[PDF] MyPrepa-Polynomes.pdf Familles de polynômes classiques.

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Polynômes

Extrait du polycopié (20 premières pages)Factorisation de polynômes

Exercice 1.(Échauffement)

Factoriser surC[X]puis surR[X]lorsque cela a un sens :

1.X2-2cosθX+ 1pourθ?R.

2.X8-1etX7-1.

3.(X2-2X+ 1)2+ 1.

Exercice 2.(Des factorisations délicates)

1. F actorisersur C[X]puis surR[X]le polynômeXn-1. On pourra distinguer les cas suivant la parité den. 2.

F actorisersur C[X]puis surR[X]:

X

2n-2cos(nθ)Xn+ 1

oùθ?Ret?k?Z,θ?≡2kπn 3.

F actorisersur C[X]puis surR[X]:

(X+i)n-(X-i)n

Exercice 3.(Calcul pratique de sommes)

1.

Mon trerque :

2n? k=0(-1)k?2n k? 2 = (-1)n?n 2n?

On pourra utiliser le polynôme(1-X2)2n.

2.

Soit n?Netp?[[0,n]], montrer que :

p k=0? n k?? n-k p-k? = 2 p?n p?

On pourra utiliser le polynôme(1 +X+X)n.

Équations d"inconnue polynômiale

Exercice 4.Résoudre dansR[X]les équations :

P(X2) =?X2+ 1?P(X)1

Exercice 5.

Résoudre dansC[X], l"équation :

P(X2) =P(X)P(X+ 1)Classique 1.(Noyau de l"opérateur de différenciation)

Résoudre dansC[X], l"équation :

P(X+ 1) =P(X)Classique 2.

Résoudre dansC[X], l"équation :

P(X) + (1-X)P?(X) = 0

Polynôme dérivéClassique 3.

Montrer que le polynôme dérivé d"un polynôme scindé surR[X]est lui aussi scindé surR[X].On

pourra d"abord le montrer pour les polynômes scindés à racines simples et appliquer à bon escient

le théorème de Rolle.Classique 4. Déterminer les polynômes divisibles par leur polynôme dérivé.

Classique 5.(Théorème de Gauss-Lucas)

Montrer que les racines du polynôme dérivé sont situées dans l"enveloppe convexe formée par les

racines de ce même polynôme. SoitAune partie deE, on définit l"enveloppe convexe deAnotéeConv(A):

Conv(A) =?

x=n? i=1λ ixi? i=1λ i= 1?

On pourra utiliser la quantitéP?/P.

Suite de polynômesClassique 6.(Bolzano-Weierstrass polynômial)

SoitP=?dk=0akXket notons :

M= sup

|z|=1|P(z)| 1.

Mon trerque :

On pourra utiliser les racinesd+ 1-ième de l"unité et s"intéresser àP(ω?)pour??[[0,d]]et

ω=e2i?πd+1.

2. Mon trerque de toute suite uniformémen tb ornéesur le c ercleunité de Cde polynôme de R d[X], on peut en extraire une suite convergente.Il faut connaître le théorème de Bolzano-

Weierstrass dansR. On dira que(Pn)n?N?Rd[X]N-→n→∞Qsi?k?[[0,d]],ak,n-→n→∞ak

où?n?N,Pn=?dk=0ak,nXketQ=?dk=0akXk.2

Arithmétique dansK[X]

Exercice 6.(Division euclidienne)

Effectuer la division euclidienne de :

-X7-1parX2+ 1. -X3+X2+X+ 1parX-1. -Xn-1parX-1. -X16+X4+X2+XparX2-1.

Exercice 7.(Autour de la formule de Taylor)

1. Énoncer et démon trerla form ulede T aylorp olynômiale. 2.

Application : Donner le reste de la division euclidienne d"un p olynômePpar(X-a)n.Classique 7.(Idéal deK[X])

SoitK=RouQ,z?CetIz={P?K[X],P(z) = 0}. On suppose queIz\{0}est non vide.

1.Montrer que si(A,B)?I2zalorsA+Bet pourC?K[X],ACle sont également.On dit queIz

est un idéal deK[X].

2.Montrer qu"il existe un polynôme non nul et de degré minimal dansIz. Un tel polynôme est

notéMz.

3.Montrer que :

I z={AMz,A?K[X]} On utilisera le théorème de division euclidienne.

4.DéterminerI⎷2

pourK=RpuisQ. Familles de polynômes classiquesClassique 8.(Polynômes de Lagrange) Soit(a0,...,an)?Cndeux à deux distincts et notons : ?j?[[0,n]],Lj=n i=0,i?=jX-ain i=0,i?=ja j-ai

1.Calculer?(i,j)?[[0,n]]2,Lj(ai).

