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Chapitre 19

Polynômes.

1 Points importants 3 Questions de cours 6 Exercices corrigés

2 Plan du cours 4 Exercices types 7 Devoir maison

5 Exercices

1

Chap 19Polynômes.

Et s"il ne fallait retenir que cinq points?1.Tout polynôme non nul de degrénadmet au plusnracines (comptées avec leur

multiplicité).Ainsi pour montrer qu"un polynôme est nul, on montre qu"il admet plus de racines

que son degré, ou si le degré ne peut OEtre déterminé, on montre qu"il en admet une innité. En

particulier pour montrer que deux polynômes sont égaux, on peut montrer que la diérence est le polynôme nul par la méthode précédente.

2.Théorème de D"Alembert-Gauss.Il peut prendre plusieurs formes :

a) T outp olynômenon constan td eC[X]admet une racine. b)

T outp olynômePdeC[X]est scindé, c"est-à-dire qu"il est produit de polynôme de degré 1 :

P=Qn k=1(X-i) c) T outp olynômePnon constant deC[X]admet autant de racines (comptées avec leur multi- plicité) que le degré deP d) Les p olynômesirréductibles de C[X]sont les polynômes de degré 1.

3.Décomposition d"un polynôme à coefficients réels.Tout polynômePse décompose de la

façon suivante : P=rY i=0(X-i)risY i=0(X2+aiX+bi)si oøest le coefficient dominant,iles racines réelles dePetai,bides réels tels quea2i-4bi<0.

Plusieurs remarques s"imposent :

a)

si on désir el"unicité de la décomp osition,il fau tc hoisirles idiérents et les couples(ai,bi)

diérents. b)

les p olynômesirréd uctiblesde R[X]sont les polynômes de degré 1 et ceux de degré 2 avec un

négatif. c)

P ourdécomp oserun p olynômede R[X]en produit de polynômes irréductibles, on le décom-

pose surC[X]et on regroupe les racines conjuguées (Savoir refaire par exempleX2n-1).

4.Caractérisation de la multiplicité des racines avec la dérivée :

est racine d"ordrerdeP()(

P(k)() = 0sik < r

P (r)()6= 0 1

5.Relations entre les coefficients et les racines d"un polynôme scindé.Si le polynômeP

s"écritanXn+:::+a0alors la sommeS=1et le produitP=ndes racines vaut :

S=-an-1a

nP= (-1)na0a n

6.Degré et valuation d"une somme ou d"un produit.

a)Deg(PQ) =Deg(P) +Deg(Q)V al(PQ) =V al(P) +V al(Q). b)Deg(P+Q)Max(Deg(P),Deg(Q))V al(P+Q)Min(V al(P),V al(Q)).

7.Savoir utiliser les algorithmes classiques tels que la division euclidienne, l"algorithme

d"Euclide, de Horner. 2

Chap 19Polynômes.

Plan du coursI. Polynômes à une indéterminée........................................................ 2

1/ Dénition d"un polynômes.........................................................2

2/ Opérations sur les polynômes..................................................... 3

3/ Degré et valuation d"un polynôme................................................3

4/ Substitution et fonction polynôme................................................ 4

II. Divisions surK[X]et conséquences..................................................5

1/ Le relation divise....................................................................5

2/ La division euclidienne.............................................................5

3/ Comment trouver le reste sans calculer la division euclidienne?.............. 6

4/ PPCM / PGCD, polynômes premiers entre eux.................................6

5/ Algorithme d"Euclide...............................................................7

6/ Gauss et Bezout.....................................................................8

III. Le concept de racine.................................................................. 9

1/ Dénition et caractérisation....................................................... 9

2/ Le théorème fondamental.......................................................... 9

3/ Dérivation formelle................................................................ 10

4/ Caractérisation de l"ordre de multiplicité avec les dérivées....................11

5/ Utilisation de l"analyse pour trouver des racines............................... 11

6/ Schéma de Horner.................................................................12

7/ Introduction aux relations coefficients-racines.................................. 12

IV. Polynômes irréductibles............................................................. 15

1/ Dénition...........................................................................15

2/ Racines et irréductibilité..........................................................16

3/ Décomposition en polynômes irréductibles..................................... 16

4/ Cas des polynômes à coefficients complexes.................................... 17

5/ Cas des polynômes à coefficients réels...........................................18

V. Quelques polynômes classiques......................................................21

1/ Les polynômes de Tchebitchev................................................... 21

2/ Les polynômes de Lagrange.......................................................21

3/ Les polynômes de Legendre.......................................................21

4/ Les polynômes réciproques ou palindromique..................................21

1

Chap 19Polynômes.

