[PDF] TD 3 : Approximation polynomiale 1 Polynômes de Lagrange

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Universite Grenoble{Alpes Mat406 2018/2019

TD 3 : Approximation polynomiale

1 Polyn^omes de Lagrange

Exercice 1. Forme de Newton

On considere des pointsMi= (xi;yi)2R2pouri= 0;:::;n, avecx0<< xn. On rappelle l'ecriture des polyn^omes de Lagrange associes auxxi: L i(x) =Y j6=ixxjx ixj:

1. Montrer que le polyn^omePn(X) =Pn

i=0yiLi(X) est l'unique polyn^ome de degren veriantP(xi) =yipour touti= 0;:::;n. On appelleraPnle polyn^ome interpola- teur de (M0;:::;Mn).

2. Montrer que l'on peut exprimerPnde maniere unique sous la forme suivante (appelee

forme de Newton) : P n(X) =y0+y0;1(Xx0) ++y0;1;:::;nn1Y j=0(Xxj):

3. Montrer que :

y

0;1;:::;n=y1;2;:::;ny0;1;:::;n1x

nx0 ouy1;2;:::;nest le coecient dominant deQn1ety0;1;:::;n1est le coecient domi- nant dePn1, avecPn1etQn1les polyn^omes interpolateurs de (M0;:::;Mn1) et de (M1;:::;Mn) respectivement. On pourra pour cela commencer par montrer l'egalite :Pn(X) =Xxnx

0xnPn1(X) +Xx0x

nx0Qn1(X).

4. Quel avantage a la forme de Newton sur la forme de Lagrange?

Exercice 2. Developpement de Taylor et polyn^ome de Lagrange On considere la fonctionf(x) =exsur l'intervalle [0;2], que l'on souhaite approximer par un polyn^ome de degre 2. On noteT2le developpement limite a l'ordre 2 en 0 defet L

2le polyn^ome de Lagrange defassocies aux points 0;1;2.

1. CalculerT2.

2. On poseL2(x) =ax2+bx+c. Exprimez un systeme verie para;b;c.

3. En deduire que :L2(x) = 1 + (e1) +e22e+12

x(x1).

4. Comparer les graphes def,T2etL2, et en deduire graphiquement la meilleure

approximation defentreL2etT2(on pourra utiliser la commandefMaxet faire des calculs approches pour comparer ces quantites).

5. A-t-on le m^eme resultat en remplacantT2par le developpement limite a l'ordre 2

defen 1?

Exercice 3. Interpolation de Hermite

Le principe de l'interpolation de Hermite est que, pour une fonctionfet des points distinctsx1;:::;xndonnes, on cherche un polyn^ome de degre minimal qui a m^eme valeur et m^eme derivee quefen lesxi. On se donne donc une fonctionfderivable surR, on xex1;:::;xndes points distincts, et on note pour simplieryi=f(xi) etdi=f0(xi).

1. Pouri= 1;:::;n, on poseQi(x) =Q

j6=i(xxj)2. CalculerQi(xj) etQ0i(xj) pour touti;j.

2. On considere le polyn^ome :

P(X) =nX

i=1Q i(X)Q i(xi)

1(Xxi)Q0i(xi)Q

i(xi) y i+ (Xxi)di

CalculerP(xi) etP0(xi) pour touti.

3. Majorer le degre deP(de maniere inconditionnelle par rapport auxyietdi).

4. En deduire quePest l'unique polyn^ome de degre minimal ayant m^eme valeur et

derivee quefen lesxi. On pourra voir que, si un polyn^ome verie cette condition et est de degre inferieur ou egal a celui deP, alors il est necessairement egal aP.

2 Polyn^omes orthogonaux

Exercice 4. Polyn^omes de Tchebychev

1. Montrer que, etant donne un entier natureln, il existe un polyn^omeTntel que

T n(cos(x)) = cos(nx) pour toutx. On pourra utiliser les formules de Moivre, qui donnent une expression explicite deTnen fonction den.

2. Montrer que le choix deTnest unique.

3. Donner le degre ainsi que le coecient desTn, et en deduire qu'il s'agit d'une base

deR[X].

4. Exprimez cos((n+1)x) et cos((n1)x) en fonction de cos(nx);cos(x);sin(nx);sin(x),

et une expression deTn+1en fonction deTnetTn1.

5. Verier que la formehP;Qi=R1

1P(x)Q(x)p1x2dxest bien un produit scalaire sur l'espace

des polyn^omes. 6. A l'aide du changement de variableu= arccos(x), montrer que l'on a l'egalite : hP;Qi=R

0P(cos(u))Q(cos(u))du.

2

7. Montrer que la famille desTnest orthogonale pour le produit scalaire precedent. Et

calculer la norme de chaqueTn(pour la norme associee a ce produit scalaire). On pourra pour cela commencer par demontrer la formule suivante :

8x;y2R;cos(x) + cos(y) = 2cosx+y2

cosxy2

8. Justier que, a des scalaires pres, la familleTnest celle obtenue par orthonormali-

sation de Gram{Schmidt de la famille (1;X;X2;:::;Xn).

9. Calculer la quantite :kTnk1= maxx2[1;1]jTn(x)j.

10. Montrer que, pourn1, le polyn^ome12

n1est le polyn^ome unitaire de degre nqui realise la meilleure approximation uniforme de la fonction nulle sur [1;1], c'est-a-dire que tout polyn^ome unitairePde degrenverie :k12 n1Tnk1 kPk1. Pour cela on pourra supposer par l'absurde quePveriek12 n1Tnk1>kPk1, puis considerer le polyn^ome 12 n1TnP, dont on majore le degre et dont on montre qu'il possede des racines sur chaque intervalle de la forme ]cos(k=n);cos((k+ 1)=n[ (pourk= 0;:::;n1).

11. Montrer que le polyn^ome

12 n1Tnest le seul a realiser cette approximation. On pourra pour cela considerer un autre polyn^ome, et etudier le polyn^ome d'interpolation de Lagrange de leur dierence aux points cos(k=n),k= 0;:::;n, dont on etudiera le signe et la somme des coecients dans la base \classique" des polyn^omes de

Lagrange.

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