cas, on a :
n=0q n=11-q?r?N,+∞? n=rq n=qr11-q n=1nq n-1=1(1-q)2+∞? n=2n(n-1)qn-2=2(1-q)3 n≥n0u nconverge?? ?c?R?,? n≥n0cu nconverge n≥n0u nconverge et? n≥n0v nconverge?? n≥n0u n+vnconvergeAttention, la réciproque est fausse.Il s"agit simplement ici de faire apparaître à l"aide d"opérations calculatoires simples une
série usuelle, permettant alors de conclure sur la convergence de la série en question.POINT MÉTHODOLOGIQUE
ExerciceMontrer que
n≥1x ln(n)converge pourx? 0,1e .CorrigéSoitx?? 0,1e , x -ln(x)Or0< x <1e
doncln(x)Ainsi?x??
0,1e n≥1x ln(n)convergeMéthode 2Par calcul direct de la somme de la série Lorsque la question indique : " montrer la convergence de la série et en calculer sa somme », on montrera que la série converge en calculant directement sa somme. Nous vous invitons donc à vous référer àQuestion 3. Comment calculer la somme d"une série?pour cette méthode.POINT MÉTHODOLOGIQUE Méthode 3Par utilisation du critère d"encadrement (un)n≥n0et(vn)n≥n0sont deux suites de réels. Si? n≥n0v nconverge Alors n≥n0u nconverge.RAPPEL DE COURSConvergence et divergence d"une série2
Comme rappelé ci-dessus, le critère de d"encadrement doit s"appliquer à deux suites positives
à partir d"un certain rang. Si l"on veut montrer la convergence d"une série dont le terme général est une suiteu, trois cas existent alors :•Le cas oùuest à valeurs positives ou nulles. On peut alors appliquer le théorème directe-
ment en trouvant un encadrement avec une suitevà valeurs positives ou nulles.•Le cas oùuest à valeurs négatives ou nulles. On applique alors le théorème à-upour
montrer la convergence de la série de terme général-u, puis on conclut que celle de terme généraluconverge.•Le cas oùun"est pas de signe constant. On applique alors le théorème à|u|, on montre
ainsi la convergence absolue de la série et on conclut alors sur la convergence de la série.POINT MÉTHODOLOGIQUE
ExerciceMontrer que
n≥1sin(n)n 2?Ainsi,?
2? 2 n≥11n2converge (série de Riemann avec2>1)
Donc n≥1sin(n)n2converge absolument.
Ainsi,
n≥1sin(n)n2convergeMéthode 4Par utilisation du critère d"équivalence
(un)n≥n0et(vn)n≥n0sont deux suites de réels.?• ?p?N,?n≥p, un≥0 ou?q?N,?n≥q, vn≥0
•un≂n→+∞vnAlors?
n≥n0u net? n≥n0v nsont de même nature.RAPPEL DE COURSComme rappelé ci-dessus, le critère d"équivalence doit s"appliquer à deux suites dont l"une
au moins est positive à partir d"un certain rang. Si l"on veut montrer la convergence d"une série dont le terme général est une suiteu, trois cas existent alors : •Le cas oùu, ou sa suite équivalente, est à valeurs positives ou nulles. On peut alors appliquer directement le théorème.•Le cas oùu, ou sa suite équivalente, est à valeurs négatives ou nulles. On applique alors le
théorème à-upour montrer la convergence de la série de terme général-u, puis on conclut
que celle de terme généraluconverge. •Le cas oùuet sa suite équivalente ne sont pas de signe constant. On applique alors lethéorème à|u|, on montre ainsi la convergence absolue de la série et on conclut alors sur la
convergence de la série.POINT MÉTHODOLOGIQUEExerciceExtrait d"ESSEC 2016
Convergence et divergence d"une série3
Soitx?R\Z. Montrer que?
n≥02xn2-x2converge.Corrigéxn"est pas un entier relatif doncx2non plus.
Donc?n?N,n2?=x2i.e.n2-x2?= 0.
2xn2-x2≂n→+∞2xn
2Donc????2xn
2-x2? ???≂n→+∞? ???2xn 2? ???≂n→+∞2|x|n 2 ??????• ?n≥0,????2xn 2-x2? ???≥0 •????2xn 2-x2? ???≂n→+∞2|x|n 2 n≥12|x|n2converge (série de Riemann, 2 > 1)
Donc n≥02xn2-x2converge absolument.