Questions de cours1. SoientPetQdes polynômes deR[X]ayant respectivement pour coefficients(an)et (bn). Déterminer les coefficients du produitPQen fonction de(an)et(bn). Montrer à l"aide de cette formule que le polynôme constant 1 est l"élément neutre pour le produit.(I)

2. Donner la dénition du degré et de la valuation d"un polynôme. (Vous donnerez en

particulier les valeurs dedeg(0)etval(0)). Puis exprimerdeg(P+Q),val(P+Q), deg(PQ)etval(PQ)en fonction dedeg(P),deg(Q),val(P)etval(Q)pourPetQ des polynômes.(I)

3. Donner la dénition dePdiviseQoøPetQsont des polynômes. Est-ce une relation

d"ordre? Quand dit-on que deux polynômes sont associés et comment les reconnait- on?(II)

4. Expliquer une méthode permettant de déterminer le reste d"une division euclidienne

sans la poser. Expérimenter votre méthode pour calculer le reste de la division eu- clidienne de(cos() +Xsin())nparX2+ 1.(II)

5. Donner la dénition d"une racine d"un polynômePainsi que son ordre de multiplicité,

puis donner (sans preuve) la caractérisation de l"ordre de multiplicité d"une racine à l"aide de la dérivée. Montrer enn que siest racine d"ordrendePalorsest racine d"ordren1deP0, avecndansNetPdansR[X].(III)

6. Quelle relation existe-t-il entre le degré d"un polynômePet le nombre de ses racines.

Qu"est qu"un polynôme scindé? Donner un exemple de polynôme scindé, puis un non scindé. Montrer qu"il n"existe pas de polynômePnul sur[0;1]et non nul surRn[0;1](III)

7. Exprimer la somme des racines et le produit des racines d"un polynôme en fonc-

tion de ses coefficients. En déduire la somme et le produit des racines n ièmed"un nombre complexeanon nul, avecndansN. Puis résoudre, à l"aide des polynômes, le système :x+y= 9 xy= 14(III)

8. Donner la dénition d"un polynôme irréductible puis montrer qu"un polynôme de

degré 2 ou 3 n"ayant pas de racines est irréductible. Donner un contre-exemple mon- trant que le résultat est faux pour un degré quelconque.(IV)

9. Donner la liste des polynômes irréductibles deC[X]puis deR[X]. Expliquer comment

décomposer un polynôme deR[x]en produit de polynômes irréductibles surR. Tester votre méthode que le polynômeX8+ 1.(IV)

10. Donner le théorème de d"Alembert-Gauss. Quels sont les polynômes scindés deC[X]?

Expliquer. Montrer que seuls les polynômes constants deC[X]peuvent OEtre pério- diques.(IV) 1

Chap 19Polynômes.

Exercices typesExercice 1 - Une méthode pour calculer la puissance d"une matrice.

Considérons la matrice :

A=0 @0 1 0 -4 4 0 -2 1 21 A 1.

Calculer (A-2I)2.

2. Déterminer le reste de l adivision euclidienne de Xnpar(X-2)2. 3.

En déduire An.

Exercice 2 - Polynômes de Tchbitchev.Considérons la suite de polynômes dénis parT0= 1,T1=Xet par la relation :

?n?N?, Tn+1= 2XTn-Tn-1 1.

Mon trerque p ourtout ndeNon a :deg(Tn) =n.

2. Mon trerque p ourtout ndeN?, le coefficient dominant deTnest2n-1. 3.

Mon trerque : ?n?N,?x?R, ,Tn(cos(x)) = cos(nx).

4. Soit n?N, montrer queTnest le seul polynôme vériant :? ?R, Tn(cos(x)) = cos(nx) 5.

Mon trerque p ourtout ndeN:

T n=nX k=0k paire n k (-1)k2

Xn-k(1-X2)k2

6.

Si n1, montrer queTn= 2n-1nY

k=1

X-cos2k-12n

Exercice 3 - Polynômes de LagrangeSoita0,:::,andes réels distincts. 1.

Soit ixé. Trouver un polynôme de degré inférieur ou égal àn, nul en tous lesaj,i6=jet valant

1 enai

2. Mon trerque ce p olynômesest unique, on le note Li. 3. Soit 0,:::,ndansR. Montrer qu"il existe un unique polynôme valantienai. Exprimez-le en fonction desLi. 1

Chap 19Polynômes.