2.Montrer que pour toutP?Cn[X], il existe une unique famille(λ0,...,λn)?Cn+1telle que :

P=n? i=0λ iLi

La déterminer en fonction dePet de(a0,...,an).

3.Question d"ouverture : Proposer une routine, en langage naturel ou en python, pour calculer

l"intégrale dePsur[-1,1]en ne connaissant que les valeurs dePsur les points de Lagrange (a0,...,an)?[-1,1]n+1. Pour une fonction continue, discuter la convergence d"une telle formule de quadrature.3

Classique 9.(Polynômes de Legendre)

1.Montrer que pour toute fonction continue de[-1,1]-→R+:

1 -1f(t)dt= 0 =?f= 0

2.On définit pour toutn?N:

L n=n!(2n)!??X2-1? n?(n) Montrer queLnest un polynôme unitaire de degrén.

3.Montrer que?Q?Rn-1,?1

-1Ln(t)Q(t)dt= 0

4.En déduire queLnpossèdenracines distinctes toutes comprises dans]-1,1[.

Extraits de sujets de concoursClassique 10.(Les polynômes de Tchebychev)Centrale-Supélec - MP 2014 - II (adapté)

Les polynômes de Tchebychev de première espèce(Tn)n?Nsont définis par la relation : ?n?N,?θ?R,Tn(cos(θ)) = cos(nθ)

On ne demande pas de justifier l"existence et l"unicité de la famille de polynômes définie par cette

relation.

1.DéterminonsT0,T1,T2etT3.

2.En remarquant que pour tout réelθ, on aeinθ=?eiθ?n, montrer que :

?n?N,Tn=? n 2k? (X2-1)kXn-2k Écrire en langage naturel, une fonctionTprenant en argument un entier naturelnet renvoyant l"expression développée du polynômeTn.

3.Montrer que la suite(Tn)n?Nvérifie la relation de récurrence :

?n?N,Tn+2= 2XTn+1-Tn

En déduire, pour tout entier natureln, le degré et le coefficient dominant deTn. Retrouver ce ré-

sultat à l"aide de la question2..

4.Montrer que, pour tout entier natureln, le polynômeTnest scindé surR, à racines simples

appartenant à]-1,1[. Déterminer les racines deTn. On définit les polynômes(Un)n?Nde Tchebychev de deuxième espèce par ?n?N,Un=1n+ 1T?n+1

5.Montrer que

?n?N,?θ?R\πZ,Un(cosθ) =sin((n+ 1)θ)sinθ

6.En déduire les propriétés suivantes :4

1.La suite (Un)n?Nvérifie la même relation de récurrence que la suite(Tn)n?N.

2. P ourtout en tiernaturel n?N, le polynômeUnest scindé surRà racines simples appartenant

à]-1,1[. Déterminer les racines deUn.

7.Montrer que

??T m·Tn=12 T m·Un-1=12

8.Pourmetnentiers naturelsClassique 11.(Les polynômes de Bernoulli)ENS 84 - MP (adapté)

Soitn?N?, on définit l"opérateur :

????R n[X]-→Rn[X]

P?-→P(X)-P(X-1)

1.Montrer que?P?Rn[X],Δ(P)?Rn-1[X].

On admet dans la suite queΔest surjective deRn[X]→Rn-1[X].

2.Montrer qu"il existeQn?Rn+1[X]tel que?p?N?,

Q(p) =p-1?

k=1kn

Montrer queQn(0) =Qn(1) = 0.

3.Montrer qu"il existe(an)n≥2, suite de nombres rationnels, telle que :

Q ?n+an=nQn-1

On pourra calculerΔ(Q?n-nQn-1).

4.On noteQ

n(X) =Qn(1-X). ComparerQ netQn.

5.CalculerQ1etQ2.

6.CalculerQ2p?12

?eta2p+1.

7.Établir que les polynômesQ2pne s"annulent sur l"intervalle ouvert]0,1[qu"au point12

et que les polynômesQ2p+1sont de signe constant sur ce même intervalle.On pourra calculerQ1,Q2et

dresser par récurrence les tableaux de variations deQ2p+1etQ2p+2.Classique 12.(Équations algébriques réciproques)Mines-Ponts MP 2012 I (adapté)

1.Montrer que sin?N, l"applicationun:Rn[X]→Rn[X]donnée par la formuleun(P)(X) =

X nP?1X

n?est bien définie, et que c"est une symétrie.Une applicationfest une symétrie sif◦f=id.

Un polynômeRdeR[X]est ditréciproque de première espèces"il est non nul et invariant par

udeg(R); il est ditréciproque de deuxième espèces"il est non nul et transformé en son opposé par

u deg(R). On noteP(respectivementP) , l"ensemble des polynômes deR[X]réciproques de première (respectivement de deuxième) espèce.

