Convergence des séries
(un ? u0). Remarque : Lorsqu'on reconnaît une série télescopique la règle est toujours d'étudier les sommes partielles qui sont.
Séries
Mar 16 2020 Définition (Convergence d'une série
Séries
Une façon pratique d'étudier la convergence d'une série est d'étudier son reste : le reste En effet elle peut être écrite comme somme télescopique
02 - Séries numériques Cours complet
Théorème 1.4 : convergence d'une série télescopique. Théorème 1.5 : combinaison linéaire de Théorème 1.7 : cas de trois séries liées par une somme.
Feuille dexercices n?8 : corrigé
Dec 13 2011 n converge vers u0. 3. La somme partielle va également être télescopique : k=n. ?.
Séries
Convergence et somme éventuelle de la série de terme général qui est le terme général d'une série télescopique convergente puisque 1.
Feuille dexercices n?21 : corrigé
Jun 5 2014 converge (comparaison avec une série de Riemann). ... qui converge vers la somme 1? ... Une somme télescopique plus tard
SERIES NUMERIQUES
Quand la suite (Sn) ne converge pas on dit que la série diverge. Remarque 1 converge et calculer sa somme dans les cas : ... est une série télescopique.
Exercice. Convergence de ? ln(1 ? 1 k2 ) et valeur de la somme de
Donc ?(an+1 ?an) converge absolument par règle de comparaison. La série est téléscopique donc (an) converge et il existe ? tq an = ? + o(1).
PC 2021/2022 SÉRIES 1. Série télescopique a) Décomposer n2?1
b) En déduire que la série ? 1 n2?1 converge et calculer sa somme. 2. Série télescopique. Déterminer la nature et la somme de la série ? sin.
[PDF] Convergence des séries
Convergence des séries 2 1 Généralités sur les séries Définition 1 Soit (un)n?0 une suite de nombres réels • pour tout n ? N la somme partielle
[PDF] Séries
Proposition (Convergence des séries télescopiques) Démonstration En utilisant le résultat sur les sommes télescopiques on montre que pour tout entier n
[PDF] [PDF] Séries - Exo7 - Cours de mathématiques
série est convergente si la suite (Sn)n?0 converge Une somme télescopique est une série de la forme ? k?0 (ak+1 ? ak)
[PDF] PC 2022/2023 SÉRIES 1 Série télescopique a) Décomposer
Démontrer la convergence et calculer la somme des séries ? xn cos(n?) et ? xn sin(n?) 6 Déterminer en fonction des réels a et ? la nature de la série de
[PDF] 02 - Séries numériques Cours complet - cpgedupuydelomefr
Théorème 1 4 : convergence d'une série télescopique Théorème 1 5 : combinaison linéaire de séries convergentes Théorème 1 6 : équivalence de convergence
[PDF] Séries numériques - Licence de mathématiques Lyon 1
Montrer que la suite de terme général converge et calculer sa somme Allez à : Correction exercice 15 Exercice 16 Etudier la convergence des séries de
[PDF] SERIES NUMERIQUES
Dans ce cas la limite de la suite (Sn) est appelée somme de la série et converge et calculer sa somme dans les cas : est une série télescopique
[PDF] Séries numériques (résumé de cours)
Série télescopique : un := an ? an+1 La somme partielle Sn vaut a0 ? an+1 La série converge ssi lim an existe et la somme vaut alors a0 ? lim an
Somme télescopique - Wikipédia
{\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1 La convergence de la série télescopique
[PDF] 1 Convergence et somme des séries : ? arctan 1 n2 + 3n + 3 ? 3n
sn est une somme partielle télescopique : sn = vn ? v?1 = arctan n + 2 ? arctan 1 (sn) a une limite S = ?/4 donc ? un est convergente de somme S
Comment montrer qu'une somme de suite converge ?
Soit (un) une suite géométrique de raison q et de premier terme u0 = 0. si q > 1, la suite diverge vers +? si u0 > 0, vers ?? si u0 < 0. si q = 1, la suite (un) est constante et converge vers u0.Comment calculer la somme d'une série convergente ?
