Convergence des séries
(un ? u0). Remarque : Lorsqu'on reconnaît une série télescopique la règle est toujours d'étudier les sommes partielles qui sont.
Séries
Mar 16 2020 Définition (Convergence d'une série
Séries
Une façon pratique d'étudier la convergence d'une série est d'étudier son reste : le reste En effet elle peut être écrite comme somme télescopique
02 - Séries numériques Cours complet
Théorème 1.4 : convergence d'une série télescopique. Théorème 1.5 : combinaison linéaire de Théorème 1.7 : cas de trois séries liées par une somme.
Feuille dexercices n?8 : corrigé
Dec 13 2011 n converge vers u0. 3. La somme partielle va également être télescopique : k=n. ?.
Séries
Convergence et somme éventuelle de la série de terme général qui est le terme général d'une série télescopique convergente puisque 1.
Feuille dexercices n?21 : corrigé
Jun 5 2014 converge (comparaison avec une série de Riemann). ... qui converge vers la somme 1? ... Une somme télescopique plus tard
SERIES NUMERIQUES
Quand la suite (Sn) ne converge pas on dit que la série diverge. Remarque 1 converge et calculer sa somme dans les cas : ... est une série télescopique.
Exercice. Convergence de ? ln(1 ? 1 k2 ) et valeur de la somme de
Donc ?(an+1 ?an) converge absolument par règle de comparaison. La série est téléscopique donc (an) converge et il existe ? tq an = ? + o(1).
PC 2021/2022 SÉRIES 1. Série télescopique a) Décomposer n2?1
b) En déduire que la série ? 1 n2?1 converge et calculer sa somme. 2. Série télescopique. Déterminer la nature et la somme de la série ? sin.
[PDF] Convergence des séries
Convergence des séries 2 1 Généralités sur les séries Définition 1 Soit (un)n?0 une suite de nombres réels • pour tout n ? N la somme partielle
[PDF] Séries
Proposition (Convergence des séries télescopiques) Démonstration En utilisant le résultat sur les sommes télescopiques on montre que pour tout entier n
[PDF] [PDF] Séries - Exo7 - Cours de mathématiques
série est convergente si la suite (Sn)n?0 converge Une somme télescopique est une série de la forme ? k?0 (ak+1 ? ak)
[PDF] PC 2022/2023 SÉRIES 1 Série télescopique a) Décomposer
Démontrer la convergence et calculer la somme des séries ? xn cos(n?) et ? xn sin(n?) 6 Déterminer en fonction des réels a et ? la nature de la série de
[PDF] 02 - Séries numériques Cours complet - cpgedupuydelomefr
Théorème 1 4 : convergence d'une série télescopique Théorème 1 5 : combinaison linéaire de séries convergentes Théorème 1 6 : équivalence de convergence
[PDF] Séries numériques - Licence de mathématiques Lyon 1
Montrer que la suite de terme général converge et calculer sa somme Allez à : Correction exercice 15 Exercice 16 Etudier la convergence des séries de
[PDF] SERIES NUMERIQUES
Dans ce cas la limite de la suite (Sn) est appelée somme de la série et converge et calculer sa somme dans les cas : est une série télescopique
[PDF] Séries numériques (résumé de cours)
Série télescopique : un := an ? an+1 La somme partielle Sn vaut a0 ? an+1 La série converge ssi lim an existe et la somme vaut alors a0 ? lim an
Somme télescopique - Wikipédia
{\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1 La convergence de la série télescopique
[PDF] 1 Convergence et somme des séries : ? arctan 1 n2 + 3n + 3 ? 3n
sn est une somme partielle télescopique : sn = vn ? v?1 = arctan n + 2 ? arctan 1 (sn) a une limite S = ?/4 donc ? un est convergente de somme S
Comment montrer qu'une somme de suite converge ?
Soit (un) une suite géométrique de raison q et de premier terme u0 = 0. si q > 1, la suite diverge vers +? si u0 > 0, vers ?? si u0 < 0. si q = 1, la suite (un) est constante et converge vers u0.Comment calculer la somme d'une série convergente ?
Lorsqu'une telle série est convergente, on note ? n = n 0 + ? u n ou sa somme ? n = n 0 + ? u n (le choix de l'une ou l'autre notation étant d'ordre typographique et non mathématique) c'est-à-dire la limite de la suite ( ? k = n 0 n u k ) quand tend vers .Comment calculer la convergence ?
S'il existe une fonction f telle que : un = f (n) et si f admet une limite finie ou infinie en alors : On va donc gérer la recherche de la limite de (un) comme on gérerait la recherche de la limite de f en , mais en utilisant n comme variable. Donc (un) converge vers 0.- La série est télescopique si nous pouvons annuler tous les termes du milieu (tous les termes sauf le premier et le dernier) . L'annulation de tout sauf la première moitié du premier terme et la seconde moitié du dernier terme donne une expression pour la série de sommes partielles.