2.Donner une condition nécessaire sur ses coefficients pour qu"un polynôme non nul deR[X]

appartienne àP(respectivement àD).5

3.Établir que siRest réciproque (c"est-à-direR? P ?D) etxune racine deR, alorsxest non nul

et 1x est aussi une racine deR. Montrer par ailleurs que tout polynôme deDadmet 1 pour racine, et que pour tout polynôme dePde degré impair admet-1pour racine.

4.Étant donné trois polynômesP,Q,RdeR[X]tels queP=QR, montrer que si deux d"entre

eux sont réciproques, alors le troisième l"est aussi. Établir un lien entre les espèces de ces trois

polynômes réciproques.

5.Vérifier queP? Pimplique(X-1)P? D. Réciproquement, montrer que siD? D, il existe

un uniqueP? Ptel queD= (X-1)P.

6.Établir un résultat analogue caractérisant les polynômes dePde degré impair dansR[X].

7.Montrer que sip?N, alors il existe un uniqueP?R[X]tel que

X p+1X p=P? X+1X

Quel est le degré deP?

SoitRun élément deR[X]réciproque n"admettant ni1ni-1comme racine.

8.Montrer queRest réciproque de première espèce et de degré pair. En déduire qu"il existe

P?R[X]tel que pour toutx?R?, on ait l"équivalenceR(x) = 0??P?x+1x ?= 0. Y a-t-il unicité du polynômeP? de deg(P)?6

Factorisation de polynômes

ExerciceFactoriser surC[X]puis surR[X]lorsque cela a un sens :

1.X2-2cosθX+ 1pourθ?R.

2.X8-1etX7-1.

3.(X2-2X+ 1)2+ 1.

Correction

1. Remarquons que X2-2cosθX+ 1 =X2-?eiθ+e-iθ?X+eiθe-iθ=?X-eiθ??X-e-iθ?. X

2-2cosθX+ 1 =?X-eiθ??X-e-iθ?Un tel polynôme admet donc une factorisation surR[X]??eiθete-iθsont réels??sinθ= 0etsin(-θ) =

0??sinθ= 0??θ≡0[π]??θ≡0ouπ[2π]. Ainsi,

?Siθ≡0[2π],X2-2cosθX+ 1 =X2-2X+ 1 = (X-1)2

Siθ≡π[2π],X2-2cosθX+ 1 =X2+ 2X+ 1 = (X+ 1)2Tout polynôme de degré supérieur à1est scindé surC[X].

Les polynômes que vous serez amenés à factoriser admettront une factorisation dansC[X] mais pas forcément dansR[X]. Pour vous convaincre, considérez le polynômeX2+ 1 =

(X-i)(X+i).Rappel de cours 1(Théorème de d"Alembert-Gauss).Soitz1etz2les deux racines complexes deX2-sX+p. Ces deux réels vérifient :

?s=z1+z2 p=z1z2Rappel de cours 2(Relation somme et produit des racines).2.X8-1admet pour racines? e2ikπ8 k?[[0,7]]qui sont au nombre de8 =deg(X8-1)et distinctes, elles sont donc simples et nous obtenons la factorisation surC[X]: X

8-1 =7?

k=0?

X-e2ikπ8

Pour obtenir une factorisation surR[X], on sépare les racines réelles et les racines appartenant àC\Rpuis on

rassemble les paires de conjugués des racines appartenant àC\R: X

8-1 =?

X-e2i0π8

=X-1?

X-e2i1π8

X-e2i7π8

X

2-2cos(π8

)X+1?

X-e2i2π8

X-e2i6π8

X

2-2cos(2π8

)X+1?

X-e2i3π8

X-e2i5π8

X

2-2cos(3π8

)X+1?

X-e2i4π8

=X+17 X

8-1 = (X-1)(X+ 1)?

X2-2cos?π8

X+ 1??

X

2-2cos?2π8

X+ 1??

X

2-2cos?3π8

X+ 1?X

7-1admet pour racines?

e2ikπ7 k?[[0,6]]qui sont au nombre de7 =deg(X7-1)et distinctes, elles sont donc simples et nous obtenons la factorisation surC[X]: X

7-1 =6?

k=0?

X-e2ikπ7

Pour obtenir une factorisation surR[X], on sépare les racines réelles et les racines appartenant àC\Rpuis on

rassemble les paires de conjugués des racines appartenant àC\R: X

7-1 = (X-1)?

X-e2i1π7

X-e2i6π7

X

2-2cos(π7

)X+1?

X-e2i2π7

X-e2i5π7

X

2-2cos(2π7

)X+1?

X-e2i3π8

X-e2i4π7

X

2-2cos(3π7

)X+1 X

7-1 = (X-1)?

X2-2cos?π7

X+ 1??

X

2-2cos?2π7

X+ 1??

