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Pr ´eparation`a l"Agr´egation de Math´ematiques - Ann´ee 2007-2008 D´eveloppements : Meilleure approximation uniforme par des polynˆomes.

In´egalit´e isop´erim´etrique.

1.Meilleure approximation uniforme par des polynˆomes [C,D,G, CM]

(*)=Questions en option...

On notePnl"ensemble des polynˆomes r´eels de degr´e inf´erieur ou ´egal `an. On veut montrer

le th´eor`eme suivant : Th´eor`eme.SoitIun compact deR, on munitC(I,R)de la norme uniforme not´ee||·||. Soit fune fonction continue deIdansR. Pour toutn?N, il existe un unique polynˆomepn? Pn tel que||f-pn||= infp?Pn||f-p||,le polynˆome de meilleure approximation defde degr´en.

1.1. Montrer l"existence d"un polynˆome de meilleure approximation defde degr´en, pour

toutn?N([C] ou [D]). On veut montrer l"unicit´e du polynˆomepnde meilleure approximation defde degr´en ([G]). Pour cela, nous allons montrer tout d"abord que la fonction|f-pn|prend la valeur ||f-pn||en au moinsn+ 2 points deI.

1.2. On raisonne par l"absurde et on suppose qu"elle ne prend la valeur||f-pn||qu"enk

pour 0< t <1. a. Justifier l"existence d"un tel polyˆomeqet pour toutε >0 d"un voisinage ouvertVεde b. En s´eparantx?Vεetx /?Vε, donner une majoration de|(f-pt)(x)|. c. En choisissant correctementεett, obtenir une contradiction.

1.3. En d´eduire l"unicit´e du polynˆomepnde meilleure approximation defde degr´en.

Pour cela, consid´erer deux polynˆomes de meilleure approximationP1etP2et leur moiti´e

P=P1+P22

, qui est aussi un polynˆome de meilleure approximation ([G]).

1.4.(*) On veut obtenir une caract´erisation depn([D]), `a savoir quef-pn´equioscillesur

n+ 2 points deI, i.e. qu"il existen+ 2 pointsx0,···,xn+1deIetε=±1 tels que f(xi)-pn(xi) = (-1)iε||f-pn||, i= 0,···,n+ 1. Par simplicit´e, on noteg=f-pnet on supposeg(x0)>0.

On noteπ(x) =?

b. Etudier les in´egalit´es v´erifi´ees parget parπ(resp. (-1)iget (-1)iπ; (-1)kget (-1)kπ)

sur les intervalles [a,x0], [xi-1,ξi[, ]ξi,xi] et [xk,b]. En d´eduire des in´egalit´es pourgεsur ces

mˆemes intervalles. c. Montrer que l"on peut ainsi trouverε >0 tel que||gε||<||g||. En d´eduire une contradic- tion.

1.5.(*) R´eciproquement, montrer que sif-pn´equioscille surn+ 2 points deI, alors pour

polynˆome de meilleure approximation defde degr´en. ([CM])

1.6.(*) D´eterminerp0pour une fonction continuefetp1pour une fonction convexef. ([C])

Remarque :L"algorithme de R´em`esfournit une suite de polynˆomes convergeant verspn ([CM]). 1 2

2.In´egalit´e isop´erim´etrique [ZQ]

On veut montrer le th´eor`eme suivant :

Th´eor`eme.Soitγ: [a,b]?R→Cune courbe de Jordan,C1par morceaux de longueurLet enfermant une surfaceS. Alors -L2≥4πS, -L2= 4πSssiγd´efinit un cercle parcouru une fois. On supposera queL= 1 et on param`etreraγpar la longueur d"arc.

2.1. Donner alors une expression deLet deSen fonction deγ.

2.2. Prolongerγen une fonction 1-p´eriodique et donner alors une expression deLet deS

en fonction des coefficients de Fourier deγ.

2.3. Conclure.

3.Indications

D

´eveloppement1 :

quep→ ||f-p||est une fonction continue. y /?Vε|f-pn|+tA.

1.2.c. On choisitε=||f-pn||/2 etttel que sup

y /?Vε|f-pn|+tA <||f-pn||.

1.3. On a pour desxibien choisis,?????

???f-P1+P22 f-P1+P22 |f-P1|(xi) +12

En consid´erant que les in´egalit´es sont des ´egalit´es, on trouve queP1(xi) =P2(xi).

et sur [xk,b], (-1)kg(x)≥ -A. Poser ´egalementM= sup [a,b]|π(x)|.

1.4.c. Choisirε >0 tel queA+εM <||g||. On a alors ˜pn=pn+επ? Pnet||f-˜pn||<

||f-pn||.

1.5. Par l"absurde, on trouve que pourq? Pn, (-1)i(q(xi)-p(xi))≥0, on en d´eduit donc

que (-1)i?xi+1 x que (-1)i?q?(ξi)-p?(ξi)?<0.

1.6. Prendrep0=12

(max[a,b]f+ min[a,b]f). D

´eveloppement2 :

2.1.L=?

1 0 |γ?(s)|ds=? 1 0 |γ?(s)|2dsetS=12 Im? 1 0

γ?(s)γ(s)ds.

2.2. Utiliser l"´egalit´e de Parseval et le fait quecn(f?) = 2iπncn(f).

4.Quelques r´ef´erences

[C] Chambert-Loir, Fermigier,Exercices de math´ematiques pour l"agr´egation, Analyse 2,

Masson.

[CM] Crouzeix, Mignot,Analyse num´erique des ´equations diff´erentielles, Masson. [D] Demailly,Analyse num´erique et ´equations diff´erentielles, PUG. [G] Gonnord, Tosel,Th`emes d"analyse pour l"Agr´egation. Topologie et analyse fonctionnelle,

Ellipses.

[ZQ] Zuily, QueffelecEl´ements d"analyse pour l"agr´egation, Masson.quotesdbs_dbs9.pdfusesText_15

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