UE7 - MA5 : Analyse
SERIES NUMERIQUES
réelles ou complexesI. Généralités
Définition 1
Etant donnée une suite (u
n ) de nombres réels ou complexes, on appelle série de terme général un la suite (S n ) définie par : (1) S n = u 0 + u 1 + ... + u n k = 0n uk est appelée somme partielle d'indice n (ou de rang n , ou d'ordre n) de la série.Notation
On note généralement
n 0 u n ou u n la série de terme général u n Exemples de séries déjà considérées : Séries géométriques ; suites définies par des relations de récurrence S n = S n-1 + u n ; écriture décimale (éventuellement illimitée) d'un réel.Définition 2 ,
de la convergenceOn dit que la série
u n converge si la suite (S n ) définie en (1) converge.Dans ce cas, la limite de la suite (S
n) est appelée somme de la série et notée S = n = 0& u nQuand la suite (S
n ) ne converge pas, on dit que la série diverge.Remarque 1
Si on considère seulement (u
n) pour n n 0 > 0 , on peut, pour n n 0 , poser S n k = n 0 n uk et appeler alors série de terme général u n la nouvelle suite (S nCette série est alors notée
n n 0 u n 2 Il est aisé de vérifier que la convergence de n 0 u néquivaut à celle de
n n 0 u n , mais en général n = 0& u n n'est pas égal à n = n 0 u n quand la série converge.Définition 3
Pour une série convergente,
n 0 u n , de somme S et de sommes partielles S n , on appelle reste d'ordre (ou de rang n) la différence R n = S - S n R n est aussi la somme de la série convergente p n + 1 u p , c'est-à-dire R n p= n + 1& u pExemple
Si u n = 1 n(n + 1) pour n 1 , on obtient u n = 1 n , S n = 1 - 1 n + 1 et la série n1 1 n(n + 1) converge et a pour somme 1.Exemple
Si u n = (-1) n pour n 0 , S n = 1 si n est pair alors que S n = 0 si n est impair, et la série (-1) n diverge.Théorème 1
Si la série
u n converge, alors le terme général u n tend vers 0 quand n tend vers + & .Attention : la réciproque de ce théorème est fausse et il existe des séries dont le terme général tend
vers 0 et qui sont divergentes (voir 1 n ci-dessous).Remarque 2
Le théorème précédent est utile sous la forme contraposée : si (u n ) ne tend pas vers 0, la série u n diverge. On dit alors que la série est grossièrement divergente. 3 Exemple de référence : séries géométriquesLa série
n 0 a n où a ' Â est convergente si et seulement si ...a... < 1 et sa somme est alors S = 1 1 - a n = 0& a n Attention : la somme change si la série ne commence pas à n = 0 ; par exemple si ...a... < 1 , n = 2& a n = a 2 1 - a Le résultat qui suit permet de munir l'ensemble des séries convergentes d'une structure d'espace vectoriel :Théorème 2
Soient
u n et v n deux séries convergentes.La série somme
(u n + v n ) est convergente et on a n = 0& (u n + v n n = 0& u n n = 0& v nSi ¬ est un scalaire, la série
(¬ u n ) est convergente et on a n = 0& (¬ u n n = 0& u nOn en déduit alors le résultat suivant :
Corollaire
Si u n converge et v n diverge, alors la série (u n + v n ) diverge. En utilisant le résultat classique pour des suites réelles ou complexes selon lequel une suite (S n ) est convergente si et seulement si c'est une suite de Cauchy, on obtient : Théorème 3 (critère de Cauchy pour les séries)Pour que la série de terme général u
n soit convergente, il faut et il suffit que : ⬧ > 0 , ¡N ' , ⬧n N , ⬧m n , ... k = nm u k ou encore ⬧ > 0 , ¡N ' , ⬧n N , ⬧p 0 , ... k = nn + p u kRemarque 3
Ce résultat est important et il sera utilisé par la suite car il permet de démontrer la 4 convergence ou la divergence de certaines séries sans que l'on ait besoin de chercher, en même temps, leur somme.Exemple
La série harmonique
n 1 1 n diverge : il suffit de remarquer que S 2n - S n = 1 n + 1 ... + 1 2n est, pour tout n , minoré par 12(n termes supérieurs à 1
2n ) .
Le résultat suivant peut être utile pour étudier une série à terme général u n complexe :Proposition
u n converge si et seulement si les deux séries Re u n et Im u n convergent et on a : n = 0& u n n = 0& Re u n + i n = 0& Im u nExercice 1
1) Ecrire sous forme décimale illimitée le nombre 3/7.
2) Ecrire sous la forme p / q avec p et q entiers le nombre 2,
%&%&%& ... où le bloc 136 est répété indéfiniment.Exercice 2
Calculer le nombre 0,297297 ...
| 3,3636 ...Exercice 3
Montrer que la série de terme général u
n converge et calculer sa somme dans les cas : (a)u n = n ((( ))) 1 - 1 n 2 2(b)u n = 1 n(n + 1)(n + 2) (c)u n = (n + 1) 1 n + 1 - n 1 n (d)u n = n n 2 + 2n + 1 n 2 + 2n (e)u n = n 3 n ! en exprimant n 3 en fonction de n(n - 1)(n - 2), n(n - 1) et nExercice 4
Montrer que la série de terme général u
n est divergente dans les cas : 5 (a)u n = (-1) n (b)uquotesdbs_dbs45.pdfusesText_45[PDF] saint thomas d aquin wikipedia
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