Ainsi,
n≥02xn2-x2convergeMéthode 5Par utilisation du critère de négligeabilité
(un)n≥n0et(vn)n≥n0sont deux suites de réels. Si? ???•un=◦n→+∞(vn) • ?p?Ntel que?n≥p, vn≥0 n≥n0v nconverge Alors n≥n0u nconverge.RAPPEL DE COURS Pour montrer la convergence d"une série dont le terme général est une suiteu, en utilisant la négligeabillité deupar rapport à une suitev, il est important de prendre une suitevqui respecte le critère de positivité. Sivest à valeurs négatives, il faut alors travailler avec-v. Sivchange de signe, il faut alors travailler avec|v|. La suitevest généralement le terme général d"une série de Riemann (on a souvent?n? N ?, vn=1n2)POINT MÉTHODOLOGIQUE
ExerciceMontrer que
n≥1n2ln(n)e-nconverge.Corrigélim
n→+∞n2×n2ln(n)e-n= 0par croissances comparéesAinsi,
2? • ?n≥1,1n2≥0
n≥11n2converge (série de Riemann avec2>1)Convergence et divergence d"une série4
Ainsi n≥2n2ln(n)e-nconvergeMéthode 6Par utilisation du théorème sur les séries télescopiques
(un)n≥n0converge??? n≥n0(un+1-un)convergeRAPPEL DE COURSDès qu"on identifie une série téléscopique (série dont le terme général est de la formeun+1-
u n), il faut penser à utiliser le point de cours ci-dessus. Ce critère est au programme, inutile de le redémontrer!POINT MÉTHODOLOGIQUEExerciceExtrait d"EDHEC 2013
Montrer que
n≥11n(n+ 1)converge.CorrigéOn remarque que?n≥1,1n(n+ 1)=1n -1n+ 1 Or?1n n≥1converge et tend vers0. Donc par le théorème des séries télescopiques, n≥1? 1n -1n+ 1? converge,Ainsi,
n≥11n(n+ 1)convergeMéthode 7Par étude de la suite des sommes partielles de la sériePour montrer qu"une série
n≥n0u nconverge, on peut montrer que la suite des sommes partielles de la série converge. Pour cela, on pose?N≥n0,SN=N? n=n0u net on cherche à montrer que la suite(SN)N≥n0converge. Toutes les méthodes pour montrer la convergence d"une suite sont alors à notre disposition (théorème d"encadrement, théorème de la limite monotone, ...).POINT MÉTHODOLOGIQUEExerciceMontrons que
n≥1(-1)n⎷n+nconverge. On admettra que si les sous-suites extraites de rangs pairs et impairs d"une suiteu convergent et ont même limite, alorsuconverge.CorrigéNotons?N?N?, SN=N? n=1(-1)n⎷n+n • ?N?N?,Convergence et divergence d"une série5 S2N+2-S2N=2N+2?
n=1(-1)n⎷n+n-2N? n=1(-1)n⎷n+n ⎷2N+ 2 + 2N+ 2≥⎷2N+ 1 + 2N+ 1Donc(S2N)N≥1est décroissante (1).
• ?N?N?, S2N+3-S2N+1=2N+3?
n=1(-1)n⎷n+n-2N+1? n=1(-1)n⎷n+n =-1⎷2N+ 3 + 2N+ 3+1⎷2N+ 2 + 2N+ 2≥0Donc(S2N+1)N≥1est croissante (2).
• ?N?N?, S2N+1-S2N=2N+1?
n=1(-1)n⎷n+n-2N? n=1(-1)n⎷n+n =-1⎷2N+ 1 + 2N+ 1→N→+∞0 (3). D"après (1), (2) et (3),(S2N)N≥1et(S2N+1)N≥1sont adjacentes donc convergent et ont même limite. Les sous-suites extraites de rangs pairs et impairs convergent et ont même limite. Donc (SN)N≥1converge.Ainsi,
n≥1(-1)n⎷n+nconvergeQuestion 2Comment montrer qu"une série diverge?Remarque
La divergence absolue n"entraîne pas la divergence. Ainsi montrer qu"une série diverge absolument ne permet pas de conclure que la série diverge.C"est une erreur fréquente à ne surtout pas faire.Méthode 1En montrant que la limite du terme général est différente de 0
n≥n0u nconverge?limn→+∞un= 0Si la suite de terme généralunne converge pas vers 0 alors la série de terme généralundiverge.RAPPEL DE COURS
Lorsque l"énoncé demande si une série converge ou non, il faut toujours avoir le réflexe de vérifier si la limite du terme général vaut 0. Si ce n"est pas le cas, on peut conclure directement en évitant une démonstration. Attention,si la limite de la suite vaut 0 cela ne veut pas dire que la série converge. C"est une condition nécessaire de convergence mais non suffisante!POINT MÉTHODOLOGIQUEExerciceMontrer que
n≥1ln?? 1-1n n? diverge.Corrigéln 1-1n n? =nln? 1-1n n→+∞-n×1n ≂n→+∞-1Ainsilimn→+∞ln??
1-1n n? =-1?= 0Convergence et divergence d"une série6 Donc n≥1ln?? 1-1n n? divergeRemarque Attention à ne pas faire l"erreur de direlimn→+∞1-1n = 1donclimn→+∞? 1-1n n = 1quotesdbs_dbs45.pdfusesText_45[PDF] somme telescopique convergence
[PDF] somme théologique iii
[PDF] saint thomas d aquin wikipedia
[PDF] somme théologique saint thomas pdf
[PDF] le chat et les pigeons pdf
[PDF] obligation d être prof principal
[PDF] décret no 93-55 du 15 janvier 1993
[PDF] bo n°5 du 4 février 1993
[PDF] je ne vois dans tout animal qu'une machine ingénieuse these
[PDF] explication de texte philosophie rousseau discours sur l origine
[PDF] différents aspects du travail
[PDF] thomas d'aquin somme théologique explication
[PDF] prudence saint thomas d aquin
[PDF] angle nul définition