ExercicesVoler, c"est quand on a trouvé un objet avant qu"il ne soit perdu.

Coluche.Vrai - Faux

Exercice 1.

SoitP=anXn+:::+a0etQ=bmXm+:::+b0deux polynômes deR[X]de degré respectifsnet m. Déterminer si les assertions suivantes sont vraies ou fausses :

1.PQest le polynômem+n?

k=0c kXkavecck=k? i=0a ibk?i.

2.deg(P+Q) =Sup(deg(P);deg(Q))

3.deg(PQ) =deg(P) +deg(Q)

4. Un p olynômeest constan tsi et seulemen tsi deg(P) = 0.

5.K[X]est un anneau intègre.

6. S"il existe d euxp olynômesAetRtel queP=QA+R, alorsRest le reste de la division euclidienne dePparQ. 7. Le reste d ela division euclidi ennede A= (X-2)2n+ (X-1)n-2par le polynômeB= (X-1)(X-2)estR=-1.

8.P=Qsignie qu"il existedansRtel queQ=:P.

9.X4+ 1est un polynôme irréductible surR.

10.X4-1a 4 racines distinctes surC.

11.est racine d"ordrerdePs"il existeQdansR[X]tel queP= (X-)r:Q

12. Un p olynômesans racine dans Rest irréductible. 13. Si Pest scindé, la somme des ses racines vaut-an-1a n 14. Si Pest scindé, le produit des racines dePvaut-a0a n 15. Si zest dansC, alors(X-z)(X-z)est un polynôme deR[X] 16. Seuls les p olynômescon stantsv érientP(X+ 1) =P(X).

17.X325+ 23X172-14X6+admet une racine réelle.

18. T outp olynômede C[X]de degrénadmet exactementnracines distinctes. 1

Niveau 1

Exercice 2.

1. Eectuer la divisio neuclidienne de X4+aX2+bX+cparX2+X+ 1. 2. Donner le reste de la division euclidienne de X101parX3-X2-X+ 1. 3. Donner le reste de la division de (cos() +Xsin())nparX2+ 1 Exercice 3.Tout polynôme deR[X], de degré impair admet une racine dansR

Exercice 4.Que dire d"un polynômePdeC[X]tel que sa fonction polynôme associée est périodique?

Exercice 5.Soitetdes nombres complexes. Résoudre dansCle système :?x:y= x+y= RExercice 6.Que dire des nombres complexes1,2et3vériantp 1+p 2+p

RExercice 7.Montrer que si les sommesp

1+p 2+p et3sont réels.

Exercice 8.FactoriserX4+ 1dansR[X].

Exercice 9.Soitx1;x2;x3, les racines complexes du polynômeX3+pX+qdeC[X]. Calculer 1x 1+1x 2+1x 31x
21+1x
22+1x
23x
2x 1+x3x 1+x1x 2+x3x 2+x1x 3+x2x

3(x1+x2)(x1+x3)(x2+x3)

Exercice 10.SoientP=Xnsin()-Xsin(n) + sin((n-1))etQ=X2-2Xcos() + 1avec≡=0 [2].

Montrer quePest un multiple deQ.

2

Niveau 2

Exercice 11.

Donner une condition surnpour que1 +X+X2divise1 +Xn+X2n

Exercice 12.SoitPun polynôme scindable surR.

1.

Mon trerque P0est scindable.

2.

Mon trerque P+P0est scindable, pour toutdeR.

Exercice 13.SoitP=Xn+an?1Xn?1+an?1Xn?1+:::+a0un polynôme unitaire de degrén. montrer que les racines dePdansCsont inclues dans le disqueD(0;R)avecR=Max(1;n?1? k=0|ak|)

Exercice 14.SoitPun polynôme scindable deR[X], montrer queP02-P:P00≥0(Indication : considérez la fraction

P 0=P).

Exercice 15.Résoudre6x5-41x4+97x3-97x2+41x-6 = 0. Pour cela, on pourra trouver une racine évidente puis

pour trouver les autres racines on pourra factoriser parx2et faire le changement de variableX=x+1x

RExercice 16.Trouveru,vetwdansS1tels queu+v+w= 1

u:v:w= 1Niveau 3 RExercice 17.Trouver tous les polynômes deR[X]scindables surRet à coefficients dans{-1;1}quotesdbs_dbs15.pdfusesText_21

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