[PDF] 1 Interpolation polynomiale 2 Approximation uniforme

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209. Approximation d"une fonction par des polynˆomes et des

polynˆomes trigonom´etriques. Exemples et applications. Introduction: Les polynˆomes sont les fonctions les plus faciles `a ´evaluer num´eriquement, d"o`u l"int´erˆet de savoir approximer une fonction arbitraire par des polynˆomes.

1 Interpolation polynomiale

Soienta < b?R, soitf? C([a,b],R), soientx0< x1<···< xn?[a,b].

1.1 G´en´eralit´es

D ´efinition 1.On d´efinit la famille des polynˆomes de Lagrange aux points (xi)i par?i(X) =? j?=iX-xjx i-xj,i?[[0,n]]. On d´efinit le polynˆome d"interpolation defaux points (xi)iparPn(f) =n? i=0f(xi)?i. On note aussiπn+1(X) =n? j=0(X-xj). Proposition 2.Pn(f) est le seul polynˆome deRn[X] v´erifiant ?i?[[0,n]],Pn(f)(xi) =f(xi). Exemple3.Sin= 1,x0=a,x1=n,P1(f)est la corde joignant(a,f(a))et (b,f(b)). Th

´eor`eme 4.On supposef? Cn+1([a,b]).

Alors, pour toutx?[a,b], il existeξx?[a,b],f(x)-Pn(f)(x) =πn+1(x)(n+ 1)!f(n+1)(ξx).

Exemple5.On supposea=-1,b= 1.

- Points ´equidistants :xi=2in -1, alors?πn+1?∞≥1n ⎷n 2e n+1 (n→ ∞). - Points de Tchebychev :xi= cos?2i+ 12n+ 2π? , alors?πn+1?∞≥2?12 n+1 .1.2 Stabilit´e et convergence D ´efinition 6.On d´efinit alors l"op´erateur d"interpolation de Lagrange aux points (xi) parPn?C([a,b])→ C([a,b]) f?→Pn(f). Proposition 7.Pnest lin´eaire continu pour?·?∞, de norme Λn= sup x?[a,b]n i=0|?i(x)|. Proposition 8.Pour les points de Tchebychev, on a Λn≂n→∞2π ln(n). Corollaire 9.Il existe une fonction continue dont le polynˆome d"interpolation aux points de Tchebychev ne converge pas uniform´ement. Exemple10(Ph´enom`ene de Runge).Soitα >0. Pourx?[-1,1], soit f

α(x) =1x

2+α2.fest analytique mais la suite de ses polynˆomes d"interpolation

(points ´equidistants) diverge.

1.3 Application : Quadrature de Newton-Cotes

L"id´ee est d"approximerI(f) =?

b a f(x)dxparIn(f) :=? b a P n(f)(x)dx, o`uPn(f) est pris avec des points ´equidistants. D ´efinition 11.La quadrature est dite d"ordreksi pour toutf?Rk[X],In(f) =

I(f), et s"il existeg?Rk+1[X],I(g)?=Ik(g).

Proposition 12.La m´ethode de Newton-Cotes est d"ordrensinest impair et d"ordren+ 1 sinpair. Exemple13.Sin= 1, c"est la m´ethode des trap`ezes (d"ordre 1). Sin= 2, c"est la m´ethode de Simpson (ordre 3).

2 Approximation uniforme

Soitf? C([a,b]).

Th ´eor`eme 14.Pourn?N, il existe un uniquePn?Rn[X] tel que?f-P?∞= infP?Rn[X]?f-P?∞. D ´efinition 15.Ce polynˆome est appel´e polynˆome de meilleure approximation uni- forme def. Th ´eor`eme 16.Soitf? C([0,1]). On d´efinit sonmodule de continuit´eparwf(h) = sup |x-y|3 Approximation locale : formules de Taylor

SoitIintervalle ouvert deR, soitf? C(I,Rd).