X

2-2cos?3π7

X+ 1?Pour obtenir la factorisation surR[X]d"un polynôme réel dont on connait une factorisation surC[X], il suffit de séparer les racines réelles et les racines appartenant àC\Rpuis on rassemble les paires de conjugués des racines appartenant àC\R: (X-z)(X-z) =X2-2Re(z)X+|z|2 en se souvenant que :

Re(z) =z+z

2 et|z|2=zzPoint méthodologique 1. 3.

Nous reconnaissons une iden titéremarqu able:

(X2-2X+ 1)2+ 1 = ((X-1)2+i)((X-1)2-i)

Ayant-i=e-iπ2

eti=eiπ2 et en reconnaissant deux autres identités remarquables : ((X-1)2+i)((X-1)2-i) =?X-1-e-iπ4 ??X-1 +e-iπ4 ??X-1-eiπ4 ??X-1 +eiπ4

Nous en déduisons la factorisation surC[X]:

(X2-2X+ 1)2+ 1 =?X-?1 +e-iπ4 ???X-?1-e-iπ4 ???X-?1 +eiπ4 ???X-?1-eiπ4

??Pour obtenir la factorisation surR[X], nous regroupons les paires de conjugués en reconnaissant :1-e-iπ4

= 1-eiπ4

1 +e-iπ4

= 1 +eiπ4

Nous avons :

Re?1-eiπ4

?= 1-cos?π4 = 2sin2?π8 Re ?1 +eiπ4 ?= 1 + cos?π4 = 2cos2?π8 ?8 ?1-eiπ4 ??2=?

1-cos?π4

2+ sin2?π4

= 2?

1-cos?π4

?1 +eiπ4 ??2=?

1 + cos?π4

2+ sin2?π4

= 2?

1 + cos?π4

La factorisation surR[X]:

(X2-2X+ 1)2+ 1 =?

X2-4sin2?π8

X+ 2?

1-cos?π4

X2-4cos2?π8

X+ 2?

1 + cos?π4

Exercice

1. F actorisersur C[X]puis surR[X]le polynômeXn-1. On pourra distinguer les cas suivant la parité den. 2.

F actorisersur C[X]puis surR[X]:

X

2n-2cos(nθ)Xn+ 1

oùθ?Ret?k?Z,θ?≡2kπn 3.

F actorisersur C[X]puis surR[X]:

(X+i)n-(X-i)n

Correction

1.Xn-1admet pour racines?

e2ikπn k?[[0,n-1]]qui sont au nombre den=deg(Xn-1)et distinctes, elles sont donc simples et nous obtenons la factorisation surC[X]: X n-1 =n-1? k=0?

X-e2ikπn

?Pour obtenir la factorisation surR[X], nous allons distinguer le cas oùnest pair et le cas où il est impair.

(a)Casnpair :Notons alorsn= 2p. Les racines réelles deXn-1sont1 =e2ikπ2ppourk= 0et-1 =e2ikπ2p

pourk=p. Nous en déduisons alors que : X n-1 =X2p-1 =2p-1? k=0?

X-e2ikπ2p?

= (X-1)(X+ 1)2p-1? k=1,k?=p?

X-eikπp

= (X-1)(X+ 1)p-1? k=1?

X-eikπp

2p-1? k ?=p+1? X-eik ?πp ?=k?-p→= (X-1)(X+ 1)p-1? k=1?

X-eikπp

p-1? ?=1?

X-ei(?+p)πp

?=p-?→= (X-1)(X+ 1)p-1? k=1?

X-eikπp

p-1? ?=1?

X-ei(-??+2p)πp

= (X-1)(X+ 1)p-1? k=1?

X-eikπp

p-1? ?=1?

X-e-i??πp

?9

On en conclut ainsi,

X n-1 = (X-1)(X+ 1)p-1? k=1? X

2-2cos?kπp

+ 1?AstuceCette manière de compter les racines est assez difficile à comprendre lorsqu"on découvre pour

la première fois cette démonstration. Voici le schéma qui a motivé nos changement d"indices successifs :

kparcourt{0????

1,1,...,p-1, p????

-1,p+ 1,...,2p-1} e ikπp /?Rlorsquekparcourt{1,...,p-1,p+ 1,...,2p-1}

Les pairs de conjugués sonteikπp

etei(2p-k)πp Découpage de la liste en deux sous-listes[[1,p-1]] : (?=k?-p) et retournement de la deuxième pour aligner les paires de conjugés: (??=p-?)

(b)Casnimpair :Notons alorsn= 2p+ 1. La seule racine réelle deXn-1est1 =e2ikπ2p+1pourk= 0. Nous

en déduisons alors que : X n-1 =X2p+ 1 =2p?quotesdbs_dbs15.pdfusesText_21

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