Lorsqu'une telle série est convergente, on note ? n = n 0 + ? u n ou sa somme ? n = n 0 + ? u n (le choix de l'une ou l'autre notation étant d'ordre typographique et non mathématique) c'est-à-dire la limite de la suite ( ? k = n 0 n u k ) quand tend vers .Comment calculer la convergence ?
S'il existe une fonction f telle que : un = f (n) et si f admet une limite finie ou infinie en alors : On va donc gérer la recherche de la limite de (un) comme on gérerait la recherche de la limite de f en , mais en utilisant n comme variable. Donc (un) converge vers 0.- La série est télescopique si nous pouvons annuler tous les termes du milieu (tous les termes sauf le premier et le dernier) . L'annulation de tout sauf la première moitié du premier terme et la seconde moitié du dernier terme donne une expression pour la série de sommes partielles.
Feuille d"exercices n°21 : corrigé
PTSI B Lycée Eiffel
5 juin 2014
Exercice 1 (* à ***)
En écrivantn13
n=13 n3 n113 n, on reconnait une somme de deux séries géométriques (dont une dérivée) convergentes, et on calcule facilement +1X n=0n13 n= 13 1(113 )21113 =13 9432
=34 (il est normal que le résultat soit négatif, le premier terme de la somme est égal à1et les autres sont trop petits pour le compenser). On peut écrire, à partir den= 2(les deux premiers termes de la série sont de toute façon nuls), n(n1)n!=1(n2)!, ce qui permet de reconnaitre une série exponen- tielle convergente et de calculer +1X n=0n(n1)xnn!=+1X n=2x n(n2)!=x2+1X n=0x nn!= x 2ex.
Inutile de beaucoup se fatiguer ici,2n2n
312n, terme général d"une série diver- gente, donc notre série diverge (elle est à termes positifs à partir du rang2).
On peut écrire12
2n+1=12
14 npour reconnaitre une série gémétrique convergente, de somme 12 1114=23 Rien à faire ici, c"est un exemple direct de série exponentielle, de somme4e1=4e La série est à termes positifs et son terme général est équivalent à1n
3, donc elle
converge (comparaison avec une série de Riemann). Pour calculer sa somme, il faut faire un télescopage, en commençant par écrire1n(n+ 1)(n+ 2)=an
+bn+ 1+ cn+ 2. En multipliant l"égalité parnet en évaluant pourn= 0, on trouvea=12 De même, en multipliant parn+ 1et en prenantn=1on ab=1. On trouve de mêmec=12 , soit1n(n+ 1)(n+ 2)=12n1n+ 1+12(n+ 2). Pour effec- tuer le télescopage, on travaille avec les sommes partielles : pX n=11n(n+ 1)(n+ 2)= 1 1 2 p X n=11n pX n=11n+ 1+12 p X n=11n+ 2=12 n X n=11n p+1X n=21n +12 p+2X n=31n =12 +14 121p+ 1+12(p+ 1)+12(p+ 2)=14
12(p+ 1)+12(p+ 2). Il y a bien convergence,
vers la somme suivante : +1X n=11n(n+ 1)(n+ 2)=14 Encore des géométriques à faire apparaitre :3 +n2n4 n+2=316 14 n+132 n2 n1, tout converge et +1X n=03 +n2n4 n+2=316 1114+132
1(112 )2=14 +18 =38 Il y a un télescopage tout simple, mais il est n"est même pas utile de s"en rendre compter :lnn+ 1n = ln 1 +1n 1n , donc la série diverge (elle est à termes positifs).
Le terme général de cette série (positive à partir den= 1) étant équivalent à14n2,
elle converge. De plus,14n21=a2n+ 1+b2n1, aveca(2n1)+b(2n+1) = 1
(pour changer, on met tout au même dénominateur et on identifie), soita+b= 0et ba= 1, doncb=12 eta=12 . On en déduit quenX k=014k21=12 n X k=012k1 12 n X k=012k+ 1=12 n X k=012k112 n+1X k=112k+ 1=1212(2n+ 1). La série converge
donc vers12Il suffit de se souvenir quech(n) =en+en2
pour écrire notre série comme somme de deux séries géométriques convergentes : +1X n=0ch(n)3 n=12 +1X n=0 e3 n+12 +1X n=01(3e)n= 12 11e3+1113e!