3.1 Rappel des formules de Taylor

Soita?Itel quefsoitnfois d´erivable ena. On d´efinit le polynˆome de Taylor d"ordrendefena:Tna(f) =n? k=0f (k)(a)k!(X-a)k. Alors : Th ´eor`eme 17(Taylor-Young).?x?I,f(x) =Tna(f)(x) +ox→a((x-a)n). Th ´eor`eme 18(reste int´egral).?x?I, sif? Cn+1([a,x]), on a f(x) =Tna(f)(x) +? x a(x-t)nn!f(n+1)(t)dt. Th ´eor`eme 19(Taylor-Lagrange).?x?I,sif? Cn([a,x],R),n+1 fois d´erivables sur ]a,x[, alors il existec?]a,x[ tel quef(x) =Tna(f)(x) +f(n+1)(c)(n+ 1)!(x-a)n+1.

Corollaire 20.Sif? Cn+1([a,x],R), on a

3.2 Applications

Proposition 21.Soita?I. Sifestnfois d´erivable ena, alorsfadmet un d´eveloppement limit´e `a l"ordrenena, donn´e par la formule de Taylor-Young.

Exemple22.Pourn?N, au voisinage de 0 :

e x=n? k=0x kk!+o(xn) cos(x) =n?

2-→x→01.

Application24(Th´eor`eme central limite).Soit(Xn)n?Nsuite de variables al´eatoires iid dansL2. Alors, si on poseSn=n? k=1X k,?n

Var(X1)?

Snn -E[X1]? converge en loi vers une variable de loiN(0,1). Th ´eor`eme 25(M´ethode de Newton).Soitf? C1(R,R), soitα?Rtel quef(α) =

0. On se donnex0?I, et on posexk+1=xk-f(xk)f

?(xk). S"il existeδ >0 tel quef soit de classeC2sur ]α-δ,α+δ[ et sif?ne s"annule pas sur cet intervalle, alors pour toutx0?]α-δ,α+δ[, la suite converge quadratiquement versα.

4 Polynˆomes trigonom´etriques

On noteT=R/2πZet on identifie les fonctionsf:T→Caux fonctionsf:R→C

2π-p´eriodiques.

4.1 G´en´eralit´es

D ´efinition 26.On appelle ensemble des polynˆomes trigonom´etriques, et on note P, le sous-espace vectoriel deC(T) engendr´e par les (en)n?Zo`uen:t?→eint. Th

´eor`eme 27(Weierstrass).Pest dense dansC(T).

D ´efinition 28.Sif?L1(T), on d´efinit sonn-`eme coefficient de Fourier par c n(f) =12π? 2π 0 f(t)e-intdt. On appelle s´erie de Fourier defla s´erie? n?Zc n(f)en. Proposition 29.(en)n?Zforme une base hilbertienne deL2(T). Th ´eor`eme 30(Parseval).Sif?L2(T), on a?f?2=+∞? n=-∞|cn(f)|2.

4.2 Convergence des s´eries de Fourier

Th ´eor`eme 31(Dirichlet).Sifest continue, de classeC1par morceaux, alors sa s´erie de Fourier converge normalement versfdans (C(T),? · ?∞). Application32.Soitu0? C([0,2π],R),C1par morceaux avecu(0) =u(2π). On consid`ere le probl`eme aux limites ∂u∂t (t,x)-∂2u∂x

2(t,x) = 0pour(t,x)?R+×]0,2π[,

u(0,x) =u0(x)pourx?[0,2π],u(t,0) =u(t,2π)pourt?R+. Il y a une unique solution continue surR+×[0,2π],C∞surR?+×]0,2π[.

D´eveloppements

- Stabilit´e de l"interpolation de Lagrange. - Polynˆomes de Bernstein. -´Equation de la chaleur avec conditions aux limites p´eriodiques.

R´ef´erences

[1] V. Beck, J. Malick, G. Peyr´e,Objectif Agr´egation, H&K. [2] J.-P. Demailly,Analyse num´erique et´equations diff´erentielles, EDP

Sciences.

[3] A. Pommellet,Cours d"analyse, Ellipses.quotesdbs_dbs30.pdfusesText_36

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