12
33e+3e3e1
(inutile de tenter de simplifier plus).Le terme général de cette série à termes positifs est équivalent à54n2, elle converge
donc. On effectue une décomposition en éléments simples :5(2n+ 1)(2n+ 3)=
a2n+ 1+b2n+ 3=a(2n+ 3) +b(2n+ 1)(2n+ 1)(2n+ 3). Par identification, on obtient2a+2b=0, soitb=a, et3a+b= 5, dont on déduita=52
etb=52 . Autre- ment dit, pX n=05(2n+ 1)(2n+ 3)=52 p X n=012n+ 152 p X n=012n+ 3=52 p X n=012n+ 1 52p+1X n=112n+ 1=52
52(2p+ 3). Il y a bien convergence de la série, vers52
Si on tient vraiment à prouver la convergence avant d"essayer de calculer la somme, on peut trouver un équivalent du terme général à coup de développements limités. On peut aussi anticiper le télescopage et calculer directement la somme partielle : 2 n X k=21pk1+1pk+ 12pk =n1X k=11pk +n+1X k=31pk nX k=22pk = 1 +1p2 +1pn1pn+ 12p2
2pn = 11p2 1pn +1pn+ 1, qui converge vers la somme11p2 On constate ici queenx= (ex)n. On est donc en présence d"une simple série géométrique de raisonex. Cette série convergera donc si et seulement six >0 (condition pour queex2]1;1[), vers11ex=exe x1. Rien d"évident ici, mais on sait que la suite(Fn)est récurrente linéaire d"ordre2, d"équation caractéristiquex2=x+ 1. Cette équation a pour discriminant = 5, et pour racinesx1=1 +p5 2 etx2=1p5 2 . Si on part deF0= 0etF1= 1, on aura doncFn= 1 +p5 2 n 1p5 2 n , avecF0=+= 0, et F 1=2 (1 +p5) + 2 (1p5) = 1, soit2p5 = 1, et=12 p5 , puis=12 p5Commex1>1, etjx2j<1, on obtientFn12
p5 1 +p5 2 n (le second terme tendant vers0), puis1F n2p5 21 +p5 n , terme général d"une série géométrique convergente. On en déduit que notre série converge (elle est à termes positifs), mais il n"existe en fait aucun moyen d"en calculer aisément la somme!
Exercice 2 (**)
1. On montre par une récurrence facile que8n2N,un>0. En effet, c"est vrai pouru0,
et si on le suppose vrai pourun, commeeun>0, on aura bienun+1=eunun>0. De plus, commeun>0, on aeun<1, et donceunun< un. Autrement dit, la suite(un)est décroissante. Comme elle est minorée par0, elle converge vers une certaine limitel. On en déduit queeununtend verslel, mais aussi verslpuisque cette expression est égale àun+1. On en déduit quel=lel, ce qui se produit si l= 0ou siel= 1, ce qui ne laisse que la possibilitél= 0. La suite(un)converge donc vers0.2. On remarque quevn+1= ln(un+1) = ln(eunun) =un+lnun=vnun, ce qu"on
peut aussi écrireun=vnvn+1. On en déduit queSn=nX k=0u k=nX k=0(vkvk+1) = v0vn+1(il y a télescopage).
3. Commeuntend vers0, la suite(vn)diverge vers1quandntend vers+1, et
la série(Sn)diverge donc vers+1.Exercice 3 (*)
Comme la série de terme général
1n2est une série de Riemann convergente, on sait
que son reste converge vers0. On va tout de même commencer par travailler avec des 3 sommes partielles (ou plutôt des restes partiels). Sur l"intervalle[k;k+ 1], on a l"enca- drement1(k+ 1)261x 261k2par décroissance de la fonctionx7!1x
2. En intégrant cet
encadrement, on obtient1(k+ 1)26Z
k+1 k1x2dx61k
2, soit1(k+ 1)261k
1k+ 161k
2 (encadrement qui est en l"occurrence facile à obtenir sans calculer d"intégrale). Si on somme l"inégalité de droite pourkvariant entren(qu"on fixera désormais) etp(qui va ensuite tendre vers+1), on trouve alorspX k=n1kquotesdbs_dbs45.pdfusesText_45[PDF] saint thomas d aquin wikipedia
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